![](img/space.gif) |
Rigorous theory of hyperbolic systems with singularities (with an emphasis of questions of physics).
|
Help
Print
|
Here you can view and search the projects funded by NKFI since 2004
Back »![](img/space.gif)
![](img/space.gif)
|
![](img/print_ver.gif) |
Details of project |
|
|
Identifier |
![](img/space.gif) 104745 |
Type |
K |
Principal investigator |
Szász, Domokos |
Title in Hungarian |
Szakadásos hiperbolikus rendszerek matematikai elmélete (különös tekintettel fizikai kérdésekre). |
Title in English |
Rigorous theory of hyperbolic systems with singularities (with an emphasis of questions of physics). |
Keywords in Hungarian |
biliárdok, Lorentz folyamat, iterált függvényrendszerek, dimenziók, statisztikus fizika |
Keywords in English |
billiards, Lorentz process, iterated function system, dimensions, statistical physics |
Discipline |
Mathematics (Council of Physical Sciences) | 100 % | Ortelius classification: Chaos theory |
|
Panel |
Mathematics and Computing Science |
Department or equivalent |
Department of Stochastics (Budapest University of Technology and Economics) |
Participants |
Bálint, Péter Bárány, Balázs Nándori, Péter Némedy-Varga, András Simon, Károly Tóth, Imre Péter Varjú, Tamás
|
Starting date |
2013-01-01 |
Closing date |
2017-12-31 |
Funding (in million HUF) |
23.596 |
FTE (full time equivalent) |
19.75 |
state |
closed project |
Summary in Hungarian A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A szakadásos hiperbolikus dinamikai rendszerek elmélete (pl. kemény golyó rendszerek, matematikai biliárdok, Hénon-leképezés) kiemelkedő eredményekkel gazdagodott az utóbbi évtizedekben, sajnos azonban ezek jelentős része a kétdimenziós esetre korlátozódik. Egyik fő célunk a legerősebb módszerek többdimenziós kiterjesztése. Fő kérdések a komplexitási feltétel megértése, verifikálása, ill. a standard pár módszer kiterjesztése. Ugyancsak komoly kihívás az intermittens jelenségek megértése - már két dimenzióban is. Különleges érdekessége van az elméletnek az iterált függvényrendszerekre való alkalmazásának, pl. a Ledrappier-Young formula analógjának kereséséhez önaffin mértékekre, általában az önaffin mértékek dimenziója leírásának. Az elmélet határait feszíti annak vizsgálata, mit tudunk térben ill. időben nem homogén rendszerekről, pl. nem periodikus csak kvázi-periodikus rendszerekről. Végül rendkívül izgalmas kérdés a hővezetés megértése, amelyre Gaspard és Gilbert két lépésből álló igen nehéz, mégis reálisnak tűnő stratégiát fogalmaztak meg (kinetkai egyenletből mezoszkópikus, majd abból a hővezetési egyenlet levezetése). Iskolánkban mind a hiperbolikus elméletnek, mint a dimenzióelméletnek, mind a hidrodinamikai határátmenetnek kiemelkedő szakértői vannak.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. Alapfilozófiánk W. Feller, a kiemelkedő princetoni matematikus megfogalmazása: a matematikában - mint a művészetben, az irodalomban, és sok más területen is - a legértékesebb nem más, mint az általános problémák konkrét kérdéseken keresztül való megközelítése. Az ergodelmélet és a dinamikai rendszerek elmélete jelentős mértékben fizikai kérdések megválaszolására jött létre. A bennünket elsősorban érdeklő jelenségek: az ergodikus hipotézis, az egyensúlyhoz való konvergencia, relaxáció, a diffúzió, a hővezetés. Az első négy területen már kiemelkedő eredményeket értünk el, most fő célunk kettős: egyrészt szeretnénk a relaxáció és a diffúzió kérdéseiben elért eredményeket: sajátjainkat és másokét egyaránt minél erősebb és általánosabb formában megjavítani, másrészt megalapozni a hővezetés kérdésének elméleti megértését, mikroszkopikus modellből való levezetését elérni.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! A hiperbolikus dinamikai rendszerek elmélete a 60-as években került a kutatás homlokterébe (káoszelmélet). Később fizikai, elsősorban statisztikus fizikai jelenségek mind szélesebb körére: relaxáció, diffúzió, hővezetés, stb vált alkalmazhatóvá. Mindennek jelentősége, hogy egyrészt rendkívül nehéz és szép matematikai kérdések vetődnek fel és erős módszerek fejlődnek ki. Másrészt a fizika is egyre hatékonyabban tudja használni a matematikailag is tisztázott fogalmakat, jelenségeket, tényeket.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A hiperbolikus dinamikai rendszerek elmélete a 60-as években került a kutatás homlokterébe (káoszelmélet). Később fizikai, elsősorban statisztikus fizikai jelenségek mind szélesebb körére: relaxáció, diffúzió, hővezetés, stb vált alkalmazhatóvá. Mindennek jelentősége, hogy egyrészt rendkívül nehéz és szép matematikai kérdések vetődnek fel és erős módszerek fejlődnek ki. Másrészt a fizika is egyre hatékonyabban tudja használni a matematikailag is tisztázott fogalmakat, jelenségeket, tényeket. Példaként említhető az ergodikus hipotézis, amelyet L. Boltzmann osztrák fizikus fogalmazott meg az 1870-es években a statisztikus fizika (pl. a középiskolában is tanult termodinamika) megalapozásánál. Ez vezetett az ergodelmélet születéséhez 1930-as években, majd a hiperbolikus dinamikai rendszerek elméletének említett kialakulásához.
