Beyond Hermiticity: open quantum systems

Help

Back »

Details of project

Identifier

112962

Type

Principal investigator

Lévai, Géza

Title in Hungarian

Túl a hermiticitáson: nyitott kvantumrendszerek

Title in English

Beyond Hermiticity: open quantum systems

Keywords in Hungarian

kvantummechanika, nem-hermitikus modellek, S-mátrix, bomló állapotok, rezonanciák, szóráselmélet, határfeltételek, néhánytest-rendszerek

Keywords in English

quantum mechanics, non-Hermitian models, S-matrix, decaying states, resonances, scattering theory, boundary conditions, few-body systems

Discipline

Physics (Council of Physical Sciences)	100 %
Ortelius classification: Quantum field theory

Panel

Physics 1

Department or equivalent

Theoretical nuclear physics research group (HUN-REN Institute for Nuclear Research)

Participants

Cseh, József
Hornyák, István
Kovács, József
Kruppa, András Tibor
Salamon, József Péter
Vajday, László Péter
Vertse, Tamás

Starting date

2014-09-01

Closing date

2019-08-31

Funding (in million HUF)

21.740

FTE (full time equivalent)

17.08

state

closed project

Summary in Hungarian

A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
A kvantummechanika szokásos megfogalmazásanál hermitikus operátorokat alkalmaznak, mivel ezek sajátértékei valósak és így megfeleltethetők a fizikai mennyiségek megfigyelhető értékeinek. Ez a formalizmus alkalmasnak bizonyult kvantumrendszerek kötött állapotainak a leírására. A nem kötött (szórási és rezonancia) állapotok az adott rendszer belső szerkezete mellett annak a környezetével történő kölcsönhatását is jellemzik. Az izolált, vagy zárt kvantumrendszerekkel szemben a környezetükkel kölcsönhatásban álló nyitott kvantumrendszerek leírásakor sok esetben fel kell adni a hermiticitás követelményét és olyan Hamilton-operátort kell alkalmazni, amely nem hermitikus.

Tervezett kutatásainkat azon korábbi tapasztalatainkra kívánjuk alapozni, amelyeket nem stabil rendszerek leírása során, illetve nem-hermitikus modelleket alkalmazva szereztünk. Ide tartozik a komplex potenciálok alkalmazása, a magfizikai héjmodell kiterjesztése kontinuum állapotokkal, a komplex skálázás módszere, illetve a speciális komplex potenciálokat leíró PT-szimmetrikus kvantummechanika. Terveink több szinten fogalmazhatók meg. Egyrészt az eddigi módszerek továbbfejlesztését tervezzük, ami módszertani szempontból a számítógépes programok fejlesztésétol egzakt analitikus számolásokig terjedő technikák alkalmazását teszi szükségessé. Emellett az említett módszerek egymáshoz való viszonyának tisztázását és lehetséges kombinálását is tervezzük. Végül a kapott módszereket alkalmazni kívánjuk konkrét nem stabil kvantumrendszerek leírására, elsősorban az atommagfizika területéről. Kutatásaink során törekszünk arra, hogy a módszereket lehetőleg általános nyitott kvantumrendszerekre is alkalmazhatóvá tegyük.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
Kutatásaink során a Schrödinger-egyenlet megoldását tervezzük különféle határfeltételekkel. Ez általában egy többváltozós parciális differenciálegyenlet-rendszer megoldását jelenti, amit numerikusan, egzakt módszerekkel, vagy ezek kombinálásával kell elvégezni, figyelembe véve a határfeltételeket.

A határfeltételek kirovása sok esetben elbonyolítja a számításokat (pl. töltetlen többrészecske-problémáknál), vagy nem is lehetséges (töltött részecskék rendszerénél). Kérdés, hogy a Schrödinger-egyenlet transzformálható-e olyan alakra, hogy problémát jelentő határfeltételek leegyszerűsödjenek, illetve hogy töltött részecskék esetén alkalmazhatóak-e a határfeltételek explicit megadását elkerülő módszerek. Összetett rendszerek szórásának leírásához a dinamika mellett az ütköző rendszerek mikroszkopikus leírása is szükséges. A kölcsönható héjmodell bázisállapotainak száma azonban a részecskeszámmal erősen nő. Milyen pl. csoportelméleti megfontolásokkal csökkenthető a bázisméret?

