Rings, semigroups, categories  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
119934
Type K
Principal investigator Domokos, Mátyás
Title in Hungarian Gyűrűk, félcsoportok, kategóriák
Title in English Rings, semigroups, categories
Keywords in Hungarian polinom invariánsok, mátrixok, algebrák, modulusok, félcsoportok, kategóriák
Keywords in English polynomial invariants, matrices, algebras, modules, semigroups, categories
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Algebra
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Participants Andó, Szabolcs
Cziszter, Kálmán Sándor
Joó, Dániel
Kanalas, Kristóf
Márki, László
Matszangosz Kyriakos, Ákos
Mészáros, Szabolcs
Pham Ngoc, Ánh
Schefler, Barna
Szigeti, Jenő
Zsámboki, Pál
Zubor, Márton
Starting date 2016-10-01
Closing date 2021-09-30
Funding (in million HUF) 35.906
FTE (full time equivalent) 20.43
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
A következő tíz témában tervezünk kutatásokat:
1. Kvantum függvényalgebrák
2. Tegezreprezentációk és tórikus ideálok
3. Invariánselmélet és polarizáció
4. Nullahelytétel tropikus polinomokra
5. Leavitt-útalgebrák és mátrixgyűrűk
6. Grassmann-algebrák
7. Morita-elmélet
8. Radikálelmélet
9. Oszthatóság kommutatív gyűrűkben: Bezout-félcsoportok
10. Félcsoportrendek
Ezek mindegyikének van gyűrűelméleti vonatkozása, ötnek félcsoportelméleti, kettőnek kategóriaelméleti háttere. Vizsgálatainkba négy fiatal kutatót is szándékszunk bevonni.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
Régi és új problémák vizsgálata a gyűrűelmélet több területén, valamint ezekhez kapcsolódóan félcsoportelméletben és a kategorikus algebrában. Az algebra és más matematikai diszciplinák között újabb kapcsolatok kidolgozása gyűrűelméleti szempontok alapján.

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
A magyar algebrai iskolák eredményeinek gazdagítása, új gyűrűelméleti módszerek és eredmények átvétele, meghonosítása és továbbfejlesztése. A pályázat összefogja a fenti gyűrűelméleti témák hazai kutatóit. Élvonalbeli algebrai folyóiratokban publikálható eredmények elérését célozzuk meg, ezáltal széleskörű
nemzetközi versenyben veszünk részt. Egyedisége a pályázatnak a kategória- illetve félcsoportelméleti szempont nyomatékos jelenléte a gyűrűelméleti kutatásokban. Több témánkban kezdeményezé szerepünk volt az utóbbi években, ez előnyt jelent ezek további vizsgálatában.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
Az utóbbi évtizedekben felerősödött a matematikai különbözó területeinek összekapcsolása. Ez az irány jelen van ebben a pályázatban is. A tervezett kutatás alapkutatás, az absztrakt algebra gyűrűelméleti ágához tartozó, illetőleg onnan származó témákból áll. A vizsgálandó objektumok polinom- és mátrixalgebrák, és ezek messzemenő általánosításai.
A kutatási tervben szereplő tíz téma mindegyikének van gyűrűelméleti vonatkozása, ötnek (2, 5, 7, 9, 10) félcsoportelméleti, kettőnek (7, 8) kategóriaelméleti háttere, de a témák némelyike kapcsolódik geometriához, funkcionálanalízishez, számelmélethez is.
A vizsgálni kívánt kérdések nagyrészt aktuális nemzetközi kutatásokhoz, sok esetben még meg sem jelent publikációkhoz kötődnek, de olyanok is vannak köztük, amelyek klasszikus eredményekhez kapcsolódó kérdések tisztázását tűzik ki célul.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
The project plans research in the following ten topics:

1. Quantized algebras of functions
2. Representations of quivers and toric ideals
3. Invariant theory and polarization
4. Nullstellensatz for tropical polynomials
5. Leavitt path algebras and matrix rings
6. Grassmann algebras
7. Morita theory
8. Radical theory
9. Divisibility in commutative rings: Bezout semigroups
10. Orders in semigroups

All of these are related to ring theory, five of them to semigroup theory, two of them to category theory. Four young researchers will also be involved in the project.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
Investigation of old and new problems in several parts of ring theory, as well as in connected areas of semigroup theory and categorical algebra. Elaboration of new connections between algebra and other mathematical disciplines based on ring theoretical aspects.