| Summary Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. In the last few decades there has been an impressive progress in the theory of hyperbolic dynamical systems (e.g. hard ball systems, mathematical billiards, Hénon map) although an important part of the results concerns the two-dimensional case, only. One of our main goals is to extend the most powerful methods to the higher-dimensional setting. Main problems in this context are understanding and verifying the complexity hypothesis and extending the method of standard pairs. At the same time, the description of the intermittent phenomena is a great challenge - in two dimensions already. The application of the theory for iterated function systems - e.g. finding an analogue of the Ledrappier-Young formula for self-affine measures or describing the dimension of self-affine measures in general - is of great interest. Our intended investigation of systems with either time or space inhomogeneity, for instance of non-periodic or quasi periodic systems, aims at bypassing the recent technical limitsin the field. Finally, a great challenge is to understand the heat conduction by the tough but seemingly realistic two step procedure proposed by Gaspard and Gilbert (first to derive the mesoscopic stochastic equation from the kinetic one and then to derive the heat equation). In our school, there are outstanding experts from the fields of hyperbolic theory, dimension theory and experts of the hydrodynamic limit, as well.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. Our main philosophy is due to W. Feller, the great mathematician from Princeton: "the best in mathematics, as in arts, letters, and all else [...] consists of the general embodied in the concrete". A main motivation for the birth of ergodic theory and of ynamical systems was to answer physically motivated questions. The phenomena, we are primarily interested in, are: ergodic hypothesis, convergence to equilibrium, relaxation, diffusion, heat conduction. In the first four areas, we already have significant or even breakthrough, results. At the moment, our main goals are, on the one hand, to improve some results from the area of relaxation and diffusion - either ours or obtained by other experts - to the furthest possible and, on the other hand, to contribute to the foundation of the theoretical approach to heat conduction, its derivation from microscopic models. With this goals in mind we have formulated and plan to attack concrete questions leading to the desired directions.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. The theory of hyperbolic dynamical systems has been being in the lime-light of scientific research since the 60's ("chaos theory"). Later it became applicable in more and more areas of physics, mainly in statistical physics: relaxation, diffusion, heat conduction, etc. This progress has double significance. On the one hand, there arise really tough and most beautiful purely mathematical questions and some strong methods are being developed, and, on the other hand, the mathematically clarified notions, phenomena and facts are more and more efficiently applicable in physics.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. The theory of hyperbolic dynamical systems has been being in the lime-light of scientific research since the 60's ("chaos theory"). Later it became applicable in more and more areas of physics, mainly in statistical physics: relaxation, diffusion, heat conduction, etc. This progress has double significance. On the one hand, there arise really tough and most beautiful purely mathematical questions and some strong methods are being developed, and, on the other hand, the mathematically clarified notions, phenomena and facts are more and more efficiently applicable in physics. A prominent example is the ergodic hypothesis, formulated and used by the Austrian physicist L. Boltzmann in the 1870's when laying down the foundations of statistical physics (which includes thermodynamics which one might recall from high school). This led to birth of a beautiful and efficient mathematical theory: ergodic theory in the 1930's and later to the above mentioned formation of chaos theory, of hyperbolic dynamical systems.