Az S-mátrixon alapuló számítások megadhatják a kötött és bomló állapotokat is, a módszer azonban nehézkes. Milyen alternatív lehetőségeink vannak bomló állapot energiájának és felezési idejének elméleti meghatározására többtest-rendszer esetén? Bomló állapotok Wigner-Weisskopf leírása nem-hermitikus Hamilton-operátorral lehetséges. Milyen tulajdonságai vannak egy ilyen operátornak? Léteznek-e egzakt megoldások?

A PT-szimmetrikus kvantummechanika speciális komplex potenciálokat ír le, amelyeknek lehetnek valós és komplex energia-sajátértékei is. Az itt követett matematikai formalizmus sok hasonlóságot mutat a komplex skálázás módszereivel. Lehetséges-e kapcsolatot találni a két elmélet között?

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
Tervezett kutatásaink főként metodikai jellegűek, ezért eredményeink minden olyan területen alkalmazhatók, ahol nyitott kvantumrendszerek nemrelativisztikus leírása a feladat. A résztvevök háttere miatt konkrét alkalmazásokra elsösorban az atommagfizika területén számíthatunk.

Az egyik alkalmazási területet a stabilitási sávtól távol elhelyezkedő magok jelentik, amelyek már alapállapotban sem stabilak, mert nukleon(ok) kibocsátásával elbomlanak. Az alapvető kérdés itt az, hogy az erős kölcsönhatás milyen neutron- és protonszámoknál képes a magot még egyben tartani. Az egy, vagy két proton kibocsátásával járó folyamatok értelmezése lehetőséget ad a kötött- és a szórási állapotok közötti csatolás vizsgálatára. Az egzotikus magok spektroszkópiai tanulmányozása pedig teszteli, hogy a stabil magokra kidolgozott modellek mennyire érvényesek bomló állapotok esetén. A soktest-rendszerekben fellépő rezonanciák vizsgálatában a komplex skálázáson alapuló modellek sikeres versenytársai lehetnek a kontinuum héjmodellnek, vagy az újabban kidolgozott Gamow-héjmodellnek.

Módszereink felhasználhatók a radioaktív ionnyalábokat alkalmazó reakciók leírásában. E reakciók tanulmányozása elengedhetetlen a csillagokban lejátszódó azon folyamatok értelmezésében, amelyek az izotópgyakoriságokat határozzák meg. Eredményeinket felhasználhatják kollégáink az Atomki Nukleáris Asztrofizikai Csoportjában.

A szinte tökéletesre fejlesztett mikroszkopikus szerkezetszámítások kötött sokrészecskés rendszerekre alkalmazhatók. Hasonló részecskeszám-tartományban ab initio mikroszkopikus szórásszámítás kivitelezhetetlen a bonyolult határfeltételek miatt. Ezért minden olyan módszer nagy jelentőségű, amiben lehetőség van a határfeltételek kirovásának elkerülésére.

Az elmúlt években kísérletileg kimutatták a PT-szimmetrikus kvantummechanikai rendszerek létezését és igazoltak számos korábban megfogalmazott elméleti jóslatot. Mostanra a kvantumoptikában lehetségessé vált PT-szimmetriát mutató rendszerek előállítása. Eddigi eredményeink elősegíthetik az ilyen rendszerek megtervezését és várható tulajdonságaik előrejelzését.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
A mikrovilág tulajdonságait ütközési kísérletekkel vizsgálhatjuk. A részecskéket gyorsítóval adott energiára gyorsítjuk, ütköztetjük, majd az ütközés után megfigyeljük, hogy milyen részecskék keletkeznek, és ezek milyen irányba mozognak. E folyamatok elméleti értelmezése szükségessé teszi az ütköző rendszerek szerkezetének, illetve az ütközés folyamatának a leírását is. A probléma e két részletéről külön-külön is többféle modellel lehet számot adni, amelyek különbözhetnek az alapfeltevéseikben, az alkalmazott matematikai formalizmusban, illetve érvényességi körükben. A teljes folyamat bonyolultsága miatt általában közelítéseket kell tennünk, figyelembe véve az ütközö részecskék tulajdonságait, illetve kölcsönhatásait.

Az ütközés során kialakulhat olyan közbenső rendszer, mely élettartama elég nagy ahhoz, hogy önállóan is vizsgálható és felhasználható legyen. Ebben a nem stabil állapotban az ütköző részecskék aránylag hosszasan összetapadva maradnak, mielőtt a rendszer szétesik.