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
Enrichment of the results of the Hungarian schools in algebra, acquiring and further developing new methods and results in ring theory. The team includes the Hungarian researchers in the proposed research topics.
We aim at publications in leading algebra journals, whence participate in a wide international competition.
A specialty of the proposal is the strong presence of the category theoretic and semigroup theoretic point of view in ring theoretic research. In some of the above topics we were initiators in recent years, this provides some advantage in the continuation.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
It is a tendency of the last decades that different areas of mathematics get connected. This is manifested in the present project as well. The project belongs to fundamental research, more specially to abstract algebra, and it consists of topics from ring theory and topics originating in ring theory.
The studied objetcs are polynomial and matrix algebras, as well as far reaching generalizations of those.

Each of the ten topics in the research plan has ring theoretical relations, five of them (2, 5, 7, 9, 10) have semigroup theoretical, two of them (7, 8) category theoretical background, but some topics are connected also with geometry, functional analysis, and number theory.

Many of the questions to be investigated are connected with up-to-date international research, in several cases with still unpublished work, but there are also topics among them which plan to answer questions related to classical results.




 

Final report

  
Results in Hungarian
Algebrai kutatásokat végeztünk, elsősorban a gyűrűelméletben. Eredményeink egy része kvantitatív jellegű. Kiszámítottuk a legkisebb egyszerű komplex Lie-algebra 3-dimenziós irreducibilis ábrázolása által kielégített polinomazonosságok kokarakter-sorát. Meghatároztuk a 32-nél kisebb elemszámú csoportok Noether-számát. Ennek ismerete lehetővé teszi a csoport polinominvariáns algebrái minimális generátorrendszerét előállító algoritmusok gyorsítását. Egyes munkáink döntő eleme a megfelelő fogalom megalkotása. Bevezettük a szilárd félcsoportok fogalmát, és kidolgoztuk ezek Morita-ekvivalenciájának az elméletét. Ez összehangol több olyan korábbi eredményt, amelyek között eddig nem látszott kapcsolat, és mutatja, hogy a félcsoportok Morita-ekvivalenciájának természetes kerete a szilárd félcsoportok osztálya. Egzisztencia bizonyítást konstruktívvá tettünk: megadtunk egy eljárást, amely expliciten előállítja bizonyos nemkommutatív algebrákon ható csoportok invariáns algebrája generátorait. Felfedeztünk érdekes új struktúrákat, például konstruáltunk V-tartományokat tetszőlegesen előírt számú egyszerű modulussal. Általánosítottuk a mátrixalgebra kommutatív részalgebráinak maximális lehetséges dimenziójáról szóló klaszikus Schur-tételt kommutatív helyett Lie-nilpotens részalgebrákra.
Results in English
We did research in algebra, mainly in ring theory. Some of our results are of quantitative nature. We have computed the cocharacter sequence of the polynomial identities satisfied by the 3-dimensional irreducible representation of the smallest simple complex Lie algebra. We have determined the Noether numbers of all groups of order less than 32. The knowledge of this quantity can be used to speed up algorithms that compute a minimal generating system for algebras of polynomial invariants of these groups. In other works of ours the key element is the introduction of the appropriate concepts. The notion of firm semigroups has been introduced and the theory of Morita equivalence for such semigroups has been developed. This connects several earlier results whose relation to each other has not been clear so far, and show that the class of firm semigroups is the natural framework for investigating Morita equivalence of semigroups. We made constructive an existence proof: we described a process which presents explicit generators of rings of invariants of groups acting on some noncommutative algebras. Interesting new structures have been discovered as well. We have constructed V-domains with arbitrarily prescribed number of simple modules. The classical theorem of Schur on the maximal possible dimension of a commutative subalgebra of the full matrix algebra has been generalized for Lie nilpotent subalgebras.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=119934
Decision
Yes





 

