constraint equations, hyperbolic evolutionary systems, mixed initial value problem
Discipline
Physics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Mathematical physics
Panel
Physics 1
Department or equivalent
Theoretical Physics Department (Wigner Research Centre for Physics)
Participants
Csukás, Károly Zoltán
Starting date
2015-09-01
Closing date
2021-02-28
Funding (in million HUF)
3.892
FTE (full time equivalent)
6.00
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. Napjainkban az általános relativitáselmélet egyik legintenzívebben kutatott területe a rá vonatkozó Cauchy-probléma.
Az elmúlt évek során ez irányban végzett vizsgálataink a Cauchy-probléma egy teljesen új megközelítésének lehetőségét vetítik előre. A bevezetett analitikus keret lehetőséget teremt mind a kényszeregyenletek, mind pedig a fejlődési egyenletek új megoldásainak hatékony előállítására. A kezdeti sikerek ellenére meg kell említenünk, hogy az új módszer bevezetése során rengeteg érdekes nyitott tudományos kérdés fogalmazódott meg. Ezek megválaszolására, valamint az új módszer alkalmazhatóságának demonstrálására irányulnak a jelen pályázatban megfogalmazódott célkitűzések is.
Új módszerünk ereje abban rejlik, hogy egyszerre tud sokrétű és következményeiben messze mutató lenni. Azt várjuk, hogy a kettős feketelyukakat leíró téridők alkalmas kezdőadatait úgy tudjuk megkonstruálni, hogy az általánosságot és alkalmazhatóságot lényegesen lerontó elliptikus egyenletek alkalmazását elkerülhetjük. Ezáltal megszabadulhatunk az elliptikus módszerrel kapott kezdőadatokat jellemző ismeretlen eredetű és így kezelhetetlen gravitációs sugárzásoktól. Ezen messze túlmenő jelentőséggel bír az általunk bevezetett kevert hiperbolikus-hiperbolikus kezdőérték-probléma által biztosított hatékonyság. Érdemes azt is megemlíteni, hogy az újonnan alkalmazott geometriailag kitüntetett változóink a gravitáció kanonikus kvantumelméletének kiépítésében alkalmazott redukált fázistér alapvetően fontos struktúráinak kiépítéséhez is illeszkednek. Végül a kapott analitikus eredmények numerikus relativitáselméleti alkalmazásaitól is fontos új eredményeket várunk.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. Az általános relativitáselmélet egyik legmeglepőbb tulajdonsága az, hogy a gravitációs hatásokat megjelenítő téridő geometria dinamikai. Ennek matematikai vizsgálata feltételezi azt, hogy a gravitáció-anyag csatolt rendszerei hiperbolikus egyenletekkel írhatók le. A kapcsolódó kezdőérték-problémát Cauchy-problémaként is szokás emlegetni. A Cauchy-problémában az az elsődleges cél, hogy megmutassuk, a megengedett kezdőadatok és a megoldások tere között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.
Az elvégzett vizsgálataink a Cauchy-probléma egy teljesen új megközelítésének lehetőségét vetítik előre. Mindezek mellet fontos annak gyakorlati demonstrálása, hogy a szokásos módszerekkel nem, vagy csak nehezen megoldható problémákat az általunk javasolt módszerrel hatékonyan meg lehet oldani.
Módszerünk egyszerre tud sokrétű és következményeiben messze mutató lenni. Azt várjuk, hogy a kettős feketelyukakat leíró téridők alkalmas kezdőadatait úgy tudjuk megkonstruálni, hogy az általánosságot lényegesen lerontó elliptikus egyenleteket nem használunk. Ennek révén megszabadulhatunk az elliptikus módszerrel kapott kezdőadatokat jellemző ismeretlen eredetű és így kezelhetetlen gravitációs sugárzásoktól. Ezen messze túlmenő jelentőséggel bír a kevert hiperbolikus-hiperbolikus kezdőérték-probléma által biztosított hatékonyság. Érdemes azt is megemlíteni, hogy az újonnan alkalmazott geometriailag kitüntetett változóink a gravitáció kanonikus kvantumelméletének kiépítésében alkalmazott redukált fázistér alapvető struktúráinak kiépítéséhez is illeszkednek. Végül a kapott analitikus eredmények numerikus relativitáselméleti alkalmazásaitól is fontos új eredményeket várunk.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! Az általános relativitáselmélet egyik legmeglepőbb tulajdonsága az, hogy a gravitációs hatásokat megjelenítő téridő geometria is dinamikai entitás. Ennek a tulajdonságnak a matematikai vizsgálata feltételezi azt, hogy a gravitáció-anyag csatolt rendszerei hiperbolikus egyenletekkel írhatók le. Az ezekhez kapcsolódó kezdőérték-problémát Cauchy-problémaként is szokás emlegetni. A Cauchy-problémában az az elsődleges cél, hogy megmutassuk, a megengedett kezdőadatok és a megoldások tere között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.