Tervezett kutatásaink során többféle elméleti módszert alkalmazunk a fenti ütközési folyamatok, illetve a bomló állapotok leírására. Célunk egyrészt maguknak a módszereknek a fejlesztése, pontosabbá és hatékonyabbá tétele, emellett vizsgálni tervezzük a különféle módszerek viszonyát. Továbbá konkrét fizikai rendszerek és ütközési folyamatok leírását is tervezzük elsösorban az atommagfizika területén. E rendszerek és folyamatok alapvető jelentőségüek például a csillagokban lejátszódó energiatermelés szempontjából, illetve az ott keletkező elemek gyakoriságának értelmezésében. Emellett a bomló atommagok jelentöségét mutatja az, hogy ilyen izotópokat felhasználnak az orvosi diagnosztikában is.

Summary

Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
In the usual formulation of quantum mechanics Hermitian operators are employed, because they possess real eigenvalues that can be assigned to the observable values of physical quantities. This formalism was found suitable for the description of bound states of quantum systems. Unbound (scattering and resonance) states also characterize the interaction of the given system with its environment in addition to its internal structure. In contrast with isolated, or closed quantum systems, in the description of open quantum systems that interact with their environment, the Hermiticity requirement often has to be abandoned and non-Hermitian Hamiltonians have to be applied.

We plan to conduct our planned research work using the experience we gained in the description of unstable systems and in the application of non-Hermitian models. This includes the use of complex potentials, the extension of the nuclear shell model with continuum states, the method of complex scaling, and PT-symmetric quantum mechanics that discusses special complex potentials. Our plans are formulated on various levels. First we plan to extend the existing methods, which, from the practical point of view necessitates techniques ranging from developing computer codes to using exact analytical calculations. Besides this our plans contain clarifying the relation of these methods to each other, as well as combining them. Finally, we wish to apply the techniques developed in the description of concrete unstable quantum systems, primarily in nuclear physics. During our research work we plan to make efforts to formulate the methods in a way that enables their application to general open quantum systems too.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
We plan solving the Schrödinger equation with various boundary conditions. This generally means solving systems of partial differential equations, which is done using numerical or exact methods or their combination.

Implementing the boundary conditions complicates calculations considerably (as for uncharged few-body systems), and sometimes it is simply impossible (as for charged few-body systems). The question here is whether the Shrödinger equation can be transformed such that the problematic boundary conditions get simplified, while for charged particles it is whether there are methods that allow avoiding the explicit implementation of the boundary conditions. In the case of scattering involving compound systems their microscopic description is also necessary in addition to that of the dynamics. However, in the interacting shell model the size of the basis grows rapidly with particle number. What kind of e.g. group theoretical considerations can be used to decrease the basis size?

Calculations based on the S-matrix can supply both bound and decaying states, but the methods can be uneasy to apply. What kind of other alternatives are available for the determination of the energy and half life of a decaying state of a few-body system? The Wigner-Weisskopf description of decaying states is possible using non-Hermitian Hamiltonians. What are the properties of these operators? Can we find exactly solvable models?

PT-symmetric quantum mechanics describes special complex potentials that may possess both real and complex energy eigenvalues. The mathematical formalism here shows similarity with that of complex scaling. Is it possible to connect the two theories?

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
The planned research work is mainly of methodological nature, so it is applicable in any field, where the task is non-relativistic description of open quantum systems. Due to the background of the participants concrete applications are expected in nuclear physics.

One possible field of application is nuclei far from the valley of stability, which are unstable even in their ground state, as they decay by the emission of one or more nucleons. The basic question here is to predict the neutron and proton numbers by which the strong interactions can keep the nucleons together to form a stable nucleus. One- and two-proton emission can reveal the coupling between bound a continuum states. The spectroscopic study of exotic nuclei can test the validity of standard nuclear models for decaying states. Many-body models based on complex scaling can be promising alternatives to the continuum-shell model or the recently developed Gamow shell model.

Our methods can be used in the description reactions employing radioactive ion beams. Investigating these reactions is essential for the interpretation of processes going on in the stars that determine isotopic abundance. Our results can be useful for our colleagues at the Nuclear Astrophysics Group.

For many-body systems sophisticated and almost perfect microscopic bound-state calculations can be performed with great accuracy. Ab initio microscopic scattering calculation with comparable particle number and truly many-body character cannot be carried out due to difficulties in the implementation of the boundary conditions. Accordingly, it is very important to develop methods in which the explicit construction of the boundary conditions can be avoided.

