Andó, Szabolcs Cziszter, Kálmán Sándor Joó, Dániel Kanalas, Kristóf Márki, László Matszangosz Kyriakos, Ákos Mészáros, Szabolcs Pham Ngoc, Ánh Schefler, Barna Szigeti, Jenő Zsámboki, Pál Zubor, Márton
Starting date
2016-10-01
Closing date
2021-09-30
Funding (in million HUF)
35.906
FTE (full time equivalent)
20.43
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A következő tíz témában tervezünk kutatásokat: 1. Kvantum függvényalgebrák 2. Tegezreprezentációk és tórikus ideálok 3. Invariánselmélet és polarizáció 4. Nullahelytétel tropikus polinomokra 5. Leavitt-útalgebrák és mátrixgyűrűk 6. Grassmann-algebrák 7. Morita-elmélet 8. Radikálelmélet 9. Oszthatóság kommutatív gyűrűkben: Bezout-félcsoportok 10. Félcsoportrendek Ezek mindegyikének van gyűrűelméleti vonatkozása, ötnek félcsoportelméleti, kettőnek kategóriaelméleti háttere. Vizsgálatainkba négy fiatal kutatót is szándékszunk bevonni.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. Régi és új problémák vizsgálata a gyűrűelmélet több területén, valamint ezekhez kapcsolódóan félcsoportelméletben és a kategorikus algebrában. Az algebra és más matematikai diszciplinák között újabb kapcsolatok kidolgozása gyűrűelméleti szempontok alapján.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! A magyar algebrai iskolák eredményeinek gazdagítása, új gyűrűelméleti módszerek és eredmények átvétele, meghonosítása és továbbfejlesztése. A pályázat összefogja a fenti gyűrűelméleti témák hazai kutatóit. Élvonalbeli algebrai folyóiratokban publikálható eredmények elérését célozzuk meg, ezáltal széleskörű nemzetközi versenyben veszünk részt. Egyedisége a pályázatnak a kategória- illetve félcsoportelméleti szempont nyomatékos jelenléte a gyűrűelméleti kutatásokban. Több témánkban kezdeményezé szerepünk volt az utóbbi években, ez előnyt jelent ezek további vizsgálatában.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. Az utóbbi évtizedekben felerősödött a matematikai különbözó területeinek összekapcsolása. Ez az irány jelen van ebben a pályázatban is. A tervezett kutatás alapkutatás, az absztrakt algebra gyűrűelméleti ágához tartozó, illetőleg onnan származó témákból áll. A vizsgálandó objektumok polinom- és mátrixalgebrák, és ezek messzemenő általánosításai. A kutatási tervben szereplő tíz téma mindegyikének van gyűrűelméleti vonatkozása, ötnek (2, 5, 7, 9, 10) félcsoportelméleti, kettőnek (7, 8) kategóriaelméleti háttere, de a témák némelyike kapcsolódik geometriához, funkcionálanalízishez, számelmélethez is. A vizsgálni kívánt kérdések nagyrészt aktuális nemzetközi kutatásokhoz, sok esetben még meg sem jelent publikációkhoz kötődnek, de olyanok is vannak köztük, amelyek klasszikus eredményekhez kapcsolódó kérdések tisztázását tűzik ki célul.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The project plans research in the following ten topics:
1. Quantized algebras of functions 2. Representations of quivers and toric ideals 3. Invariant theory and polarization 4. Nullstellensatz for tropical polynomials 5. Leavitt path algebras and matrix rings 6. Grassmann algebras 7. Morita theory 8. Radical theory 9. Divisibility in commutative rings: Bezout semigroups 10. Orders in semigroups
All of these are related to ring theory, five of them to semigroup theory, two of them to category theory. Four young researchers will also be involved in the project.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. Investigation of old and new problems in several parts of ring theory, as well as in connected areas of semigroup theory and categorical algebra. Elaboration of new connections between algebra and other mathematical disciplines based on ring theoretical aspects.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. Enrichment of the results of the Hungarian schools in algebra, acquiring and further developing new methods and results in ring theory. The team includes the Hungarian researchers in the proposed research topics. We aim at publications in leading algebra journals, whence participate in a wide international competition. A specialty of the proposal is the strong presence of the category theoretic and semigroup theoretic point of view in ring theoretic research. In some of the above topics we were initiators in recent years, this provides some advantage in the continuation.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. It is a tendency of the last decades that different areas of mathematics get connected. This is manifested in the present project as well. The project belongs to fundamental research, more specially to abstract algebra, and it consists of topics from ring theory and topics originating in ring theory. The studied objetcs are polynomial and matrix algebras, as well as far reaching generalizations of those.