|
![](img/space.gif)
|
|
|
![](img/shadow_right_up.gif)
|
![](img/shadow_left_bottom.gif)
|
![](img/shadow_right_bottom.gif)
|
![](img/space.gif)
![](img/space.gif)
![](img/space.gif)
|
![](img/print_ver.gif) |
List of publications |
|
|
M. Rams, K. Simon: The Dimension of Projections of Fractal Percolations, Journal of Statistical Physics, 2014 | K. Simon, S. Molnár, J. Komjáthy, and P. Móra.: Large Deviation Multifractal Analysis of a Process Modeling TCP CUBIC, arXiv preprint arXiv:1705.11039, 2017 | F. M. Sélley: Symmetry breaking in a globally coupled map of four sites, submitted for publication to Nonlinearity, 2016 | P. Bálint, P. Nándori, D. Szász, I. P. Tóth:: Equidistribution for standard pairs in planar dispersing billiard flows, kézirat, pp. 46, http://math.bme.hu/~mogy/pub/cikk/GG-piston/flow_SEDC_20170110.tex, 2017 | Nándori P, Szász D, Varjú T: Tail asymptotics of free path lengths for the periodic Lorentz process. On Dettmann's "Horizon" Conjectures., Communications in Mathematical Physics, 331, 1, 111-137, 2014 | Rams M, Simon K: Projections of fractal percolations., Ergodic Theory and Dynamical Systems 35, 530-545, 2015 | Bálint P, Némedy Varga A: High dimensional generalization of standard pairs and the coupling technique., draft, 2016 | Kolossváry I, Bárány B: On the absolute continuity of the Blackwell measure, Journal of Statistical Physics 159 no. 1, 158-171, 2015 | Rudas A; Tóth IP: Entropy and Hausdorff Dimension in Random Growing Trees, Stochastics and Dynamics, 13, 1250010, 2013 | Szász D.: Mathematical Billiards and Chaos, Newsletter of European Math. Society, No. 93. September 2014, 22-29, 2014 | Szász D: Entrópia, biliárdok, whisky szódával és Abel-díj, Természet Világa, 145, 338-340, 2014 | A. Manning, K. Simon: Dimension of slices through the Sierpinski carpet, Transactions of The American Mathematical Society, 365, pp. 213-250, 2013 | B. Bárány: On the Ledrappier-Young formula for self-affine measures, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 159 no. 3, 405-432, 2015 | Péter Bálint, András Némedy Varga: The flow of two falling balls mixes rapidly, NONLINEARITY 29:(9) pp. 2537-2564. (2016), 2016 | B. Bárány, A. Käenmäki: Ledrappier-Young formula and exact dimensionality of self-affine measures, Advances in Mathematics, 318, p. 88-129, 2017 | B. Bárány: On some non-linear projections of self-similar sets in R^3, Fundamenta Mathematicae 237 no 1, pp. 83-100, 2017 | B. Bárány, M. Rams, K. Simon: On the dimension of self-affine sets and measures with overlaps, Proc. Amer. Math. Soc. 144 pp. 4427-4440, 2016 | B. Bárány, M. Rams: Dimension maximizing measures for self-affine system, Transactions of the American Mathematical Society, 370, pp. 553-576, 2018 | P. Bálint, T. Gilbert, P. Nándori, D. Szász, I. P. Tóth: On the limiting Markov process of energy exchanges in a rarely interacting ball-piston gas., Journal of Statistical Physics, 166, 903-925. doi:10.1007/s10955-016-1598-5, 2016 | P. Bálint, F. Sélley: Mean-field coupling of identical expanding circle maps, JOURNAL OF STATISTICAL PHYSICS 164:(4) pp. 858-889. (2016), 2016 | D. Dolgopyat, P. Nándori: Nonequilibrium Density Profiles in Lorentz Tubes with Thermostated Boundaries, Communications on Pure and Applied Mathematics, 2016 | Y. Li, P. Nándori, L.