A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A kutatás keretében folytatni fogjuk a homogén polinomokkal való approximálhatóság vizsgálatát csillagszerű és konvex tartományokban. Élesíteni kívánjuk a konvex centrálszimmetrikus tartományok közelítésének nagyságrendjét konvex homogén algebrai felületekkel. Vizsgálni fogjuk a többváltozós Christoffel függvény aszimptotikáját konvex centrálszimmetrikus tartományokon. Folytatjuk a többszörös Chebyshev polinomok unicitásának és normalitásának vizsgálatát nem diszjunkt tartójú súlyok esetén.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. Az elmúlt 10 év során bizonyítást nyert az a tény, hogy 0-szimmetrikus konvex politopok és reguláris konvex tartományok határán folytonos függvények egyenletesen közelíthetők két homogén polinom összegével. Ennek a kérdésnek a vizsgálatát kiterjesztjük nem konvex 0-szimmetrikus tartományokra azzal a céllal, hogy olyan új nem konvex tartomány-osztályokat találjunk, amelyeken teljesül a fenti homogén approximálhatóság.
Ismert az az eredmény, hogy minden konvex centrálszimmetrikus tartomány ln n/n nagyságrendben közelíthető n-ed rendű konvex homogén algebrai felületekkel. A kutatás során igazolni akarjuk azt a sejtést, hogy a fenti közelítés teljesül 1/n nagyságrenddel is.
A többváltozós Christoffel függvény aszimptotikája ismert abban az esetben, ha a tartomány kocka, gömb illetve szimplex. Fontos problémaként merül fel az a kérdés, hogy megadható-e az aszimptotika általánosabb 0-szimmetrikus konvex tartományok esetén is.
A többszörös Chebyshev polinomok normalitása (maximális fokszáma) és unicitása eddig csak diszjunkt tartóju súlyok esetén lett igazolva.Olyan nem diszjunkt tartójú súlyrendszereket szeretnénk találni, melyekre a többszörös Chebyshev polinom normális és egyértelmü.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! A pályázat keretében végzendő kutatás alapkutatás jellegű. A folytonos függvények homogén polinom approximációjával kapcsolatos vizsgálatok kiterjesztik ennek a kérdésnek a vizsgálatát nem konvex tarományokra.
A konvex centrálszimmetrikus tartományok közelítése homogén algebrai felületekkel lehetőséget ad a tetszőleges normák sima normákkal való közelítésére véges dimenziós terekben.
A többváltozós Christoffel függvény aszimptotikájának vizsgálata 0-szimmetrikus konvex tartományokon lehetőséget ad a többváltozós ortogonális polinomok elméletének kiterjesztésére a gömbről általánosabb tartományokra.
A többszörös Chebyshev polinomok vizsgálata az approximációelmélet egy új érdekes területe. Mivel jelenleg csak diszjunkt tartóju súlyok esetén vannnak teljes eredmények, olyan nem diszjunkt tartójú súlyrendszerek felfedezése, melyekre a többszörös Chebyshev polinomok normálisak és egyértelmüek, új távlatokat nyitna ezen a területen.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A többváltozós approximáció kérdéseit viszonylag széles körben vizsgálták eddig a közönséges algebrai polinomokkal való közelités esetén. A homogén polinomok osztálya egy természetes és gyakran alkalmazott részhalmaza az algebrai polinomoknak, igy a homogén polinomokkal való közelités vizsgálata egy fontos és időszerü kérdést jelent. Az többváltozós ortogonális polinomok elméletében alapvető fontosságú a vizsgált tartományok gömbröl illetve szimplexről való kiterjesztése általánosabb konvex tartományokra is.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. In the frame work of this project we will continue the study of approximation by homogeneous polynomials on star like and convex domains. We intend to sharpen the known estimates for the rate of approximation of central symmetric convex domains by convex homogeneous algebraic level surfaces. We shall study the asymptotics of the multivariate Christoffel Function on convex central symmetric domains. We shall continue the investigation of the uniqueness and normality of multiple Chebyshev polynomials for weights having non disjoint support.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. In last 10 years it was verified that functions continuous on the boundary of 0-symmetric convex polytopes or regular convex bodies can be uniformly approximated by sums of 2 homogeneous polynomials. We shall extend the investigation of this problem to non convex 0-symmetric domains in order to discover new classes of non convex domains for which the above homogeneous approximation result holds.
It is known that every convex 0-symmetric domain can be approximated by order n convex homogeneous algebraic level surfaces with rate ln n/n. In the framework of this proposal we intend to verify the conjecture that the above results holds with the rate 1/n, as well.
The asymptotics of the Christoffel Functions has been found in the case when the domain is a cube, ball or simplex. An important problem consists in the study of their asymptotics on more general 0-symmetric convex domains.
The normality (maximal degree) and uniqueness of multiple Chebyshev polynomials has been studied earlier for weights with disjoint support. We intend to find new classes of weights having non disjoint support for which multiple Chebyshev polynomials are unique and normal.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. A basic goal of the project consists in the extension of the homogeneous polynomial approximation of continuous functions to non convex domains.
The study of approximation of 0-symmetric convex domains by homogeneous algebraic level surfaces allows to obtain results for approximation of general norms by smooth norms in any finite dimensional space.
The study of asymptotics of multivariate Christoffel Functions on 0-symmetric convex domains leads to the extension of theory of orthogonal polynomials from the ball to more general domains.
