Integrálható rendszerek és dualitásaik csoportelméleti aspektusai
Title in English
Group-theoretic aspects of integrable systems and their dualities
Keywords in Hungarian
integrálható rendszerek, csoportelméleti és hamiltoni módszerek, Chern-Simons és WZNW modellek
Keywords in English
integrable systems, group theoretic and Hamiltonian methods, Chern-Simons and WZNW models
Discipline
Physics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Mathematical physics
Panel
Natural Sciences Committee Chairs
Department or equivalent
Department of Theoretical Physics (University of Szeged)
Participants
Görbe, Tamás Ferenc
Starting date
2014-09-01
Closing date
2019-08-31
Funding (in million HUF)
6.670
FTE (full time equivalent)
3.70
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A javasolt kutatás alapvető célja véges dimenziós integrálható rendszerek csoportelméleti aspektusait érintő ismeretek továbbfejlesztése, különös tekintettel egydimenziós integrálható sokrészecske rendszerek dualitási relációira. A hamiltoni redukciós megközítés központi szerephez jut a tervezett munkában, és ezt a módszert alkalmazva kidolgozandók a konform térelméleti Wess-Zumino-Novikov-Witten modell fontos redukcióinak rács és Poisson-Lie analógjai is. A fő kutatási feladatok a következők: 1. Hamiltoni redukcióval levezetendők általánosított Toda rácsok dualitási relációi és leírandó a trigonometrikus BC(n) Surtherland rendszer duálisának globális geometriája. 2. Kidolgozandó véges dimenziós integrálható rendszerek és a lyukas tóruszon értelmezett Chern-Simons térelmélet kapcsolata. Ezt használva új, trigonometrikus és elliptikus, integrálható sokrészecske rendszerek is konstruálandók. 3. Feladat az önduális Ruijsenaars-Schneider rendszerekre vonatkozó korábbi klasszikus mechanikai eredmények kvantum megfelelőinek megtalálása, különösen SL(2,Z) csoportábrázolások konstruálása a kvantált önduális rendszerekben. 4. Vizsgálandó, hogy hogyan szolgálhatnak Wess-Zumino-Novikov-Witten modellek rács változatai és Poisson-Lie deformációi integrálható rendszerek forrásául redukció és királis felbontás révén.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. Az eredetileg Ruijsenaars által felfedezett dualitási relációk az integrálható egydimenziós sokrészecske rendszerek legérdekesebb tulajdonságai közé tartoznak. Egy esetet kivéve, az utóbbi években hamiltoni redukciós módszerek sikeres alkalmazásával csoportelméleti magyarázatát adtam a (nem-relativisztikus és relativisztikus) Calogero-Moser-Sutherland típusú rendszerek körében ismert összes Ruijsenaars dualitásnak. Az egyik alapvető kutatási kérdés az, hogy vajon ez a megközelítés kiterjeszthető-e általánosított (relativisztikus és zárt) Toda rácsokra, továbbá generikus gyökrendszerekhez tartozó modellekre és a hiperbolikus Ruijsenaars-Schneider rendszer eddig kimaradt esetére. A kimaradt eset megértéséhez elvezethet a kilyukasztott tóruszon értelmezett Chern-Simons térelmélet és véges dimenziós integrálható rendszerek kapcsolatának részletes feltérképezése, mivel ezen térelmélet speciális eseteit korábban sikerült azonosítani önduális trigonometrikus Ruijsenaars-Schneider rendszerekkel. Ezekhez a speciális esetekhez tartozó konkrét cél az SL(2,Z) dualitási csoport unitér ábrázolásának explicit megkonstruálása a kvantummechanikai Hilbert téren, és szintén természetesen vetődik fel az önduális trigonometrikus rendszerek elliptikus általánosításának kérdése. A Chern-Simons térelmélet szorosan kapcsolódik a Wess-Zumino-Novikov-Witten modellhez is, melynek hamiltoni redukciójaként sok kétdimenziós konform térelméleti modell leírható. Vizsgálni kívánom azt a kérdést, hogy vajon a WZNW redukciók rács analógjai és Poisson-Lie deformációi szolgálhatnak-e ismert és új integrálható rendszerek hatékony forrásaiként.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! Integrálható egydimenziós sokrészecske rendszerek évtizedek óta intenzív vizsgálatok tárgyát képezik, mivel ez a tárgykör az elméleti fizika és a matematika fontos területeinek találkozási pontjában található. Ezek a rendszerek nagyszámú térelméleti témában is megjelennek, melyek szoliton kölcsönhatásoktól kezdve például Yang-Mills és konfom térelméletekig terjednek. A projekt eredményeitől várható az integrálható sokrészecske rendszerek dualitási elméletének elmélyítése, valamint a (nem-relativisztikus és relativisztikus) Calogero-Moser-Sutherland rendszerek és a Chern-Simons térelmélet közötti kapcsolatok gazdagítása. Ismert és új dualitási relációk analízise révén megerősödhetnek a sokrészecske redszereket a csoportelmélettel és a szimplektikus geometriával összekötő fonalak is. Az exponenciális és trigonometrikus függvényekkel meghatározott kölcsönhatási potenciálokra vonatkozó kutatási kérdések megoldása megnyithatja az utat elliptikus integrálható rendszerek jövőbeli vizsgálatához. Az elliptikus rendszerek dualitási elmélete jelenleg még teljesen nyitott: a releváns problémák technikailag bonyolultnak tűnnek, ezért majd csak az egyszerűbb esetek teljesebb megértése után célszerű velük foglalkozni. Új véges dimenziós integrálható rendszerek, továbbá a konform térelméletek konstrukciójának egyik leghatékonyabb eszközeként ismert “WZNW redukciós gyár” rács változatai és Poisson-Lie deformációi is adódhatnak a kutatási terv végrehajtásából. Végül, de nem utolsósorban, a kutatói utánpótlás sikeres képzése várható diákok részvételétől a projektben.