A Cauchy-probléma vizsgálatához olyan koncepciók jobb megértése társul, mint például a relativisztikus kauzalitásé, de a numerikus módszerek kiépítéséhez elengedhetetlenül szükséges matematikai háttér megalkotása is elképzelhetetlen lenne nélküle. Különféle, az Einstein-egyenletek megoldásaira vonatkozó várakozásaink ellenőrizését teszi lehetővé, így például valamilyen tulajdonság perturbációkkal szembeni stabilitása is vizsgálható a Cauchy-probléma technikai eszköztárának felhasználásával.
Az elvégzett vizsgálataink a Cauchy-probléma egy teljesen új megközelítésének lehetőségét vetítik előre. Mindezek mellet fontos annak gyakorlati demonstrálása, hogy a szokásos módszerekkel nem, vagy csak nehezen megoldható problémákat az általunk javasolt módszerrel hatékonyan meg lehet oldani.
Módszerünk egyszerre tud sokrétű és következményeiben messze mutató lenni. Azt várjuk, hogy a kettős feketelyukakat leíró téridők alkalmas kezdőadatait úgy tudjuk megkonstruálni, hogy az általánosságot lényegesen lerontó elliptikus egyenleteket nem használunk. Ennek révén megszabadulhatunk az elliptikus módszerrel kapott kezdőadatokat jellemző ismeretlen eredetű és így kezelhetetlen gravitációs sugárzásoktól. Ezen messze túlmenő jelentőséggel bír a kevert hiperbolikus-hiperbolikus kezdőérték-probléma által biztosított hatékonyság. Érdemes azt is megemlíteni, hogy az újonnan alkalmazott geometriailag kitüntetett változóink a gravitáció kanonikus kvantumelméletének kiépítésében alkalmazott redukált fázistér alapvető struktúráinak kiépítéséhez is illeszkednek. Végül a kapott analitikus eredmények numerikus relativitáselméleti alkalmazásaitól is fontos új eredményeket várunk.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. Az általános relativitáselmélet egyik legmeglepőbb tulajdonsága az, hogy a gravitációs hatásokat megjelenítő téridő geometria is dinamikai entitás. Ennek a tulajdonságnak a matematikai vizsgálata feltételezi azt, hogy a gravitáció-anyag csatolt rendszerei hiperbolikus egyenletekkel írhatók le. Az ezekhez kapcsolódó kezdőérték-problémát Cauchy-problémaként is szokás emlegetni. A Cauchy-problémában az az elsődleges cél, hogy megmutassuk, a megengedett kezdőadatok és a megoldások tere között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.
Az általunk bevezetett új módszer ereje abban rejlik, hogy egyszerre tud sokrétű és következményeiben messze mutató lenni. Azt várjuk, hogy a kettős feketelyukakat leíró téridők alkalmas kezdőadatait úgy tudjuk megkonstruálni, hogy az általánosságot és alkalmazhatóságot lényegesen lerontó elliptikus egyenletek alkalmazását elkerülhetjük. Módszerünk rugalmassága révén megszabadulhatunk az elliptikus módszerrel kapott kezdőadatokat jellemző ismeretlen eredetű és így kezelhetetlen gravitációs sugárzásoktól. Ezen messze túlmenő jelentőséggel bír az általunk bevezetett kevert hiperbolikus-hiperbolikus kezdőérték-probléma által biztosított hatékonyság. Érdemes azt is megemlíteni, hogy az újonnan alkalmazott geometriailag kitüntetett változóink a gravitáció kanonikus kvantumelméletének kiépítésében alkalmazott redukált fázistér alapvetően fontos struktúráinak kiépítéséhez is illeszkednek. Végül a kapott analitikus eredmények numerikus relativitáselméleti alkalmazásaitól is fontos új eredményeket várunk.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The Cauchy problem is one of the most intensively investigated fields in general relativity. During the last couple of years considerably large part of our research interest focused on this subject.