In the past few years the existence of PT-symmetric quantum mechanical systems has been demonstrated, and several theoretical predictions have been verified. Today it is possible to construct quantum optical systems exhibiting PT symmetry. Our results can be used to design such systems and to predict their expected characteristics.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
The microscopic world can be investigated by scattering experiments. Particles are accelerated to a given energy, then they are collided and after the collision the outgoing particles and their orientation are observed. The theoretical interpretation of these phenomena necessitates the description of both the structure of the colliding systems and the collision process. These two aspects of the problem can be accounted separately by various models, each differing in their basic assumptions, their mathematical formulation and their range of validity. Due to the complexity of the whole process one has to make approximations taking into account the properties of the colliding particles as well as their interactions.

During a scattering event an intermediate system can be formed, which may live long enough to be investigated and utilized. This unstable state is created by the colliding particles, which stick together for a while before decaying.

In our research we plan to employ several theoretical methods to describe the above scattering processes and decaying states. Our aim is developing these methods further by making them more accurate and effective, but we also plan to investigate the relation of the different methods. Furthermore, we plan the description of concrete physical systems and collision processes, mainly in nuclear physics. These processes have fundamental role in the energy production in stars, and also in the interpretation of the abundance of the elements produced. Besides this the importance of decaying nuclei is demonstrated by the fact that such isotopes are used in medical diagnostics too.

Final report

Results in Hungarian

A projekt során a résztvevők egymást kiegészítő tapasztalatát hasznosítottuk nyitott kvantumrendszerek és nem-Hermitikus modellek tanulmányozásához. Vizsgáltuk a kötött, szórási és rezonanciaállapotok leírására alkalmazott fenomenologikus magfizikai potenciálok pólusszerkezetét. Numerikus alkalmazásokhoz kifejlesztettünk egy programot, míg az analitikus és numerikus módszerek kombinálásával realisztikusabb potenciálalakokat dolgoztunk ki. Mikroszkopikus néhánytest-modelleket alkalmaztunk lazán kötött atommagfizikai és atomfizikai rendszerek leírására. A 17O(p,γ)18F reakció adatainak elméleti analízisével hozzásegítettük az Atomki Nukleáris Asztrofizikai Csoportját ahhoz, hogy az asztrofizikai S-faktort pontosabban tudják extrapolálni. Egyes szimmetriaelveket és algebrai módszereket alkalmazva kiterjesztettük az atommagok szerkezetét és reakcióit célzó vizsgálatainkat a mikroszkopikus modellekkel elérhetetlen tömegtartományra. A multikonfigurációs dinamikai szimmetria alkalmazásával különbözö konfigurációkhoz és energiatartományokhoz tartozó atommagspektrumok egységes leírását adtuk, megfogalmazva olyan jóslatokat, amelyeket a kísérletek igazoltak. A kvantummechanika terén egzaktul megoldható potenciálok széles körének (pl. a Natanzon-soztálynak) vezettük be a PT-szimmetrikus változatát. Emellett tárgyaltuk az operátorok szinguláris potenciálokhoz köthető önadjungált kiterjesztését, illetve vizsgáltuk a Natanzon osztályon kívül eső potenciálok megoldásait is.

Results in English

We utilized the complementary experience of the research team in studying open quantum systems and non-Hermitian models. We studied the pole structure of phenomenological potentials used in nuclear physics to describe bound, scattering and resonace states. An advanced computer code was written for numerical studies, while in combined analytical and numerical calculations we focused on developing more realistic potential shapes. We applied microscopic few-body models to describe loosely bound nuclear and atomic physical systems. Our theoretical analysis of the data on the the 17O(p,γ)18F reaction helped the Nuclear Astrophysical Group of Atomki in obtaining more reliable extrapolation of the astrophysical S factor. With the use of symmetry principles and algebraic methods we extended the study of the structural and reaction aspects of nuclei to a mass range, which is prohibitively difficult for most microscopic models. Using the multi-configurational dynamical symmetry, we gave unified description of detailed spectra of different configuration in different energy windows with a prediction that was supported by experiments. In quantum mechanics we described the complex PT-symmetric version of a number of exactly solvable potentials, including the rather wide Natanzon potential class. In addition, we discussed the self-adjoint extension of operators relevant to singular potentials, and studied the solutions of certain potentials beyond the Natanzon class.