-S. Young: Local thermal equilibrium for certain stochastic models of heat transport, Journal of Statistical Physics, 2016 | P. Nándori, Z. Shen: Logarithmic scaling of planar random walk's local times, Studia Sci. Math. Hungarica, 54, 2: 171-177, 2017 | B. Bárány, M. Rams, K. Simon: On the dimension of triangular self-affine sets, Ergodic Theory and Dynamical Systems, FirstView, 2017 | B. Bárány, A. Käenmäki, H. Koivusalo: Dimension of self-affine sets for fixed translation vectors, submitted for publication to J. Eur. Math. Soc., 2017 | P. Nándori: Local equilibrium in inhomogeneous stochastic models of heat transport, Journal of Statistical Physics, 164, 2: 410-437, 2016 | Bálint P., Chernov N., Dolgopyat D.: Convergence of moments for dispersing billiards with cusps;, AMS Contemporary Mathematics, 698: pp. 35-67. (2017), Proceedings of the Conference on Dynamical Systems, Ergodic Theory, and Probability, 2017 | D. Szász: Multidimensional hyperbolic billiards, AMS Contemporary Mathematics, Vol. 698. 201-220. Proceedings of the Conference on Dynamical Systems, Ergodic Theory, and Probability, 2017 | D. Szász: Markov approximations and statistical properties of billiards., The Abel Prize 2013-2017. (invited contribution), 16 oldal. Springer Series "History of Mathematics Sciences",, 2018 | F. M. Sélley: Symmetry breaking in a globally coupled map of four sites, submitted for publication to Discrete and Continuous Dynamical Systems Series A, 2017 | P. Bálint, P. Nándori, D. Szász, I. P. Tóth:: Equidistribution for standard pairs in planar dispersing billiard flows, 64 oldal. Annales Henri Poincaré, elfogadva, http://math.bme.hu/~mogy/pub/cikk/GG-piston/flow_SEDC_20180108_complete.tex, 2017 | P. Bálint, G. Keller, F. M. Sélley, I. P. Tóth: Stability of the invariant distribution for a class of globally coupled maps, submitted for publication to Nonlinearity, 2017 | P. Bálint, O. Butterley, I. Melbourne: Polynomial decay of correlations for flows, including Lorentz gas examples, submitted for publication, 2017 | A. Egri, I. Horváth, F. Kovács, R. Molontay, K. Varga: Cross-correlation based clustering and dimension reduction of multivariate time series, IEEE 21st International Conference on Intelligent Engineering Systems (INES), Larnaca, pp. 000241-000246, 2017 | Mincsovicsné Sélley Fanni: Az Arnold-féle diszkrét macska-leképezés, KöMaL 67. évfolyam 9. szám (2017 December), 2017 | D. Dolgopyat, P. Nándori: Infinite measure renewal theorem and related results, submitted for publication, 2017 | D. Dolgopyat, P. Nándori: On mixing and the local central limit theorem for hyperbolic flows, submitted for publication, 2017 | K. Simon, L. Vágó: Projections of Mandelbrot percolations in higher dimensions, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 92, 175-189, 2014 | B. Bárány, M. Rams: Dimension of slices of Sierpiński-like carpets, Journal of Fractal Geometry 1 no. 3, 273-294, 2014 | B. Bárány, G. Kiss, I. Kolossváry: On the local Hölder exponents of deRham-like fractal curves, http://www.math.bme.hu/~balubs/cikkek/deRham0922.pdf, 2014 | B. Bárány: On the Ledrappier-Young formula for self-affine measures, http://www.math.bme.hu/~balubs/cikkek/Barany_self_affine.pdf, 2014 | Péter Bálint, András Némedy Varga: The two falling balls' flow is rapid mixing, www.math.bme.hu/~nemedy/Falling_balls_flow_mixes_rapidly.pdf, 2014 | Nándori P, Szász D, Varjú T: Tail asymptotics of free path lengths for the periodic Lorentz process. On Dettmann's "Horizon" Conjectures., Communications in Mathematical