List of publications

  
M. Domokos, V. Drensky: Cocharacters for the weak polynomial identities of the Lie algebra of 3x3 skew-symmetric matrices, Advances in Mathematics, Volume 374, 18 November 2020, 107343, 2020
P. N. Ánh, G. F. Birkenmeier, L. van Wyk: Peirce decompositions, idempotents and rings, J. Algebra, 2021
P. N. Ánh, G. Abrams: A matrix viewpoint for various algebraic extensions, Elemente der Mathematik 75, 1-17., 2020
V. Laan, L. Márki, Ü. Reimaa: Lattices and quantales of ideals of semigroups and their preservation under Morita contexts, Algebra Universalis 81:24, 2020
A. Guterman, L. Márki, P. Shteyner: Ordering orders and quotient rings, In: Semigroups, Categories and Partial Algebras, Springer, 2020
Sz. Mészáros: Poisson centralizer of the trace, J. Lie Theory 28 (2018), 309-322., 2018
Sz. Mészáros: Cocommutative elements form a maximal commutative subalgebra in quantum matrices, J. Alg. Appl. 17 (9), Paper no. 1850179, 2018
K. Cziszter: The Noether number of p-groups, Journal of Algebra and Its Applications 18 (2019), Paper no. 1950066, 2019
K. Cziszter, M. Domokos: Lower bounds on the Noether number, Transform. Groups, Vol. 24, No. 3 (2019), 823–834., 2019
M. Domokos, V. Drensky: Cocharacters for the weak polynomial identities of the Lie algebra of 3x3 skew-symmetric matrices, Advances in Mathematics 374 (2020), Paper no. 107343, 2020
P. N. Ánh, G. F. Birkenmeier, L. van Wyk: Peirce decompositions, idempotents and rings, J. Algebra 564, 247-275, 2020
V. Laan, L. Márki, Ü. Reimaa: Lattices and quantales of ideals of semigroups and their preservation under Morita contexts, Algebra Universalis 81, Article number 24, 2020
M. Domokos, V. Drensky: Constructive noncommutative invariant theory, Transformation Groups 26 (2021), 215-228., 2021
A. Guterman, L. Márki, P. Shteyner: Ordering orders and quotient rings, In: Semigroups, Categories and Partial Algebras, Springer, pp. 1-17., 2021
P. N. Ánh, T. G. Nam: Special irreducible representations of Leavitt path algeras, Adv. Math. 377, Paper no. 107439, 2021
Sz. Homolya, J. Szigeti, M. Ziembowski: Lie properties in associative algebras, J. Algebra 573, 492-508., 2021
Á. K. Matszangosz: On the cohomology rings of real flag manifolds: Schubert cycles, Math. Ann., 2021
K. Böröczky, M. Domokos, G. Solanes: Dimension of the space of unitary equivariant translation invariant tensor valuations, Journal of Functional Analysis 280 (2021), paper no.108862, 18 pages., 2021
L. M. Fehér, Á. K. Matszangosz: Halving spaces and lower bounds in real enumerative geometry, Algebraic and Geometric Topology (megjelenés alatt), 2022
A. Dhillon, P. Zsámboki: Twisted forms of perfect complexes and Hilbert 90, Indiana University Mathematics Journal (megjelenés alatt), 2022
J. Szigeti, J. van den Berg, L. van Wyk, M. Ziembowski: The maximum dimension of a Lie nilpotent subalgebra of M_n(F) of index m, Trans. Amer. Math. Soc. 372 (2019). 4553-4583., 2019
J. Szigeti, Sz. Szilágyi, L. van Wyk: A power Cayley-Hamilton identity for nxn matrices over a Lie nilpotent ring of index k, Lin. Alg. Appl. 2019, https://doi.org/10.1016/j.laa.2019.09.016, 2019
P. N. Ánh, K. A. Kearnes, Á. Szendrei: Commutative rings whose principal ideals have unique generators, Proceedings of the Conference on Rings and Factorizations February 19th to 23rd, 2018 in Graz, Springer, accepted., 2019
B. A. Balázs, Sz. Mészáros: The minimal degree standard identity on M_nE^2 and M_nE^3, Israel J. Math., elfogadva, 2020
P. N. Anh, J.E. van den Berg: A new class of simple V-domains, J. Algebra 493, 410-437., 2018