Our preliminary results opened up a new passage in the Cauchy problem of general relativity. The introduced new analytic setup appears to be very promising concerning the solubility of the constraint and evolution equations. Nevertheless, we have to admit that the mere introduction of the proposed method opened a lot more new issues than answers yet. Therefore, it has to be verified in practice that some of the problems which are hardly solvable in the conventional setup can be solved in an effective way by using the proposed new method. The principal aim of the present proposal is to do so.
The real strength is the underlying new approach is manifolded and far reaching. It includes the search for physically adequate initial data specifications for binary black hole configurations by avoiding elliptic equations. Our approach has some features that may suppress the non-physical junk radiation present in the currently used initial data specifications. More importantly, the new type of mixed hyperbolic-hyperbolic evolutionary systems do also provide a remarkable flexibility in solving the Cauchy problem. In parallel, by applying the geometrically distinguished quantities in the canonical formulation of general relativity a completely new passage could be opened towards quantization of gravity. Last but not least the applications of the anticipated new results in numerical relativity are also expected to turn out to be rewarding.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. One of the most striking attribute of general relativity is that the spacetime geometry—this represents the gravitational effects—is dynamical. In formulating the corresponding dynamical features one inevitably needs a hyperbolic formulations of the coupled Einstein−matter field equations. The pertinent investigations are referred as the initial value problem or as the Cauchy problem of general relativity. The primary aim of the Cauchy problem is to show that there is a one-to-one correspondence between solutions and initial data specifications.
Our preliminary results opened up a new passage in the Cauchy problem of general relativity. Nevertheless, it has to be verified in practice that some of the problems which are hardly solvable in the conventional setup can be solved in an effective way by using the proposed new method.
The real strength is the underlying new approach is manifolded and far reaching. It includes the search for physically adequate initial data specifications for binary black hole configurations by avoiding elliptic equations. Our approach has some features that may suppress the non-physical junk radiation present in the currently used initial data specifications. More importantly, the new type of mixed hyperbolic-hyperbolic evolutionary systems do also provide a remarkable flexibility in solving the Cauchy problem. In parallel, by applying the geometrically distinguished quantities in the canonical formulation of general relativity a completely new passage could be opened towards quantization of gravity. Last but not least the applications of the anticipated new results in numerical relativity are also expected to turn out to be rewarding.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. One of the most striking attribute of general relativity is that the spacetime geometry—this represents the gravitational effects—is dynamical. In formulating the corresponding dynamical features one inevitably needs a hyperbolic formulations of the Einstein−matter field equations. The pertinent investigations are referred as the initial value problem or as the Cauchy problem of general relativity. The primary aim of the Cauchy problem is to show that there is a one-to-one correspondence between solutions and initial data specifications.
Among the benefits of studying the Cauchy problem one should mention that the notion of relativistic causality gets into an appropriate context in it, and also it is essential in constructing a proper analytical background for numerical schemes aiming to solve Einstein equations. It can also be used to check various conjectures about solutions of the Einstein equations, in particular, to clear up whether certain properties of some distinguished solutions are stable against perturbations.
Our preliminary results opened up a new passage in the Cauchy problem of general relativity. Nevertheless, it has to be demonstrated that this new passage is viable, i.e., it has to be verified in practice that some of the problems which are hardly solvable in the conventional setup can be solved in an effective way by using the proposed new method.
