Véges csoportok invariánsgyűrűire vonatkozó fokszám korlátok
Title in English
Degree bounds related to the rings of polynomial invariants of finite groups
Keywords in Hungarian
Noether korlát, invariáns gyűrű, véges csoportok
Keywords in English
Noether bound, ring of polynomial invarints, finite groups
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Algebra
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Starting date
2014-09-01
Closing date
2018-08-31
Funding (in million HUF)
20.389
FTE (full time equivalent)
2.74
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A kutatásunk fő célkitűzése az, hogy a véges csoport polinominvariánsainak a gyűrűit tanulmányozzuk a Noether számuk és az ehhez hasonló fokszámkorlátok jobb megértése révén. Az olyan egyedi esetek vizsgálata mint a Heisenberg csoport vagy a pq rendű nem-abeli szemidirekt szorzat elvezethet bennünket mindazon csoportok klasszifikációjához amelyekre β(G) ≥ |G|/q teljesül (ahol q a legkisebb prim osztoja |G|-nek). Reményeink szerint a p-csoportok zéró-szeparáló rendszereire is adható lenne egy általános fokszámkorlát, amihez σ(G) értékét mindenekelőtt a primtestek feletti felső háromszögmátrixok csoportjára kellene meghatározni. Ezen felül megkísérlünk a magasabb szüzügiák generátoraira is fokszám korlátot találni és leellenőrizni az erre vonatkozó Derksen sejtést. Végül az invariáns gyűrűk generátorainak megkonstruálására szolgáló algoritmusok továbbfejlesztését is várhatjuk némely további kérdés tisztázástól a polarizációval illetve a homogén paraméter-rendszerekkel kapcsolatban.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. A kutatásunk alapkérdése az, hogy milyen szabályszerűségek és tények tárhatók fel a véges csoportok polinominvariánsai gyűrűinek fokszám korlátait illetően. Központi hipotézisünk a Noether számmal és a többi hasonló fokszám korláttal kapcsolatban jelenleg rendelkezésre álló rendkívül hiányos ismeretein körét jelentősen bővíthetnénk a kombinatorikus számelméletből, a homologikus algebrából, a torikus varietások elméletéből és a csoportkohomológiéból vett eredmények és tehnikák alkalmazásával.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! Kutatásunk jelentősége abban áll, hogy a polinominvariánsok gyűrűinek a struktúrájáról tehetünk szert jobb ismeretekre a rájuk vonatkozó fokszám korlátok vizsgálata révén. Ez pedig új lendelületet adhat a tudomány és a tehnológiai mindazon számos területének, amelyen ezen invariáns gyűrűk gyakorlati alkalmazására sor kerül.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A fizikától és a kémiától kezdve a kombinatorikáig számos nagy jelentőségű gyakorlati kérdés matematikai modellje vezethető vissza véges csoportok polinomiális invariánsainak a gyűrűire. Ahhoz, hogy ezekben a gyűrűkben konkrét számításokat tudjunk elvégezni, előbb meg kell találnunk a generátoraikat, ez azonban a legtöbb esetben sajnos olyannyira bonyolult feladat, hogy a jelenlegi algoritmusainkkal gyakorlatilag szinte kivitelezhetetlen. Viszont ezen gyűrűk struktújárát részben mégis feltárhatjuk a rájuk vonatkozó fokszám korlátok révén. Ezeknek tehát megvan az a potenciális haszna is hogy az invariáns gyűrűk kezelésére szolgáló algoritmusok komplexitását csökkentsék.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The main goal of our research is to study the rings of polynomial invariants of finite groups by obtaining a better understanding of the Noether number and some other related degree bounds. Analysing such particular cases as the Heisenberg group and the non-abelian semi-direct product of order pq will hopefully lead us to the classification of those groups for which β(G) ≥ |G|/q holds (where q is the smallest prime divisor of |G|). We also hope to obtain a general bound on the degrees in zero-separating system for p-groups by calculating σ(G) first for the case of upper triangular matrices over a prime field. We also try to get degree bounds for the generators of higher syzygies and to verify this way Derksen’s corresponding conjecture. Finally we hope to enhance the algorithmic construction of the generators of invariant rings by clarifying some technical issues related to polarisation and homogeneous systems of parameters.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. The main question of our research is to find what kinds of rules and facts are true of different degree bounds related to the rings of polynomial invariants of finite groups. Our main hypothesis is that the currently available very lacunary understanding of the Noether number and the other kind of similar degree bounds could be substantially enhanced through the application of some result and techniques of combinatorial number theory, homologycal algebra, toric varieties, group cohomology, etc.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. The significance of our research is that we can acquire a better understanding of the structure of rings of polynomial invariants through the study of the degree bounds related to them, thereby giving an impetus to all those varied fields of science and technology where these kind of rings have many practical applications.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. Many problems of great practical interest ranging from physics and chemistry up to combinatorics can be modelled mathematically through some rings of polynomial invariants of finite groups. In order to carry out any calculations within this rings we need to find their generators first, but unfortunately this task is so complex in most of the cases that it is practically unfeasible with our current algorithms. We can gain however some insight in the structure of these rings by studying the different degree bounds related to them. Hence a potential outcome of this line of research is to reduce the complexity of the algorithms we use for handling these invariant rings.
Final report
Results in Hungarian
Kutatásaink középponjában egy csoport Noether száma áll, ami a csoport invariáns gyűrűjét generáló elemek fokszámának a maximuma. Ezzel kapcsolatban az alábbi főbb eredményeket értük el:
1) alsó becslést adtunk a tükrözés-csoportok Noether számára
2) új bizonyítást adtunk Nakajima tételére az invariáns gyűrűk osztálycsopotjáról
3) meghatároztuk minen 32-nél kisebb rendű csoport Noether számát
4) Ellenpéldát konstruáltunk Geroldinger és Grynkiewicz egy sejtésére a Noether szám és a Davenport konstans kapcsolatáról
5) Klasszifikáltuk mindazon p-csoportokat, amelyek Noether száma legalább a csoport elemszámának p-ed része
6) Két újfajta általános alsó becslést adtunk egy csoport Noether számára: az egyik a koinvariánsok maximális fokával teremt összefüggést, a másik a csoport egy normálosztója és a szerinte vett faktor Noether számára vezeti vissza a teljes csoportét
7) permutáció-csoportok körében részlegesen igazoltuk, hogy egy reprezentáció Noether száma felülről becsülhető a reprezentáció dimenziójával.
8) Konkért algoritmusokat dolgoztunk ki egy csoport Noether számának illetve Davenport konstansának a kiszámolására.
Results in English
Our research focused on the Noether number of a group, which gives the maximal degree of the generators of the ring of polynomial invariants of that group. Our main results in this respect are the following:
1) we gave lower bounds for the Noether numbers of reflexion groups
2) we found a new proof for Najima's theorem on the class group of invariant rings
3) we determined the Noether number for every group of order less than 32
4) we constructed a counterexample for a conjecture of Geroldinger and Grynkiewicz on the connexion between the Noether number and the large Davenport constant
5) we classified all p-groups with Noether number at least as large as 1/p times the group order
6) we gave two new general lower bounds on the Noether number: one of them relates it to the maximal degree of the coinvariant algebra of that group, and the other relates the Noether number of the whole group to the Noether number of a normal subgroup and the factor group with that normal subgroup in the kernel
7) for permutation representation we partially proved that the Noether number is bounded from above by the dimension of that representation
8) We developed some algorithms for calculating the Noether number and the Davenport constant