Full text

https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=112962

Decision

Yes

List of publications

Lévai G: PT symmetry in Natanzon-class potentials, International Journal of Theoretical Physics 54: 2724-36, 2015

Baran A, Noszály Cs, Salamon P, Vertse T: Calculating broad neutron resonances in a cut-off Woods-Saxon potential, European Physical Journal A Hadrons and Nuclei 51: 76, 2015

Hornyák I, Kruppa AT: An algorithm for the calculation of the partial wave expansion of the Coulomb-distorted plane wave, Computer Physics Communications (in press), 2015

Kruppa AT, Vajday L: Translates of exponential monomials on some two-point support hypergroups, Journal of Mathematical Analysis (in press), 2015

Cseh J, Riczu G: Quartet excitations and cluster spectra in light nuclei, Phys. Lett. B (submitted), 2015

Id Betan RM, Kruppa AT, Vertse T: Shadow poles in a coupled-channel problem calculated with Berggren basis, Phys. Rev. C (submitted), 2015

Baran A, Noszály Cs, Salamon P, Vertse T: Calculating broad neutron resonances in a cut-off Woods-Saxon potential, European Physical Journal A Hadrons and Nuclei 51: 76, 2015

Hornyák I, Kruppa AT: An algorithm for the calculation of the partial wave expansion of the Coulomb-distorted plane wave, Computer Physics Communications 197 291, 2015

Kruppa AT, Vajday L: Translates of exponential monomials on some two-point support hypergroups, Journal of Mathematical Analysis Vol. 6, Issue 3, Paper 2, 2015

Cseh J, Riczu G: Quartet excitations and cluster spectra in light nuclei, Phys. Lett. B 757 312, 2016

P. Salamon, Á. Baran, T. Vertse,: Distribution of the S-matrix poles in Woods-Saxon and cut-off Woods-Saxon potentials, Nucl. Phys. A 952 1, 2016

G. Lévai, Á. Baran, P. Salamon, T. Vertse: Analytical solutions for the radial Scarf II potential, submitted to J. Phys. A:Math. Theor., 2016

S. Shubhchintak, C. A. Bertulani, A. M. Mukhamedzhanov, A. T. Kruppa: Radiative nucleon capture with quasi-separable potentials, submitted to J. Phys. G:Nucl. Part. Phys., 2016

L. Székelyhidi, L. Vajday: Spectral Synthesis on Commutative Hypergroups, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp., in press, 2016

G. Lévai: Exactly solvable PT-symmetric models, Imperial College Press, submitted, 2016

G. Lévai: Accidental crossing of energy eigenvalues in PT-symmetric Natanzon-class potentials, submitted to Annals of Physics (N. Y.), 2016

P. Adsley, D.G. Jenkins, J. Cseh, S.S. Dimitriova, J.W. Brummer, K. C. W. Li, D. J. Marin-Lambarri, K. Lukyanov, N.Y. Kheswa, R. Neveling, P. Papka, L. Pellegri, V. Pesudo, L.C. Pool, G. Riczu, F.D. Smit, J.J. van Zyl, E. Zemlyanaya: Alpha clustering in 28Si probed through the identification of high-lying 0+ states, arXiv 1609.00296 [nucl-ex], submitted to Phys. Rev. C, 2016

G. Lévai: Semimicroscopic algebraic description of alpha clustering in Ne isotopes, J. Phys. Conf. Ser., submitted, 2016

G. Lévai, Á. Baran, P. Salamon, T. Vertse: Analytical solutions for the radial Scarf II potential, Phys. Lett. A 381 1936, 2017

S. Shubhchintak, C. A. Bertulani, A. M. Mukhamedzhanov, A. T. Kruppa: Radiative nucleon capture with quasi-separable potentials, J. Phys. G:Nucl. Part. Phys. 43 125203, 2016

L. Székelyhidi, L. Vajday: Spectral Synthesis on Commutative Hypergroups, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 45 111, 2016

G. Lévai: Exactly solvable PT-symmetric models, Imperial College Press, submitted, 2017

G. Lévai: Accidental crossing of energy eigenvalues in PT-symmetric Natanzon-class potentials, Annals of Physics (N. Y.) 380 1, 2017

