A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A tervezett kutatás egy gyorsan fejlődő új diszciplína, az aritmetikus kvantum káosz témakörébe tartozik, és ezáltal egyaránt érdekes a számelmélet és a matematikai fizika számára. A terület központi célkitűzése, hogy egy aritmetikus sokaságon megértse az invariáns differenciáloperátorok és a Hecke-operátorok közös sajátfüggvényeinek eloszlását. Ez a kérdéskör szorosan kapcsolódik az automorf L-függvények becsléséhez és különféle egyenletes eloszlási problémákhoz. A jelen pályázat a Hecke-Maass sajátformák pontonkénti becslésére és az L^4-normáinak aszimptotikus viselkedésére koncentrál.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. A kutatás alapkérdése, hogy a Laplace-sajátértéktől és a sokaság szintjétől függően milyen nagy lehet egy Hecke-Maass sajátforma szuprémuma. A cél annak a megértése, hogy az aritmetikus szimmetriák miként és milyen mértékben teszik lehetővé az általános geometriai becslések megjavítását.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! Az automorf formák a matematika több nagy területe között teremtenek mély kapcsolatot: számelmélet, csoportelmélet, geometria, analízis, matematikai fizika. Az automorf formák struktúraelmélete igen fejlett, de az analitikus tulajdonságait csak korlátozottan értjük. A tervezett kutatás arra irányul, hogy az automorf formák analitikus elméletét továbbfejlessze, és várakozásunk szerint az új eredmények hasznosak lesznek az automorf L-függvényekkel kapcsolatos vizsgálatokban is. Az utóbbiak igen kanonikus objektumok, és róluk szól a matematika talán legfontosabb megoldatlan problémája, az általános Riemann-sejtés. Ez a sejtés a gyakorlatban is fontos kérdéseket ragad meg, pl. milyen sűrűn helyezkednek el a prímszámok, vagy milyen gyorsan tudjuk eldönteni egy adott nagy számról, hogy prím-e.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. Az automorf formák gazdag szimmetriával rendelkező harmonikus hullámok, a különféle harmóniákat L-függvények kódolják el. Ezek az objektumok kulcsfontosságúak az egész számok mélyebb megértéséhez, amire viszont a mindennapi élet olyan alapvető technológiái építenek, mint a kriptográfia vagy a hibajavító kódok elmélete. A kutatás során az automorf formákat analitikus szempontból fogjuk vizsgálni, pl. mekkorák és milyen gyakoriak a hullámhegyek. Ezen a területen több jelentős áttörés volt az elmúlt években: a célunk az új módszereket jobban megérteni és továbbfejleszteni.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The proposed research belongs to the emerging discipline of arithmetic quantum chaos, and as such it is motivated by number theory and mathematical physics. A central goal of the subject is to understand, on an arithmetic manifold, the distribution of joint eigenfunctions of the invariant differential operators and the Hecke operators. This topic is closely related to the estimation of automorphic L-functions and to various equidistribution problems. The current project focuses on pointwise bounds for Hecke-Maass eigenforms and the asymptotic behavior of their L^4 norms.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. The basic question of the research is how large the supremum of a Hecke-Maass eigenform can be in terms of the Laplace eigenvalue and the level of the manifold. The goal is to understand how and to what extent the arithmetic symmetries enable one to improve the general geometric bounds.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. Automorphic forms provide deep connections between several major fields of mathematics: number theory, group theory, geometry, analysis, mathematical physics. The structure theory of automorphic forms is well developed, but we only have a limited understanding of their analytic properties. The proposed research aims at further developing the analytic theory of automorphic forms, and we expect that the new results will be useful in the investigation of automorphic L-functions as well. The latter are rather canonical objects and the subject of perhaps the most important unsolved problem in mathematics, the generalized Riemann hypothesis. This hypothesis captures questions of practical importance such as: how densely are the prime numbers located, or how fast we can test whether a given large number is a prime.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. Automorphic forms are harmonic waves with a rich symmetry, the various harmonies being encoded in L-functions. These objects are key to a deeper understanding of whole numbers, which in turn is an ingredient of basic technologies of everyday life such as cryptography and the theory of error correcting codes. In our research we shall investigate automorphic forms from an analytic point of view, e.g. how large and how frequent are the wave peaks. There have been several breakthroughs in this field in recent years: our aim is to better understand the new methods and to develop them further.
Final report
Results in Hungarian
Új becsléseket adtunk Hecke–Maass-sajátformákra és a megfelelő Jacquet–Whittaker-függvényekre. A tetszőleges számtest feletti GL(2) csoporton a becsléseink általánosítják és élesítik a korábban ismert eredményeket. A racionális test feletti GL(n) csoporton igazoltuk, hogy egy szférikus forma globális maximuma a Laplace-sajátérték egy olyan hatványával becsülhető felülről, amelyben a kitevő az n egy harmadfokú polinomja (korábban hasonló alsó becslést állított fel Brumley–Templier). A hiperbolikus körproblémára vonatkozóan megmutattuk, hogy Selberg klasszikus hibatagjában a 2/3 kitevő átlagos értelemben javítható 5/8-ra, még akkor is, ha a diszkrét részcsoport nem aritmetikus. A Dedekind-szimbólum általánosításával moduláris csomók hurkolódási számára nyertünk a korábbiaknál jóval általánosabb formulát. Valós kvadratikus számtestek ideálosztályaihoz egy új geometriai invariánst társítottunk, és vizsgáltuk ennek tulajdonságait. Ily módon a híres Katok–Sarnak-formula egy kiterjesztését kaptuk. Egy másik irányban a Jensen-formula egy variánsát általánosítottuk a hiperbolikus 3-tér automorf függvényeire, kapcsolatot teremtve a függvény átlagos értéke és a gyökei között. Végezetül választ adtunk Komornik–Pedicini–Pethő egy véletlen hatványsorokra vonatkozó kérdésére: a szerzők által felfedezett különös végtelen bináris sorozatok valójában gyakoriak és tipikusak.
Results in English
We gave new bounds for Hecke–Maass eigenforms and the corresponding Jacquet–Whittaker functions. On the group GL(2) over an arbitrary number field, our bounds generalize and sharpen the previously known results. On the group GL(n) over the rational field, we proved that the global maximum of a spherical form can be bounded from above by a power of the Laplace eigenvalue, in which the exponent is a cubic polynomial of n (a similar lower bound was established earlier by Brumley–Templier). Concerning the hyperbolic circle problem, we showed that in Selberg's classical error term, the exponent 2/3 can be improved to 5/8 in an average sense, even when the discrete subgroup is not arithmetic. Generalizing the Dedekind symbol, we obtained a formula for the linking number of modular knots that is significantly more general than its predecessors. We associated a new geometric invariant to the ideal classes of a real quadratic number field, and we studied its properties. This way, we obtained an extension of the famous Katok–Sarnak formula. In an other direction, we generalized a variant of the Jensen formula for the automorphic functions of the hyperbolic 3-space, relating the average value of the function to its zeros. Finally, we answered a question of Komornik–Pedicini–Pethő on random power series: the strange infinite binary sequences discovered by these authors are in fact common and typical.