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A projekt az egzaktul megoldható (“integrálható”) rendszerek elméletével foglalkozik, amely az elméleti fizika és a matematika központi fejezeteinek egy forgalmas csomópontjához tartozó téma. Az alapvető kutatási kérdések egyenesen és körön mozgó részecskéket leíró integrálható rendszerek érdekes “dualitási relációira” vonatkoznak. Integrálható rendszerekre jellemző a sok megmaradó mennyiség létezése. A dualitás egy olyan speciális reláció két integrálható sokrészecske rendszer között, amelyben az egyik rendszer részecskéinek helykoordinátái felcserélődnek a másik rendszer megmaradó mennyiségeivel. A kutatók célja az összes ismert dualitási reláció csoportelméleti értelmezése, továbbá új dualitások felfedezése. A problémákat elsősorban az úgynevezett “hamiltoni redukció” módszerérel tervezik megoldani. Ezen eljárás révén az integrálható rendszerek magasabb dimenziós egyszerű rendszerek, mint például magasabb dimenzióban egyenesvonalúan mozgó szabad részecskék, alacsony dimenziós “árnyékaként” állnak elő. Rejtett szimmetriákon alapuló módszerek klasszikus és kvantummechanikai alkalmazásai mellett, a projekt céljai között térelméleti alkalmazások kifejlesztése is szerepel. A kutatás végrehajtásától várható az integrálható rendszereket más területekkel, például alacsony dimenziós térelméletekkel és a geometriával, összekötő kapcsok megerősítése, és potenciális alkalmazások az említett és rokon területeken. A tervezet jelentős oktatási dimenzióval is rendelkezik: diákok ezt az izgalmas témakört kutatva készíthetnek PhD és MSc dolgozatokat.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The principal aim of the proposed research is to advance the understanding of group-theoretic aspects of finite-dimensional integrable systems, focusing especially on the duality relations of integrable one-dimensional many-body systems. The Hamiltonian reduction approach will play crucial role in this investigation, and will be also applied to develop lattice versions and Poisson-Lie analogues of important reductions of the Wess-Zumino-Novikov-Witten model of conformal field theory. The main research tasks are: 1. Using Hamiltonian reduction derive duality relations for generalized Toda lattices and describe the global geometry of the dual of the trigonometric BC(n) Sutherland system. 2. Develop the connection between finite-dimensional integrable systems and Chern-Simons field theory on the punctured torus. By using this construct new, trigonometric and elliptic, integrable many-body systems as well. 3. Find quantum analogues of earlier classical mechanical results about self-dual Ruijsenaars-Schneider systems, in particular construct SL(2,Z) group representations for the self-dual quantized systems. 4. Investigate how lattice versions and Poisson-Lie deformations of Wess-Zumino-Novikov-Witten models can serve as sources of integrable systems by reduction and chiral splitting.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. The duality relations originally discovered by Ruijsenaars are among the most intriguing properties of integrable one-dimensional many-body systems. During the last few years, I have successfully applied finite-dimensional Hamiltonian reduction methods to explain all but one of the known Ruijsenaars dualities between (non-relativistic and relativistic) systems of Calogero-Moser-Sutherland type in group-theoretic terms. One of the principal questions is whether this approach can be extended to generalized (relativistic and closed) Toda lattices, to models associated with generic root systems, and to the missing case of the hyperbolic Ruijsenaars-Schneider system. To cover the missing case, one should explore the connection between finite-dimensional integrable systems and Chern-Simons field theory on the punctured torus, since special cases of this field theory are known to yield self-dual trigonometric Ruijsenaars-Schneider systems. In these cases, a specific goal is to construct the unitary representation of the SL(2,Z) duality group on the quantum mechanical Hilbert space explicitly, and it is natural to enquire about elliptic generalizations of the self-dual trigonometric systems. The Chern-Simons theory is closely related also to the Wess-Zumino-Novikov-Witten model, whose Hamiltonian reductions underlie many two-dimensional conformal field theories. I wish to study the question whether lattice analogues and Poisson-Lie deformations of WZNW reductions can serve as effective sources of known and new integrable systems.