Stochastic and Analytic Geometry  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
116451
Type K
Principal investigator Böröczky, Károly
Title in Hungarian Sztochasztikus és analitikus geometria
Title in English Stochastic and Analytic Geometry
Keywords in Hungarian Lp Minkowski probléma, Gauss politópok, egyenlőtlenségek stabilitása,
Keywords in English Lp Minkowski problem, Gaussian polytopes, stability of inequalities,
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Probability theory
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Participants Ambrus, Gergely
Fejes Tóth, Gábor
Fodor, Ferenc
Kurusa, Árpád
Vígh, Viktor
Zarnócz, Tamás
Starting date 2016-01-01
Closing date 2019-12-31
Funding (in million HUF) 13.356
FTE (full time equivalent) 6.04
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
Az Lp-Brunn-Minkowski elmélettel kapcsolatban a fő cél a kúp térfogatmérték (L0 felületi mérték) karakterizálása, és a logaritmikus Brunn-Minkowski sejtés bizonyítása. Úgy szintén megkívánjuk adni két kapcsolódó klasszikus egyenlőtlenség, a Prékopa-Leindler egyenlőtlenség és a Brascamp-Lieb egyenlőtlenség stabil verzióját.

Gauss politópok lapszámára kívánunk formulát adni abban az esetben, ha a tér dimenziója is, és a véletlen pontok számának és a tér dimenziójánaknak az aránya is tart a végtelenbe.

Véletlen pontrendszerekkel kapcsolatban, a síkbeli esetben hosszú konvex láncokat vizsgálunk, míg magas dimenziókban geometriai pont folyamatokat tekintünk, illetve ezek kapcsolatát az affin felülettel.

Végül a lehetséges kovariogram függvényeket vizsgáljuk.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
A fő probléma, hogy hogyan kapcsolódnak a geometriai, analitikus és sztochastikus szempontok a projekt témaköreiben.

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
A projekt hasznosíthatósága a kovariogram felhasználhatósága a képfelismerésben illetve röntgenben.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
Az OTKA projekt fő célja a konvex testekhez rendelt, a gömbfelszínen élő ún kúptérfogat mérték karakterizálása, és kapcsolódó geometriai egyenlőtlenségek bizonyítása. Véletlen pontrendszerekhez rendelt különböző fogalmakat is vizsgálunk. Alkalmazásokhoz kapcsolódik a kovariogram felhasználhatósága a képfelismerésben illetve röntgenben.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
Concerning the Lp-Brunn-Minkowski theory, the main goal is the characterization of the cone volume measure (L0-surface area measure), and proving the logarithmic Brunn-Minkowski conjecture. We also attempt to find stability versions of two related classical inequalities, the Prekopa-Leindler inequality, and the Brascamp-Lieb inequality.

We consider face numbers of Gaussian polytopes if both the dimension, and the quotient of the number of i.i.d. Gaussian points over the dimension tend to infinity.

We also consider long convex chain among planar random point sets, and limit shapes of higher dimensional geometric point processes, and the possible role of the affine surface area in these problems.

Finally we investigate the possible the covariogram functions.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
The main problem is how the view points of geometry, stochastics and analysis interrelate in the topics of the project.

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
The connection of the project to applications is the use of the covariogram in image processing and X-ray.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
One of the main goals of the OTKA project is to characterize the so called cone volume measures on the sphere associated to convex bodies, and to prove some related basic geometric inequalities. We also investigate various objects associated to random point sets. The closest connection to applications is the topic of the covariogram, which is used in image processing and X-ray.




