 |
Realization of quasigroups in projective planes
|
Help 
Print 
|
Here you can view and search the projects funded by NKFI since 2004
Back »
|
| |
Details of project |
|
|
| Identifier |
119687 |
| Type |
K |
| Principal investigator |
Nagy, Gábor Péter |
| Title in Hungarian |
Kvázicsoportok realizációja projektív síkokban |
| Title in English |
Realization of quasigroups in projective planes |
| Keywords in Hungarian |
Kvázicsoport, hálózat, konfiguráció, projektív sík |
| Keywords in English |
Quasigroup, net, configuration, projective plane, |
| Discipline |
| Mathematics (Council of Physical Sciences) | 100 % | | Ortelius classification: Geometry |
|
| Panel |
Mathematics and Computing Science |
| Department or equivalent |
Bolyai Institute (University of Szeged) |
| Participants |
Bogya, Norbert
|
| Starting date |
2016-10-01 |
| Closing date |
2021-09-30 |
| Funding (in million HUF) |
7.430 |
| FTE (full time equivalent) |
3.80 |
| state |
closed project |
Summary in Hungarian A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
Absztrakt k-hálózatnak olyan pont-egyenes illeszkedési struktúrát nevezünk, melyek egyenesei k osztályba sorolhatók úgy, hogy két különböző osztályú egyenesnek pontosan egy közös pontja van, két azonos osztályú egyenesnek viszont egy sincs. Ha k legalább három, akkor az egyenes osztályok számossága azonos, ezt a k-hálózat rendjének nevezzük. A 3-hálózatok kvázicsoportokkal koordinátázhatók, a k>3 esetben k-hálózatok megfelelnek k-2 páronként ortogonális latin négyzetnek. A kutatás fő kérdése véges k-hálózatok beágyazhatóságát vizsgálja rögzített karakterisztikájú algebrailag zárt testre épített projektív síkba. Beágyazott 3-hálózatokra számos példa ismert, a k>3 esetre viszont csak egyetlen egy. Abban az esetben, ha az alaptest karakterisztikája 0, vagy a karakterisztika nagy a hálózat rendjéhez képest, bizonyos osztályozási eredmények ismertek. A beágyazás injektivitási feltételeinek lazításával ún. multi-hálózatokat kapunk. A beágyazott n rendű (multi-)hálózatokkal kapcsolatos kérdésfelvetésnek mély algebrai-geometriai vonatkozása, hogy azok megfeleltethetőek n fokú síkgörbék olyan sugársorainak, melyek tartalmaznak k darab teljesen reducibilis elemet. A projekt fő célkitűzése teljes osztályozást adni beágyazott k-hálózatokra és explicit felírást adni a hozzájuk tartozó síkgörbe sugársorokra. A felhasználandó eszköztár magába foglalja az algebrai görbék elemi elméletét, az algebrai geometria és a Galois-elmélet módszereit, a véges csoportok elméletét és masszív számítógépes kereső és megoldó alkalmazásokat.
Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
Az alapkérdés azon véges kvázicsoportok jellemzése, amik realizálhatóak egy adott karakterisztikájú algebrailag zárt test feletti projektív síkon, ami nem jelent mást, mint a kvázicsoporthoz tartozó 3-hálózat projektív beágyazhatóságát. Számos példa ismert beágyazott 3-hálózatra, valamint az alaptest karakterisztikájára tett bizonyos megszorítások mellett sok nem-realizálhatósági eredmény is. Kérdés, hogy vannak-e további realizálható végtelen osztályok, illetve, hogy adható-e algebrai feltétel véges kvázicsoportok realizálhatóságára. Kérdés még a beágyazott 3-hálózatok geometriájának pontos leírása is, különös tekintettel a 8-adrendű kvaterniócsoportot, valamint a nem-asszociatív 5-öd és 6-od rendű kvázicsoportokat realizáló 3-hálózatokra. A legnagyobb érdeklődésre számot tartó probléma pedig annak kiderítése, hogy a karakterisztikára tett szokásos feltételek mellett létezik-e beágyazott 4-hálózat, ami különbözik az egyetlen ismert példától, a Hesse-konfigurációtól. További kérdés beágyazott multi-hálózatok vizsgálata, ilyenek konstrukciója és osztályozása. Végezetül, vizsgálni kívánjuk Steiner-féle hármasrendszerek projektív beágyazásait.
Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
A kvázicsoportokkal, k-hálózatokkal és projektív síkok pont-egyenes konfigurációival foglalkozó kollégákat partnernek és nem pedig versenytársnak tekintjük mind hazai, mind pedig a nemzetközi színtéren. A projektünk szempontjából versenytársnak azt a személetet nevezhetjük, amely a matematikai részterületeket egymástól elszigeteltnek tekinti, és illegitimnek tartja a különböző diszciplínák eredményeinek alkalmazását más területeken. Megítélésünk szerint a jelen kutatási projekt fő erőssége az alkalmazni kívánt matematikai eszköztár sokszínűségében rejlik, egymástól viszonylag távol eső területekről alkalmazunk módszereket ahhoz, hogy az egyszerű kérdésfelvetés mögött meghúzódó meglepően gazdag struktúrákat feltárjuk. Így kombináljuk a diszkrét matematika, az algebrai geometria, az absztrakt algebra és a véges csoportok elméletének fontos eredményeit. A számolásainkban erősen támaszkodunk a legmodernebb komputeralgebrai programcsomagokra. Ez a sokoldalú megközelítés és problémamegoldás növeli a matematikai alapkutatások társadalmi hasznosíthatóságát. A megcélzott eredmények új perspektívát nyithatnak algebrai-geometriai kérdések tárgyalására kombinatorikai, csoportelméleti és komputeralgebrai eszközökkel.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
Az alapfeladat a következő: Keressünk azonos (véges) méretű A, B, C ponthalmazokat a síkon úgy, hogy bármely egyenes, ami egy A-beli pontot egy B-beli ponttal köt össze, pontosan egy C-beli pontot tartalmazzon. Ebben a projektben ilyen ponthalmazokat vizsgálunk, keresünk konstrukciókat és igyekszünk szükséges és elegendő feltételeket találni annak bizonyítására, hogy az általunk adott példáktól különbözőek nem létezhetnek. Vizsgálatainkban a sík fogalmát kissé általánosítjuk, amennyiben megengedünk a valós számoktól különböző számhalmazokkal (komplex számok, véges testek, stb.) koordinátázott síkokat is. Ahogyan a közönséges síkgeometria és a számolás világát a koordinátarendszer fogalma összekapcsolja, úgy lehet az ilyen ponthalmazokon is bizonyos algebrai struktúrákkal műveleteket végezni, ezeket kvázicsoportoknak nevezik. A kutatási projektünk fő erőssége az alkalmazni kívánt matematikai eszköztár sokszínűségében rejlik, egymástól viszonylag távol eső területekről alkalmazunk módszereket ahhoz, hogy az egyszerű kérdésfelvetés mögött meghúzódó meglepően gazdag struktúrákat feltárjuk. Így kombináljuk a diszkrét matematika, az algebrai geometria, az absztrakt algebra és a szimmetriacsoportok elméletének fontos eredményeit. A számolásainkban erősen támaszkodunk a legmodernebb komputeralgebrai programcsomagokra.
| Summary Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
An (abstract) k-net is a point-line incidence structure whose lines are partitioned in k subsets,
called components, such that any two lines from distinct components are concurrent with exactly
one line from each component. If k is at least three then the cardinality of the line classes are equal, we call this cardinality the order of the k-net. One coordinatizes 3-nets with quasigroups; when k>3 then k-nets correspond to k-2 mutually orthogonal latin squares. The main question of the research is about the embeddings of k-nets in projective planes over algebraically closed field of given characteristic. While many examples are known for embedded 3-nets, only one for the case k>3. In the case of fields of characteristic 0, or when the characteristic is large with respect to the order of the net, one has some classification results. By relaxing the injectivity conditions of the embedding map, we obtain the concept of multinets. Questions about embedded (multi)nets of order n have deep connections with algebraic geometry. Namely, they correspond to pencils of algebraic curves of degree n containing k completely reducible elements. The main objective of this proposal is to give a complete classification of embedded k-nets and describe explicitly the corresponding pencils of plane curves. We intend to apply a wide selection of mathematical tools, including the elementary theory of algebraic curves, algebraic geometry, Galois theory, the theory of finite groups and heavy computer searches and solver applications.