The real strength is the underlying new approach is manifolded and far reaching. It includes the search for physically adequate initial data specifications for binary black hole configurations by avoiding elliptic equations. Our approach has some features that may suppress the non-physical junk radiation present in the currently used initial data specifications. More importantly, the new type of mixed hyperbolic-hyperbolic evolutionary systems do also provide a remarkable flexibility in solving the Cauchy problem. In parallel, by applying the geometrically distinguished quantities in the canonical formulation of general relativity a completely new passage could be opened towards quantization of gravity. Last but not least the applications of the anticipated new results in numerical relativity are also expected to turn out to be rewarding.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. One of the most striking attribute of general relativity is that the spacetime geometry—this represents the gravitational effects—is dynamical. Since the fundamental discovery by Choquet-Bruhat there have been considerable developments in studying the evolution of the geometry of the spacetime. In formulating these dynamical features one inevitably needs a hyperbolic formulations of the coupled Einstein−matter field equations. The pertinent investigations are commonly referred as the initial value problem or shortly as the Cauchy problem of general relativity. The primary aim of the Cauchy problem is to show that there is a one-to-one correspondence between solutions and initial data specifications.
The real strength is the proposed new approach is manifolded and far reaching. It includes the search for physically adequate initial data specifications for binary black hole configurations by avoiding elliptic equations. Our approach has some features that may suppress the non-physical junk radiation present in the currently used initial data specifications. More importantly, the new type of mixed hyperbolic-hyperbolic evolutionary systems do also provide a remarkable flexibility in solving the Cauchy problem. In parallel, by applying the geometrically distinguished quantities in the canonical formulation of general relativity a completely new passage could be opened towards quantization of gravity. Last but not least the applications of the anticipated new results in numerical relativity are also expected to turn out to be rewarding.
Final report
Results in Hungarian
Két radikálisan új módszert vezettem be az általános relativitáselmélet kényszereinek megoldására. A kapott parabolikus-hiperbolikus és algebrai-hiperbolikus egyenletek fontos alternatívái a Lichnerowicz és York által több mint hét évtizeddel ezelőtt bevezetett elliptikus egyenleteknek.
Szisztematikus analitikus és numerikus vizsgálatokat végeztünk annak igazolására, hogy a kényszerek új alakjainak felhasználásával is előállíthatunk aszimptotikusan sík kezdőadatokat.
Új módszerünkkel különféle egyedi-feketelyuk és feketelyuk-kettős kezdőadatokat készítettünk. Fő eredményünk feketelyuk-kettős kezdőadatok olyan általános előállítása, melynek során az erős gravitációs térrészben semmiféle „ad-hoc” határfeltételt nem használunk.
Elsőként végeztük el a forgó feketelyuk-háttéren az s = 0, ± 1, ± 2 spinű perturbációk időfejlődésének teljesen általános (szimmetriafeltételek használata nélküli) vizsgálatát. Megvizsgáltuk a perturbációk aszimptotikus viselkedését, valamint a szuperradiancia jelenségét.
Kidolgoztunk és implementáltunk egy teljesen új, nagyon pontos numerikus eljárást. Mivel mind a konform kompakciót, mind pedig a hiperbolikus kezdeti értékproblémát alkalmazzuk, módszerünk jelenleg a világ egyik leghatékonyabb módszere.
15 magas színvonalú tudományos cikk elkészítése mellett, eredményeinket 21 meghívott konferencia-előadáson, 19 meghívott intézményi szemináriumi előadáson és két meghívott egyetemi kurzuson mutattuk be.
Results in English
I introduced two radically new methods to solve the constraints in general relativity. These are the parabolic-hyperbolic and the algebraic-hyperbolic forms, which provide viable alternatives to the elliptic method introduced by Lichnerowicz and York more than seven decades ago.
We carried out systematic analytic and numerical investigations of the new evolutionary systems to verify that we can use them to produce asymptotically flat initial data configurations.
We constructed various types of black hole initial data configurations by using the evolutionary form of the constraints. These involved perturbed individual black holes, but the main achievement was to construct binary black hole initial data without applying “ad hoc” boundary conditions in the strong-field regime.
We carried out the first fully generic (without using any symmetry reduction) investigation of the evolution of spin s = 0, ±1, ±2 perturbations of rotating black hole background. We investigated the late time tail behavior, as well as superradiance.
We worked out and implemented a completely new, very effective numerical method. The use of which, along with the techniques of conformal compactification and the hyperbolic initial value problem, makes our method to be of world-class.
We published 15 high-quality scientific papers. Our results were presented in 21 invited conference lectures, 19 invited institutional seminar presentations, and two invited university courses.