 

Final report

  
Results in Hungarian
A 116451 NKFIH projekt központi témája a több, mint 100 éve intenzíven vizsgált Minkowski problémát kiteljesítő Lp Minkowski probléma és annak duális változata. A projekt több eredményét vezető matematikai lapok közlik, mint Journal of EMS, Advances in Mathematics, Journal of Differential Equations, Journal of Functional Analysis, Transactions of AMS,stb. Az NKFIH projektnek sikerült meghatározó új eredményeket elérni az Lp Minkowski problémában, ha -n<p<1. A nemrég felvetett q-adik duális Lp Minkowski probléma kapcsán NKFIH projekt megoldotta a p>1 és q>0 esetet, és a megoldás simaságát is leírta. Konvex testeken értelmezett kiértékélesékkel kapcsolatban, az NKFIH projekt karakterizált bizonyos rácspolitópokon értelmezett kiértékeléseket, továbbá bizonyos folytonos tenzorértékű kiértékelést is. Ezek mellett az NKFIH projekt alapvető eredményeket ért el a fordított isometrikus egyenlőtlenséggel kapcsolatban is.
Results in English
The main focus of the project is the the so called Lp Minkowski problem and its dual version extending the classical Minkowski problem having been in the center of attention for a century. Many of the papers resulting from the NKFIH K 11645 project have appeared in top mathematical journals like Journal of EMS, Advances in Mathematics, Journal of Differential Equations, Journal of Functional Analysis, Transactions of AMS, etc. The NKFIH project managed to strengthen all known results about the Lp Minkowski problem if -n<p<1. A generalization of the Lp Minkowski problem is the recently introduced qth dual Lp Minkowski problem by Lutwak, Yang and Zhang where q=0 corresponds to the classical problem. In addition, the NKFIH project managed to solve the $L_p$ dual Minkowski problem for p>1 and q>0 among any convex body, and obtained results about the regularity of the solution. Concerning valuations on the space of convex bodies, the NKFIH project characterized certain valuations on lattice polytopes, and certain continuous tensor valuations. Other landmark results prove strengthened versions of the classical reverse isoperimetric inequality.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=116451
Decision
Yes





 