What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
The basic question is to characterize those finite quasigroups which can be realized in the projective plane over an algebraically closed field of given characteristic. Realization of a quasigroup means that the corresponding 3-net can be embedded. Many examples of embedded 3-nets are known, and, with some restrictions on the characteristic of the field, there are results on nonrealizable quasigroups as well. Question is whether there are further infinite classes of realizable quasigroups, and, whether one can give algebraic conditions for the realizability of finite quasigroups. Another problem is to give an exact description for the geometry of embedded 3-nets, with special attention to the 3-nets realizing the quaternion group of order 8, and the nonassociative quasigroups of order 5 and 6. The most challenging problem is the existence of nonclassical embedded 4-nets under the usual conditions on the characteristic; that is, 4-nets different from the Hesse configuration. A further question is the structure of embedded multinets, their constructions and classification. Finally, we intend to investigate the projective embeddings of Steiner triple systems.
What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
We consider colleagues who do research on quasigroups, k-nets or point-line configurations of projective planes as partners rather then as rivals on both national and international level. From the point of view of our research proposal, our competitor is the attitude of mind which regards the domains of mathematics as isolated from each other and considers the application of results of different mathematical disciplines as illegitimate. In our opinion, the real strength of this proposal lies in the diversity of the research methods applied in the study of these problems. We use methods from distant areas in order to discover the surprisingly rich structures behind simple problem settings. In particular, we combine important results of discrete mathematics, algebraic geometry, abstract algebra and the theory of finite groups. In our computations, we make heavy use of modern computer algebra systems. This multifaceted approach and problem solving increases the social applicability of the mathematical basic research. The aimed results open new perspectives in the investigations of algebraic geometric questions by group theoretical and combinatorial tools.
Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
The main objective of this research proposal is to find points sets A, B, C of equal finite size in the plane such that each line connecting a point from A with a point from B contains precisely one point from C. Within this project, we study such point sets, we look for constructions and try to give necessary and sufficient conditions to prove that no other examples can exist. In our investigations we generalize slightly the concept of a plane by allowing planes which are coordinatized with number sets different from the real numbers (complex numbers, finite fields, etc.) In the way coordinate systems connect the worlds of plane geometry and calculations, one can introduce algebraic structures, so called quasigroups, on these finite sets of points. The real strength of this research project lies in the diversity of the research methods applied in the study of these problems. We use methods from distant mathematical areas in order to discover the surprisingly rich structures behind simple problem settings. In particular, we combine important results of discrete mathematics, algebraic geometry, abstract algebra and the theory of finite groups. In our computations, we make heavy use of the most recent computer algebra systems.
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
List of publications |
|
|