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. Integrable one-dimensional many-body systems are intensely investigated for decades since they are located at a crossroad of important areas of theoretical physics and mathematics. In particular, these systems turn up in a large number of field theoretic topics, ranging for example from soliton interactions to Yang-Mills and conformal field theories. The results of the project will deepen the duality theory of integrable many-body systems and will enrich the web of connections between (non-relativistic and relativistic) Calogero-Moser-Sutherland systems and Chern-Simons field theory. Through the analysis of known and new dualities, the links between many-body systems and group theory and symplectic geometry will be also strengthened. The solution of the research questions addressing interaction potentials specified by exponential and trigonometric functions may open the way for future investigations of elliptic integrable systems. The duality theory for such systems is at present wide open: it appears complicated technically and thus it can be approached only after gaining better understanding of the simpler cases. New finite-dimensional integrable systems and the development of lattice analogues and Poisson-Lie deformations of the ``WZNW reduction factory’’, which is one the most effective tools of constructing conformal field theories, may also result from the implementation of the research plan. Last but not least, successful training of young researches can be expected from student participation in the project.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. The project deals with the theory of exactly solvable (``integrable’’) systems, which is a research area lying at a busy crossroad of key subjects of theoretical physics and mathematics. The principal questions concern intriguing ``duality relations’’ between integrable systems of particles moving on the line or on the circle. Integrable systems exhibit many conserved quantities in general. The duality is a special relation between two integrable many-particle systems, whereby the particle-positions of one system are exchanged with the conserved quantities of the other one. The researchers wish to develop group-theoretic explanations of all known duality relations, and also wish to find new ones. The key method whereby they plan to achieve this is called ``Hamiltonian reduction’’, which permits to view integrable systems of interest as low dimensional shadows of high dimensional simple systems akin to particles moving along straight lines. Methods based on hidden symmetries will be applied both at the classical and quantum mechanical level, and their applications to field theoretic problems will be also developed. The implementation of the proposal will enrich the web of connections between integrable systems, low dimensional field theories and geometry, with potential applications in these and related areas. The project also contains a significant training element geared towards helping students to obtain their PhD and MSc theses by doing research on this exciting theoretical subject.
Final report
Results in Hungarian
A projekt fő célja véges-dimenziós, klasszikus mechanikai integrálható sokrészecske rendszerek és azok hatás-szög dualitásainak vizsgálata volt. Csoportelméleti, hamiltoni redukciós keretben levezettük a trigonometrikus BC(n) Sutherland modell és a megfelelő racionális Ruijsenaars-Schneider-van Diejen (RS-vD) modell dualitását. Ezután részletesen leírtuk ezen modellek Poisson-Lie deformációit, és azok dualitási relációit, kitérve a fázisterek globális szerkezetére, és a dualitás dinamikai következményeire is.
Tisztán véges-dimenziós levezetést adtunk olyan általánosított spin Sutherland modellekre, melyeket korábban (1+1)-dimenziós Yang-Mills modellekből származtattak, továbbá spin Sutherland modellek olyan új Poisson-Lie analógjait konstruáltuk, amelyek szorosan kapcsolódnak a kilyukasztott tóruszon értelmezett Chern-Simons térelméletekhez.
Kidolgoztuk az ún. I-es típusú kompaktifikált trigonometrikus RS modellek kvantálását, és a klasszikus szinten bevezettük ezen modellek új, elliptikus általánosításait is.
A kutatás folyamatában felmerült új ötleteinket megvalósítva bebizonyítottuk Sklyanin formuláját a racionális Calogero modell kanonikus spektrális koordinátáiról, megtaláltuk hiperbolikus RS-vD modellek Lax mátrixait, és kidolgoztuk Braden és Hone evolúciós egyenleteinek bihamiltoni leírását.
Az eredményeket 13 folyóiratcikkben és 1 sikeresen megvédett PhD értekezésben publikáltuk.
Results in English
The main goal of the project has been the study of finite-dimensional, classical mechanical integrable many-body models and their action-angle dualities. We have derived the duality between the trigonometric BC(n) Sutherland model and the corresponding rational Ruijenaars—Schneider--van Diejen (RSvD) model. Then we described in detail the Poisson-Lie deformations of these models, and their duality relations, paying particular attention to the global structures of the phase spaces, and also to the dynamical consequences of the dualities.
We provided a purely finite-dimensional derivation of such generalized spin Sutherland models that were previously obtained from Yang-Mills theory in (1+1) dimensions, and constructed such new Poisson-Lie analogues of spin Sutherland models that are closely connected to Chern-Simons field theories on the punctured torus.
We developed the quantization of the so-called type I compactified trigonometric RS models, and at the classical level introduced new elliptic generalizations of these models, too.
Realizing new ideas that appeared in the course of the research, we proved Sklyanin’s formula regarding the canonical spectral coordinates of the rational Calogero model, found the Lax matrices for hyperbolic RSvD models, and worked out the bi-Hamiltonian description of the evolution equations introduced by Braden and Hone.
We published the results in 13 peer reviewed articles and in a successfully defended PhD thesis.