J. Szigeti, L. van Wyk: American Mathematical Monthly Vol. 124, No. 10 (December 2017),: A constructive elementary proof of the Skolem-Noether theorem for matrix algebras, American Mathematical Monthly Vol. 124, No. 10, 966-968, 2017
K. Cziszter, M. Domokos: Lower bounds on the Noether number, Transform. Groups, Vol. 24, No. 3, 2019, pp. 823–834., 2019
J. Szigeti: Integrality over fixed rings of automorphisms in a Lie nilpotent setting, J. Algebra 518 (2019), 198-210., 2019
Abardia-Evéquoz Judit, Böröczky Károly J., Domokos Mátyás, Kertész Dávid: SL ( m , C ) -equivariant and translation covariant continuous tensor valuations, JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS 276: (11) pp. 3325-3362., 2019
M. Domokos: On syzygies for rings of invariants of abelian groups, Advances in Rings, Modules and Factorizations, Graz, Austria, February 19-23, 2018, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics 321, pp. 105-124., 2020
M. Domokos: Characteristic free description of semi-invariants of 2x2 matrices, J. Pure Appl. Algebra 224 : 5 Paper: 106220, 2020
J. Szigeti, J. van den Berg, L. van Wyk, M. Ziembowski: The maximum dimension of a Lie nilpotent subalgebra of M_n(F) of index m, Trans. Amer. Math. Soc. 372 (2019). 4553-4583., 2019
J. Szigeti, Sz. Szilágyi, L. van Wyk: A power Cayley-Hamilton identity for nxn matrices over a Lie nilpotent ring of index k, Lin. Alg. Appl. 584, 153-163., 2020
P. N. Ánh, K. A. Kearnes, Á. Szendrei: Commutative rings whose principal ideals have unique generators, Advances in Rings, Modules and Factorizations, Graz, Austria, February 19-23, 2018, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, pp 1-9., 2020
B. A. Balázs, Sz. Mészáros: The minimal degree standard identity on M_nE^2 and M_nE^3, Israel J. Math. 238, 279–312., 2020
M. Domokos: Degree bound for separating invariants of abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc. 145 (2017), 3695-3708., 2017
M. Domokos, V. Drensky: Rationality of Hilbert series in noncommutative invariant theory, International J. Algebra Comp., https://doi.org/10.1142/S0218196717500394, 2017
M. Domokos: Applications of multisymmetric syzygies in invariant theory, Rings, Polynomials, and Modules, Springer, 2017
B. E. de Klerk, J.H. Meyer, J. Szigeti, L. van Wyk: Functions realising as abelian group automorphisms, Communications in Algebra, Vol. 45, 2017
P. N. Anh es J.E. van Den Berg: A new class of simple V-domains, J. Algebra, megjelenes alatt, 2018
J. Szigeti, L. van Wyk: American Mathematical Monthly Vol. 124, No. 10 (December 2017),: A constructive elementary proof of the Skolem-Noether theorem for matrix algebras, American Mathematical Monthly Vol. 124, No. 10, megjelenés alatt, 2017
D. Joó, K. Mincheva: Prime congruences of additively idempotent semirings and a Nullstellensatz for tropical polynomials, Sel. Math. New Ser. (2017). https://doi.org/10.1007/s00029-017-0322-x, 2017
M. Grandis, G. Janelidze, L. Márki: Two- and one-dimensional combinatorial exactness structures in Kurosh–Amitsur radical theory, I, Cahiers Top. Géom. Diff. Cat. 58 (2017) (to appear), 2017
V. Laan, L. Márki, Ü. Reimaa: Morita equivalence of semigroups revisited: firm semigroups, J. Algebra (to appear), 2017
Sz. Mészáros: Cocommutative elements form a maximal commutative subalgebra in quantum matrices, Journal of Algebra and Its Applications Vol. 17 No. 9, 2018
Sz. Mészáros: Poisson centralizer of the trace, J. Lie Theory (elfogadva), 2018
M. Domokos, V. Drensky: Rationality of Hilbert series in noncommutative invariant theory, International J. Algebra Comp. 27 (2017), 831-848., 2017