List of publications

  
K.J. Böröczky, M. Henk: Cone-volume measure of general centered convex bodies, Advances Math., 286 (2016), 703-721., 2016
K.J. Böröczky, P. Hegedűs, G. Zhu: On the discrete logarithmic Minkowski problem, IMRN, Int. Math. Res. Not., 6 (2016), 1807-1838., 2016
K.J. Böröczky: Translation invariant Minkowski valuations on lattice polytopes, In: F. Barthe, M. Henk, M. Ludwig (eds), Oberwolfach Report No. 56/2015, (2016), 3193-3195., 2016
Á. Kurusa: Can you see the bubbles in a foam?, Acta Sci. Math. (Szeged), 82:3-4 (2016), 663-694., 2016
F. Fodor, Á. Kurusa, V. Vígh: Inequalities for hyperconvex sets, Advances in Geometry, 16:3 (2016), 337-348, 2016
J. Kozma, Á. Kurusa: Hyperbolic is the only Hilbert geometry having circumcenter or orthocenter generally, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 57:1 (2016), 243-258., 2016
F. Fodor, V. Vígh, and T. Zarnócz: Covering the sphere by equal zones, Acta. Math. Hungar. 149 (2016), no. 2, 478-489., 2016
F. Fodor, V. Vígh, and T. Zarnócz: On the angle sum of lines, Arch. Math. (Basel) 106 (2016), no. 1, 91-100., 2016
F. Fodor, D. Hug, I. Ziebarth: The volume of random polytopes circumscribed around a convex body, Mathematika 62 (2016), no. 1, 283-306., 2016
G. Ambrus, I. Bárány, V. Grinberg: Small subset sums., Linear Algebra and its Applications 499, 66-78., 2016
K.J. Boroczky, M. Henk: Cone-volume measure and stability, Advances in Mathematics, 306, 24-50., 2017
G. Ambrus Gergely, I. Barany, K.J. Boroczky, Gabor Fejes Toth, Janos Pach (eds): New Trends in Intuitive Geometry, Springer, 2017
K.J. Boroczky, Hai T. Trinh: The planar Lp-Minkowski problem for 0 < p < 1, Adv. Applied Mathematics, 87, 58-81., 2017
K.J. Boroczky, M. Ludwig: Valuations on Lattice Polytopes, In: Tensor Valuations and their Applications in Stochastic Geometry and Imaging (M. Kiderlen and E. Vedel Jensen, eds.), Springer Lecture Notes in Math 2177, 213-, 2017
K.J. Boroczky, D. Hug: Isotropic measures, and stronger forms of the reverse isoperimetric inequality, Transactions of AMS, 369, 6987-7019., 2017
K.J. Boroczky, M. Henk, H. Pollehn: Subspace concentration of dual curvature measures of symmetric convex bodies, Journal of Differential Geometry, accepted., 2018
K.J. Boroczky, M. Henk, H. Pollehn: Subspace concentration of dual curvature measures of symmetric convex bodies, Journal of Differential Geometry, 109, 411-429, 2018
K. Boroczky, K.J. Boroczky, Alexey Glazyrin, Agnes Kovacs: Stability of the simplex bound for packings by equal spherical caps determined by simplicial regular polytopes, In: M.D.E. Conder, A. Deza, A.I. Weiss (eds): Discrete Geometry and Symmetry. Springer, 2018, 31-60., 2018
K.J. Boroczky, F. Fodor, D. Hug: Strengthened volume inequalities for $L_p$ zonoids of even isotropic measures, Trans. AMS, 371, 505-548, 2019
Ferenc Fodor, Viktor Vigh: Variance estimates for random disc-polygons in smooth convex discs, J. Appl. Probab., 55 no 4,, 2018
Arpad Kurusa: Conics in Minkowski geometries, Aequationes Math. 92, no. 5, 949–961, 2018
Arpad Kurusa: Straight projective-metric spaces with centres, J. Geom. 109, no. 1, Art. 22, 13 pp., 2018
Böröczky, Károly J.; Lutwak, Erwin; Yang, Deane; Zhang, Gaoyong; Zhao, Yiming: The dual Minkowski problem for symmetric convex bodies, Adv. Math. 356, 106805, 30 pp., 2019
Bianchi, Gabriele; Böröczky, Károly J.; Colesanti, Andrea: The Orlicz version of the Lp Minkowski problem for −n<p<0, Adv. in Appl. Math. 111, 101937, 29 pp., 2019
Abardia-Evéquoz, Judit; Böröczky, Károly J.; Domokos, Mátyás; Kertész, Dávid: SL(m,C)-equivariant and translation covariant continuous tensor valuations, J. Funct. Anal. 276, no. 11, 3325–3362., 2019
Böröczky, Károly J.; Fodor, Ferenc: The Lp dual Minkowski problem for p>1 and q>0, J. Differential Equations, 266, no. 12, 7980–8033., 2019
Böröczky, Károly J.; Ludwig, Monika: Minkowski valuations on lattice polytopes, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 21, no. 1, 163–197., 2019
Bianchi, Gabriele; Böröczky, Károly J.; Colesanti, Andrea; Yang, Deane: The Lp-Minkowski problem for −n<p<1, Adv. Math. 341, 493–535., 2019
Fodor, Ferenc; Naszódi, Márton; Zarnócz, Tamás: On the volume bound in the Dvoretzky-Rogers lemma, Pacific J. Math. 301, no. 1, 89–99, 2019
Kurusa, Árpád: Ceva's and Menelaus' theorems in projective-metric spaces, J. Geom. 110, no. 2, Art. 39, 12 pp., 2019
Kurusa, Árpád; Kozma, József: Euler's ratio-sum formula in projective-metric spaces, Beitr. Algebra Geom. 60, no. 2, 379–390, 2019
Czédli, Gábor; Kurusa, Árpád: A convex combinatorial property of compact sets in the plane and its roots in lattice theory, Categ. Gen. Algebr. Struct. Appl. 11, no. 1, 57–92, 2019




 

Events of the project

  
2019-01-03 12:39:32
Résztvevők változása



Back »