The study of multiple Chebyshev polynomials is an interesting new area of Approximation Theory. Since so far complete results were obtained only for weights with disjoint support the discovery of classes of weights with non disjoint support for which the normality and uniqueness of multiple Chebyshev polynomials holds would open new perspectives in this area.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. The questions of multivariate approximation by ordinary algebraic polynomials are relatively well studied. The class of homogeneous polynomials is a natural and frequently used subset of algebraic polynomials, so the problems of homogeneous approximation appear to be rather important. In the theory of multivariate orthogonal polynomials it is crucial to extend the investigation from balls and simplexes to more general convex domains.
Final report
Results in Hungarian
Új konvex és nem konvex tartományok esetén igazoltuk a θ-incomplete polinomok konvergenciáját folytonos függvények terében. Ugyanakkor beláttuk, hogy a konvergencia nem teljesülhet tetszőleges csillagszerű tartományokon. Megvizsgáltuk a többváltozós “tű” és gyorsan csökkenő polinomok nagyságrendjét a csillagszerű tartományok határán. Éles felső becsléseket adtunk a többváltozós Christoffel függvényekre csillagszerű tartományok határán. Marcinkiewicz-Zygmund tipusú pontrendszereket találtunk általános többváltozós tarományok esetén. Igazoltuk az optimális polinom hálok létezését tetszőleges sikbeli konvex tartományban. Új Bernstein tipusú egyenlőtlenségeket igazoltunk aszimmetrikus Jacobi sulyok esetén és beláttuk, hogy az aszimmetria a polinom deriváltak nagyságrendjét jelentősen megnövelheti. Igazoltuk, hogy az inverz polinom képek megtartják az optimális Lebesgue konstans nagyságrendjét diszjunkt intervallumok esetén amennyiben ezeken léteznek T-polinomok. Beláttuk a T-tulajdonság szükségességét.
Results in English
New class of convex and non-convex domains was found for which θ-incomplete polynomials are dense in the space of continuous functions. We showed that if Ω is sufficiently concave then the density fails, i.e., the class of domains Ω for which θ-incomplete polynomials are dense is wider than the family of convex bodies, but it does not include all 0-symmetric stars. The rate of decrease of the multivariate needle and fast decreasing polynomials at the boundary of star like domains was studied and shown to be related to the smoothness of the boundary. We studied multivariate Christoffel functions for star like domains and gave sharp upper bounds revealing the behavior of Christoffel functions at the boundary. We established Marcinkiewicz-Zygmund type meshes for general multivariate domains, including polytopes, cones, spherical sectors, tori, etc. Existence of optimal polynomial meshes was verified for arbitrary convex domains on the plane. New Bernstein type inequalities for asymmetric Jacobi type weights were verified. Asymmetry of the weight results in an essential increase of the magnitude of polynomial derivatives. It was shown that the inverse polynomial images of systems of nodes preserve the optimal order of the Lebesgue constants for disjoint intervals if they possess T-polynomials. Without the T condition the order of the Lebesgue constants for the inverse polynomial images is larger than the optimal order log n.
A.Kroo, J.Szabados: On multivariate incomplete polynomials on star like domains, Constructive Approximation, 2014
A.Kroó: A note on strong asymptotics of weighted Chebyshev polynomials, Journal of Approximation Theory, 2014
A. Kroó: Christoffel functions on convex and star like domains, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2015
A.Kroó: On multiple extremal problems, Proceedings of American Mathematical Society, 2015
B. Della Vecchia, G. Mastroianni, J. Szabados: A weighted generalization of Szasz Mirakyan and Butzer operators, Mediterranean Journal of Mathematics, 2015
S. M. Alsulami, P. Nevai , J. Szabados, W. van Assche: Nonlinear difference equations, I: Existence, uniqueness, and asymptotic behavior of positive solutions, Journal of Approximation Theory, 2015
J.Szabados: Erdős and polynomial interpolation, Notices of American Mathematical Society, 2015
A. Kroó: Multivariate "needle" polynomials with application to norming sets and cubature formulas, Acts Math. Hungar., 2015
A. Kroó, J. Szabados: Inverse polynomial mappings and interpolation on several intervals, J. Math. Anal. Appl., 2016
A. Kroó: Multivariate fast decreasing polynomials, Acta Math. Hungar., 2016
J. Szabados, A. Lukashov: The order of Lebesgue constant of Lagrange interpolation on several intervals, Periodica Math. Hungar., 2016
J. Szabados: On a quasi-interpolating Bernstein operator, J. Approx. Theory, 2015
A.Kroó: On the existence of optimal meshes in every convex domain on the plane, Journal of Approximation Theory, 2017
A.Kroó: Schur type inequalities for multivariate polynomials on convex bodies, Dolomites Research Notes on Approximation, 2017
A.Kroó, S. De Marchi: On multivariate Marcinkiewicz-Zygmund type inequalities, Acta Math. Hungarica, 2017
J.Szabados: Bernstein polynomials on several intervals, Approximation Theory and Applicable Complex Analysis - In the memory of Q.~I.~Rahman}, Springer Optimization and its Applications, 2017
J.Szabados: Barycentric interpolation on equidistant nodes, Jaen Journal on Approximation, 2017
A.Kroó, J.Szabados: Polynomial inequalities with asymmetric weights, Jaen Journal on Approximation, 2018
A. Kroó: On the existence of optimal meshes in every convex domain on the plane, Journal of Approximation Theory, 2018
A.Kroó: Christoffel functions on convex and starlike domains in Rd, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2015
A. Kroó, J. Szabados: On multivariate incomplete polynomials on star like domains, Constructive Approximation, 2014