| Gábor P. Nagy: Embeddings of Ree unitals in a projective plane over a field, Finite Fields Appl. 74 (2021), Paper No. 101875, 11 pp., 2021 | | Dávid Mezőfi, Gábor P. Nagy: New Steiner 2-designs from old ones by paramodifications, DISCRETE APPLIED MATHEMATICS 288 pp. 114-122. , 9 p. (2021), 2021 | | Rebeka Kiss, Gábor P. Nagy: On the nonexistence of certain orthogonal arrays of strength four, PRIKLADNAYA DISKRETNAYA MATEMATIKA 2021 : 52 pp. 65-68. , 4 p. (2021), 2021 | | Gábor Korchmáros, Gábor P. Nagy: Graphical Frobenius representations of non-abelian groups, ARS MATHEMATICA CONTEMPORANEA 20 : 1 pp. 89-102. , 14 p. (2021), 2021 | | Sabira El Khalfaoui, Gábor P. Nagy: On The Dimension of The Subfield Subcodes of 1-Point Hermitian Codes, ADVANCES IN MATHEMATICS OF COMMUNICATIONS 15 : 2 pp. 219-226. , 8 p. (2021), 2021 | | Gábor Korchmáros, Gábor P. Nagy: Group-labeled light dual multinets in the projective plane, Submitted, 2017 | | Sabira El Khalfaoui, Gábor P. Nagy: Estimating the Dimension Of The Subfield Subcodes of Hermitian Codes, ACTA CYBERNETICA 24 : 4 pp. 625-641. , 17 p. (2020), 2020 | | Gábor Korchmáros, Gábor P. Nagy, Pietro Speziali: Hemisystems of the Hermitian Surface, Manuscript, 2017 | | Gábor Korchmáros, Gábor P. Nagy: Group-labeled light dual multinets in the projective plane, Discrete Mathematics 341(8), 2121-2130, 2018 | | Gábor Korchmáros, Gábor P. Nagy, Pietro Speziali: Hemisystems of the Hermitian Surface, submitted, 2017 | | Norbert Bogya, Gábor P. Nagy: Light dual multinets of order six in the projective plane, submitted, 2018 | | Aart Blokhuis, István Kovács, Gábor P. Nagy, Tamás Szőnyi: Inherited conics in Hall planes, submitted, 2018 | | Dávid Mezőfi, Gábor P. Nagy: GAP Package UnitalSZ, szoftver, 2018 | | Gábor Korchmáros, Gábor P. Nagy, Pietro Speziali: Hemisystems of the Hermitian Surface, JOURNAL OF COMBINATORIAL THEORY SERIES A 165 pp. 408-439. , 32 p. (2019), 2019 | | Norbert Bogya, Gábor P. Nagy: Light dual multinets of order six in the projective plane, To appear in Acta Mathematica Hungarica, 2019 | | Aart Blokhuis, István Kovács, Gábor P. Nagy, Tamás Szőnyi: Inherited conics in Hall planes, DISCRETE MATHEMATICS 342 : 4 pp. 1098-1107. , 10 p. (2019), 2019 | | Dávid Mezőfi, Gábor P. Nagy: GAP Package UnitalSZ, Version 0.5, szoftver, 2018 | | Dávid Mezőfi, Gábor P. Nagy: On the geometry of full points of abstract unitals, To appear in Designs, Codes and Cryptography, 2019 | | Sabira El Khalfaoui, Gábor P. Nagy: On The Dimension of The Subfield Subcodes of 1-Point Hermitian Codes, To appear in Advances in Mathematics of Communications, 2019 | | Sabira El Khalfaoui, Gábor P. Nagy: GAP package HERmitian, Version 0.1, szoftver, 2019 | | Norbert Bogya, Gábor P. Nagy: Light dual multinets of order six in the projective plane, ACTA MATHEMATICA HUNGARICA 159 : 2 pp. 520-536. , 17 p. (2019), 2019 | | Dávid Mezőfi, Gábor P. Nagy: On the geometry of full points of abstract unitals, DESIGNS CODES AND CRYPTOGRAPHY 87 : 12 pp. 2967-2978. , 12 p. (2019), 2019 | | Dávid Mezőfi, Gábor P. Nagy: New Steiner 2-designs from old ones by paramodifications, DISCRETE APPLIED MATHEMATICS 288 pp. 114-122. , 9 p. (2021), 2021 | | Gábor Korchmáros; Gábor P. Nagy; Marco Timpanella: Codes and Gap Sequences of Hermitian Curves, IEEE Transactions on Information Theory, vol. 66, no. 6, pp. 3547-3554, June 2020, 2020 | | Gábor Korchmáros, Gábor P. Nagy, Pietro Speziali: Hemisystems of the Hermitian Surface, JOURNAL OF COMBINATORIAL THEORY SERIES A 165 pp. 408-439. , 32 p. (2019), 2019 | | Sabira El Khalfaoui, Gábor P. Nagy: Estimating the Dimension Of The Subfield Subcodes of Hermitian Codes, Acta Cybernetica, 2020 | | Norbert Bogya, Gábor P. Nagy: Light dual multinets of order six in the projective plane, ACTA MATHEMATICA HUNGARICA 159 : 2 pp. 520-536. , 17 p. (2019), 2019 | | Aart Blokhuis, István Kovács, Gábor P. Nagy, Tamás Szőnyi: Inherited conics in Hall planes, DISCRETE MATHEMATICS 342 : 4 pp. 1098-1107. , 10 p. (2019), 2019 | | Dávid Mezőfi, Gábor P. Nagy: On the geometry of full points of abstract unitals, DESIGNS CODES AND CRYPTOGRAPHY 87 : 12 pp. 2967-2978. , 12 p. (2019), 2019 | | Gábor Korchmáros, Gábor P. Nagy: Group-labeled light dual multinets in the projective plane, Discrete Mathematics 341(8), 2121-2130, 2018 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