B. E. de Klerk, J.H. Meyer, J. Szigeti, L. van Wyk: Functions realising as abelian group automorphisms, Communications in Algebra, Vol. 45, 467-479, 2018
P. N. Anh, J.E. van den Berg: A new class of simple V-domains, J. Algebra 493, 410-437., 2018
J. Szigeti, L. van Wyk: American Mathematical Monthly Vol. 124, No. 10 (December 2017),: A constructive elementary proof of the Skolem-Noether theorem for matrix algebras, American Mathematical Monthly Vol. 124, No. 10, 966-968, 2017
M. Grandis, G. Janelidze, L. Márki: Two- and one-dimensional combinatorial exactness structures in Kurosh–Amitsur radical theory, I, Cahiers Top. Géom. Diff. Cat. 58 (2017), 165-188., 2017
V. Laan, L. Márki, Ü. Reimaa: Morita equivalence of semigroups revisited: firm semigroups, J. Algebra 505 (2018), 247-270., 2018
K. Cziszter: The Noether number of p-groups, Journal of Algebra and Its Applications, 2018
Sz. Mészáros: Poisson centralizer of the trace, J. Lie Theory 2018 (2), 309-322., 2018
Sz. Mészáros: Cocommutative elements form a maximal commutative subalgebra in quantum matrices, J. Alg. Appl. 17 (9) 1850179, 2018
K. Ciszter, M. Domokos, I. Szöllősi,: The Noether numbers and the Davenport constants of the groups of order less than 32, J. Algebra 510 (2018), 513-541., 2018
K. Cziszter, M. Domokos: Lower bounds on the Noether number, Transform. Groups, https://doi.org/10.1007/s00031-018-9479-4, 2018
M. Domokos: Polynomial bound for the nilpotency index of  finitely generated nil algebras, Algebra and Number Theory 12:5 (2018), 1233–1242., 2018
D. Joó, K. Mincheva: On the dimension of polynomial semirings, J. Algebra 507, 103-119., 2018
J. Szigeti: Integrality over fixed rings of automorphisms in a Lie nilpotent setting, J. Algebra (accepted), 2019
M. Domokos: Applications of multisymmetric syzygies in invariant theory, pp. 159-174, in: Rings, Polynomials and Modules, Ed.: M. Fontana, S. Frisch, S. Glaz, F. Tartarone, P. Zanardo, Springer, 2017., 2017
D. Joó, K. Mincheva: Prime congruences of additively idempotent semirings and a Nullstellensatz for tropical polynomials, Sel. Math. New Ser. 24 (2018), 2207-2233., 2018
K. Cziszter: The Noether number of p-groups, Journal of Algebra and Its Applications 18 (2019), 1950066, 2019
J. Szigeti: Integrality over fixed rings of automorphisms in a Lie nilpotent setting, J. Algebra 518 (2019), 198-210., 2019
M. Domokos: On syzygies for rings of invariants of abelian groups, Proceedings of the Conference on Rings and Factorizations February 19th to 23rd, 2018 in Graz, Springer, accepted., 2019
M. Domokos, V. Drensky: Constructive noncommutative invariant theory, Transformation Groups, 2020
M. Domokos: Characteristic free description of semi-invariants of 2x2 matrices, J. Pure Appl. Algebra, 2019
Abardia-Evéquoz Judit, Böröczky Károly J., Domokos Mátyás, Kertész Dávid: SL ( m , C ) -equivariant and translation covariant continuous tensor valuations, JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS 276: (11) pp. 3325-3362., 2019
CZISZTER K., DOMOKOS M.: LOWER BOUNDS ON THE NOETHER NUMBER, TRANSFORMATION GROUPS pp. 1-12., 2019
Domokos Mátyás: Polynomial bound for the nilpotency index of finitely generated nil algebras, ALGEBRA AND NUMBER THEORY 12: (5) pp. 1233-1242., 2018
Domokos M: Degree bound for separating invariants of abelian groups, PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 145: (9) pp. 3695-3708., 2017




 

Events of the project

  
2021-06-16 14:25:12
Résztvevők változása
2019-04-30 10:23:07
Résztvevők változása
2018-12-10 16:04:30
Résztvevők változása



Back »