Physics, 331, 1, 111-137, 2014 | Kolossváry I, Bárány B: On the absolute continuity of the Blackwell measure, Journal of Statistical Physics 159 no. 1, 158-171, 2015 | B. Bárány: On the Ledrappier-Young formula for self-affine measures, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 159 no. 3, 405-432, 2015 | Péter Bálint, András Némedy Varga: The flow of two falling balls mixes rapidly, submitted, http://arxiv.org/abs/1506.01888, 2014 | B. Bárány, A. Käenmäki: Ledrappier-Young formula and exact dimensionality of self-affine measures, submitted for publication in Inventiones, 2015 | B. Bárány: On some non-linear projections of self-similar sets in R^3, submitted for publication in Fund. Math, 2015 | B. Bárány, M. Rams, K. Simon: On the dimension of self-affine sets and measures with overlaps, submitted for publication in Proc. Amer. Math. Soc., 2015 | B. Bárány, M. Rams: Dimension maximizing measures for self-affine system, submitted for publication in Trans. Amer. Math. Soc., 2015 | P. Bálint, T. Gilbert, P. Nándori, D. Szász, I. P. Tóth: On the limiting Markov process of energy exchanges in a rarely interacting ball-piston gas., arXiv:1510.06408 (submitted to J. Stat. Phys.), 2015 | P. Bálint, F. Sélley: Mean-field coupling of identical expanding circle maps, submitted, http://arxiv.org/abs/1512.05556, 2015 | M. Rams, K. Simon: Projections of Fractal Percolations, Ergodic Theory and Dynamical systems, 2015 | J de Simoi, IP Tóth: An Expansion Estimate for Dispersing Planar Billiards with Corner Points, ANNALES HENRI POINCARE 15:(6) pp. 1223-1243, 2014 | D. Dolgopyat, P. Nándori: Nonequilibrium Density Profiles in Lorentz Tubes with Thermostated Boundaries, Communications on Pure and Applied Mathematics, 2015 | Y. Li, P. Nándori, L.-S. Young: Local thermal equilibrium for certain stochastic models of heat transport, submitted, 2015 | P. Nándori, Z. Shen: Logarithmic scaling of planar random walk's local times, accepted for publication by Studia Sci. Math. Hungarica, 2015 | Rams M, Simon K: Projections of fractal percolations., Ergodic Theory and Dynamical Systems 35, 530-545, 2015 | Rams M, Simon K: The Geometry of Fractal Percolation., Geometry and Analysis of Fractals. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 88, 2014, 303-324, 2014 | B. Bárány, G. Kiss, I. Kolossváry: Pointwise regularity of parametrized affine zipper fractal curves, submitted for publication to Nonlinearity, 2016 | Péter Bálint, András Némedy Varga: The flow of two falling balls mixes rapidly, NONLINEARITY 29:(9) pp. 2537-2564. (2016), 2016 | B. Bárány, A. Käenmäki: Ledrappier-Young formula and exact dimensionality of self-affine measures, submitted for publication to Adv. Math., 2016 | B. Bárány: On some non-linear projections of self-similar sets in R^3, Fundamenta Mathematicae, Online First Version, 2016 | B. Bárány, M. Rams, K. Simon: On the dimension of self-affine sets and measures with overlaps, Proc. Amer. Math. Soc. 144 pp. 4427-4440, 2016 | B. Bárány, M. Rams: Dimension maximizing measures for self-affine system, to appear in Trans. Amer. Math. Soc., 2016 | P. Bálint, T. Gilbert, P. Nándori, D. Szász, I. P. Tóth: On the limiting Markov process of energy exchanges in a rarely interacting ball-piston gas., Journal of Statistical Physics doi:10.1007/s10955-016-1598-5, 2016 | P. Bálint, F. Sélley: Mean-field coupling of identical expanding circle maps, JOURNAL OF STATISTICAL PHYSICS 164:(4) pp. 858-889. (2016), 2016 | D. Dolgopyat, P. Nándori: Nonequilibrium Density Profiles in Lorentz Tubes with Thermostated Boundaries, Communications on Pure and Applied Mathematics, 2016 | Y. Li, P. Nándori, L.