Each of the ten topics in the research plan has ring theoretical relations, five of them (2, 5, 7, 9, 10) have semigroup theoretical, two of them (7, 8) category theoretical background, but some topics are connected also with geometry, functional analysis, and number theory.
Many of the questions to be investigated are connected with up-to-date international research, in several cases with still unpublished work, but there are also topics among them which plan to answer questions related to classical results.
Final report
Results in Hungarian
Algebrai kutatásokat végeztünk, elsősorban a gyűrűelméletben.
Eredményeink egy része kvantitatív jellegű. Kiszámítottuk a legkisebb egyszerű komplex Lie-algebra 3-dimenziós irreducibilis ábrázolása által kielégített polinomazonosságok kokarakter-sorát. Meghatároztuk a 32-nél kisebb elemszámú csoportok Noether-számát. Ennek ismerete lehetővé teszi a csoport polinominvariáns algebrái minimális generátorrendszerét előállító algoritmusok gyorsítását.
Egyes munkáink döntő eleme a megfelelő fogalom megalkotása. Bevezettük a szilárd félcsoportok fogalmát, és kidolgoztuk ezek Morita-ekvivalenciájának az elméletét. Ez összehangol több olyan korábbi eredményt, amelyek között eddig nem látszott kapcsolat, és mutatja, hogy a félcsoportok Morita-ekvivalenciájának természetes kerete a szilárd félcsoportok osztálya.
Egzisztencia bizonyítást konstruktívvá tettünk: megadtunk egy eljárást, amely expliciten előállítja bizonyos nemkommutatív algebrákon ható csoportok invariáns algebrája generátorait.
Felfedeztünk érdekes új struktúrákat, például konstruáltunk V-tartományokat tetszőlegesen előírt számú egyszerű modulussal.
Általánosítottuk a mátrixalgebra kommutatív részalgebráinak maximális lehetséges dimenziójáról szóló
klaszikus Schur-tételt kommutatív helyett Lie-nilpotens részalgebrákra.
Results in English
We did research in algebra, mainly in ring theory.
Some of our results are of quantitative nature. We have computed the cocharacter sequence of the polynomial identities satisfied by the 3-dimensional irreducible representation of the smallest simple complex Lie algebra. We have determined the Noether numbers of all groups of order less than 32. The knowledge of this quantity can be used to speed up algorithms that compute a minimal generating system for algebras of polynomial invariants of these groups.
In other works of ours the key element is the introduction of the appropriate concepts. The notion of firm semigroups has been introduced and the theory of Morita equivalence for such semigroups has been developed. This connects several earlier results whose relation to each other has not been clear so far, and show that the class of firm semigroups is the natural framework for investigating Morita equivalence of semigroups.
We made constructive an existence proof: we described a process which presents explicit generators of rings of invariants of groups acting on some noncommutative algebras.
Interesting new structures have been discovered as well. We have constructed V-domains with arbitrarily prescribed number of simple modules.
The classical theorem of Schur on the maximal possible dimension of a commutative subalgebra of the full matrix algebra has been generalized for Lie nilpotent subalgebras.
P. N. Ánh, K. A. Kearnes, Á. Szendrei: Commutative rings whose principal ideals have unique generators, Proceedings of the Conference on Rings and Factorizations February 19th to 23rd, 2018 in Graz, Springer, accepted., 2019
M. Domokos: On syzygies for rings of invariants of abelian groups, Advances in Rings, Modules and Factorizations, Graz, Austria, February 19-23, 2018, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics 321, pp. 105-124., 2020
P. N. Anh es J.E. van Den Berg: A new class of simple V-domains, J. Algebra, megjelenes alatt, 2018
J. Szigeti, L. van Wyk: American Mathematical Monthly Vol. 124, No. 10 (December 2017),: A constructive elementary proof of the Skolem-Noether theorem for matrix algebras, American Mathematical Monthly Vol. 124, No. 10, megjelenés alatt, 2017