G. Lévai: Semimicroscopic algebraic description of alpha clustering in Ne isotopes, J. Phys. Conf. Ser., 863 012017, 2017

Gy. Gyürky, A. Ornelas, Zs. Fülöp, Z. Halász, G.G. Kiss, T. Szücs, R. Huszánk, I. Hornyák, I. Rajta, and I. Vajda: Cross section measurement of the astrophysically important 17O(p,gamma)18F reaction in a wide energy range, Phys. Rev. C 95 035805, 2017

P. Salamon, T. Vertse: Smoothed square well potential, Eur. Phys. J. A 53 152, 2017

J. Cseh, G. Riczu, J. Darai, T. Dytrych, E. Betak: Exotic shapes and exotic symmetries, Submitted to Physica Scrpita, 2017

G. Lévai, A. M. Ishkhanyan: Exact solutions of the sextic oscillator from the bi-confluent Heun equation, Submitted to J. Phys. A:Math. Theor., 2017

K. Drumev, A Georgieva, J. Cseh: Phases and phase pransitions in the algebraic microscopic pairing-plus-quadrupole model: Role of the single-sarticle term in the Hamiltonian, Nuclear Theory, 2016

E. Betak, J. Cseh: State density formalism of the Iwamoto-Harada model : A suitable tool to treat cluster emission from heavy-ion collisions with account for spin variables, Submitted to Proc. International Conference On Nuclear Data, Bruges, Belgium, 11-16 Sep 2016, 2017

Á. Baran, T. Vertse: Matching polynomial tails to the cut-off Woods-Saxon potential, Submitted to the International Journal of Modern Physics E, 2017

I. Hornyák and A.T. Kruppa: Hylleraas and Kinoshita wave functions with correct cusp conditions, Submitted to Phys. Rev. A, 2017

G. Lévai, J. Kovács: The finite PT-symmetric square well potential, Submitted to Phys. Lett. A, 2017

Id Betan RM, Kruppa AT, Vertse T: Shadow poles in a coupled-channel problem calculated with Berggren basis, Phys. Rev. C 97 (2018) 024307, 2018

G. Lévai: Exactly solvable PT-symmetric models, PT symmetry in quantum and classical physics, C. M. Bender et al., Worl Scientific, ISBN 978-1-78634-595-0, 2018

J. Cseh, G. Riczu, J. Darai, T. Dytrych, E. Betak: Shapes, quartets and clusters of atomic nuclei in a semimicrsocopic framework, Bulgarian Journal of Physics 44 (2017) 466., 2017

G. Lévai, A. M. Ishkhanyan: Exact solutions of the sextic oscillator from the bi-confluent Heun equation, Submitted to Mod. Phys. Lett. A, 2018

Á. Baran, T. Vertse: Matching polynomial tails to the cut-off Woods-Saxon potential, International Journal of Modern Physics E 26 (2017) 17500078, 2017

I. Hornyák and A.T. Kruppa: Hylleraas and Kinoshita wave functions with correct cusp conditions, Physical Review A 96 (2017) 052506(7), 2017

G. Lévai, J. Kovács: The finite PT-symmetric square well potential, Submitted to J. Phys. A, 2018

J. Cseh, R. Trencsényi: On the symmetries of the 12C nucleus, International Journal of Modern Physics E 27 (2018) 1850013., 2018

K. P. Drumev, A. I. Georgieva, J. Cseh: Phases in an algebraic shell model of atomic nuclei, Nuclear Theory, Vol. 36, eds. M. Gaidarov, N. Minkov Heron Press, Sofia (Bulgaria) 2017, p. 261., 2017

G. Lévai: PT symmetry in Natanzon-class potentials, International Journal of Theoretical Physics 54: 2724-36, 2015

Á. Baran, Cs. Noszály, P. Salamon, T. Vertse: Calculating broad neutron resonances in a cut-off Woods-Saxon potential, European Physical Journal A Hadrons and Nuclei 51: 76, 2015

I. Hornyák, A. T. Kruppa: An algorithm for the calculation of the partial wave expansion of the Coulomb-distorted plane wave, Computer Physics Communications 197 291, 2015

A. T. Kruppa, L. Vajday: Translates of exponential monomials on some two-point support hypergroups, Journal of Mathematical Analysis Vol. 6, Issue 3, Paper 2, 2015

J. Cseh, G. Riczu: Quartet excitations and cluster spectra in light nuclei, Phys. Lett. B 757 312, 2016