-S. Young: Local thermal equilibrium for certain stochastic models of heat transport, Journal of Statistical Physics, 2016 | A. Egri, I. Horváth, F. Kovács, R. Molontay: Fingerprinting and Reconstruction of Functionals of Discrete Time Markov Chains, International Conference on Analytical and Stochastic Modeling Techniques, 2016 | B. Bárány, M. Rams, K. Simon: On the dimension of triangular self-affine sets, submitted for publication to Ergod. Th. & Dynam. Sys., 2016 | B. Bárány, A. Käenmäki, H. Koivusalo: Dimension of self-affine sets for fixed translation vectors, submitted for publication to Comm. Pure & Applied Math., 2016 | P. Nándori: Local equilibrium in inhomogeneous stochastic models of heat transport, Journal of Statistical Physics, 164, 2: 410-437, 2016 | Bálint P., Chernov N., Dolgopyat D.: Convergence of moments for dispersing billiards with cusps;, AMS Contemporary Mathematics, Proceedings of the Conference on Dynamical Systems, Ergodic Theory, and Probability, 2017 | D. Szász: Multidimensional hyperbolic billiards, AMS Contemporary Mathematics, Proceedings of the Conference on Dynamical Systems, Ergodic Theory, and Probability, 2017 | D. Szász: Markov approximations and statistical properties of billiards., The Abel Prize 2013-2017. (invited paper), Springer Series "History of Mathematics Sciences",, 2018 | Nándori P, Szász D, Varjú T: Tail asymptotics of free path lengths for the periodic Lorentz process. On Dettmann's "Horizon" Conjectures., submitted to CMP, 2013 | Rams M, Simon K: Projections of fractal percolations., Ergodic Theory and Dynamical Systems / FirstView Article pp 1-16, 2013 | Rams M, Simon K: The Geometry of Fractal Percolation., Submitted for publication in the proceedings of the conference Advances in Fractals and Related topics 2012 Hong Kong., 2013 | Bálint P, Némedy Varga A: High dimensional generalization of standard pairs and the coupling technique., http://www.math.bme.hu/~nemedy/High_dimensional_coupling.pdf, 2013 | Kolossváry I, Bárány B: On the absolute continuity of the Blackwell measure, preprint, http://www.math.bme.hu/~balubs/cikkek/black_abscont_final.pdf, 2013 | Rudas A; Tóth IP: Entropy and Hausdorff Dimension in Random Growing Trees, Stochastics and Dynamics, 13, 1250010, 2013 | Kolossváry I, Bárány B: On the absolute continuity of the Blackwell measure, Journal of Statistical Physics, DOI:10.1007/s10955-014-1176-7, 2015 | Szász D.: Mathematical Billiards and Chaos, Newsletter of European Math. Society, 2014 | Szász D: Entrópia, biliárdok, whisky szódával és Abel-díj, Term'eszet Vil'aga, 2014 | A. Manning, K. Simon: Dimension of slices through the Sierpinski carpet, Transactions of The American Mathematical Society, 365, pp. 213-250, 2013 | M. Rams, K. Simon: The Geometry of Fractal Percolation, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 88, 303-323, 2014 | K. Simon: The dimension of Almost self-affine sets and measures, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics no. 92, 103-127, 2014 |
![](img/space.gif)
|
|
|
![](img/shadow_right_up.gif)
|
![](img/shadow_left_bottom.gif)
|
![](img/shadow_right_bottom.gif)
|
![](img/space.gif) Back »
|
![](img/space.gif) |
|