 |
Analysis and application of innovative integrators
|
Help 
Print 
|
Here you can view and search the projects funded by NKFI since 2004
Back »
|
| |
Details of project |
|
|
| Identifier |
121117 |
| Type |
PD |
| Principal investigator |
Csomós, Petra |
| Title in Hungarian |
Innovatív integrátorok vizsgálata és alkalmazása |
| Title in English |
Analysis and application of innovative integrators |
| Keywords in Hungarian |
konvergencia-analízis, operátor szeletelési eljárások, exponenciális integrátorok, Magnus-integrátorok, evolúciós egyenletek, operátorfélcsoportok |
| Keywords in English |
convergence analysis, operator splitting procedures, exponential integrators, Magnus integrators, evolution equations, operator semigroups |
| Discipline |
| Mathematics (Council of Physical Sciences) | 100 % | | Ortelius classification: Numerical analysis |
|
| Panel |
Mathematics and Computing Science |
| Department or equivalent |
Applied Analysis and Computational Mathematics (Eötvös Loránd University) |
| Participants |
Faragó, István
|
| Starting date |
2016-12-01 |
| Closing date |
2019-11-30 |
| Funding (in million HUF) |
15.090 |
| FTE (full time equivalent) |
2.40 |
| state |
closed project |
Summary in Hungarian A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
Bármely, időtől függő folyamatok által meghatározott rendszer jövőbeli állapotának előrejelzése valamely matematikai modell numerikus megoldásán alapszik. Ezen modellek általában bonyolult nemlineáris pariális differenciálegyenletek vagy azok rendszerei. A numerikus megoldásuk során alkalmazott módszerek csak akkor adhatnak kielégítő eredményt, ha azok konvergensek és stabilak.
A pályázat fő célkitűzése az innovatív integrátorok (azaz operátorszeletelési eljárások, exponenciális integrátorok és Magnus-integrátorok) konvergenciájának és stabilitásának vizsgálata azok végtelen dimenziós lineáris kvadratikus szabályozási egyenletekre, valamint bizonyos nemlineáris diszperzív feladatokra (nemlineáris Schrödinger-egyenlet, Korteweg-de Vries-egyenlet, sekélyfolydék-egyenletek) való alkalmazásuk során.
A fenti célok elérése érdekében a módszereket egy Banach-téren vett absztrakt nemlineáris Cauchy-problémára alkalmazzuk, és azok konvergenciáját és stabilitását a funcionálanalízis keretein belül, pontosabban a lineáris és nemlineáris félcsoportelmélet segítségével tárgyaljuk. A kutatás jelentősége a differenciálegyenletek megoldásának absztrakt, tehát minden esetet (közönséges, illetve parabolikus és hiperbolikus parciális differenciálegyenletek) átfogó megközelítésében rejlik. Mivel ezen feladatok mindegyike operátorfélcsoportokhoz vezet, a megoldásukra alkalmazott numerikus módszerek hibaanalízisét elvégezhetjük a pontos megoldások ismerete nélkül is -- lehetővé téve az ezen módszerek konvergenciájának azonos keretek között történő vizsgálatát.
Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
A kutatás alapkérdése az innovatív integrátorok alkalmazhatósága absztrakt szabályozási egyenletek, illetve bizonyos diszperzív egyenletek esetén. A kutatás segítségével arra kívánunk választ találni, hogy ezen numerikus módszerek rendelkeznek-e azokkal az alapvető tulajdonságokkal (azaz konvergensek és stabilak-e), amelyek a módszereket az időfüggő egyenletekkel leírható folyamatok számszerű előrejelzésére alkalmassá teszik. Ennek vizsgálatához a feladatokat általános nemlineáris absztrakt Cauchy-probléma alakjában tekintjük, és a különféle innovatív integrátorokat (azaz operátorszeletelési eljárásokat, exponenciális integrátorokat, Magnus-integrátorokat) ezen problémára írjuk fel. A megválaszolni kívánt probléma ekkor úgy fogalmazható meg, hogy keressük azokat a feltételeket az absztrakt Cauchy-problémában szereplő operátorra, az integrátorok lépésközére, valamint a kezdeti függvényre, amelyek mellett a lépesköz csökkentésével az innovatív integrátorok által számított numerikus megoldás az absztrakt operátor által generált (nem)lineáris félcsoporttal meghatározott pontos megoldáshoz tart.
A fenti kérdés megválaszolása sok esetben egyszerűbb akkor, ha az absztrakt Cauchy-problémában szereplő operátor ismert tulajdonságokkal rendelkezik, ezért az innovatív integrátorokat absztrakt szabályozási egyenletekre, valamint diszperzív egyenletekre alkalmazzuk. A numerikus kísérletekkel az innovatív integrátorok hatékonysagát és számítógépes alkalmazhatóságát vizsgáljuk a gyakorlatban.
Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
Minden, időben változó rendszer állapotának előrejelzésekor fontos az előrejelzéshez használt matematikai modell minél pontosabb és egyben gyorsabb numerikus megoldása (gondoljunk például az időjárás előrejelzésére, ahol az előrejelzés szamítása nem ,,késheti le'' a valóságban bekövetkező eseményeket). Ezek a követelmények újabb és újabb numerikus módszerek kidolgozására és azok vizsgálatára ösztönzik a kutatókat. Jelen pályázatban három, újnak számító, hatékony numerikus módszer matematikai vizsgálatát tűztük ki célul. Ezen módszerek csak akkor adhatnak kielégítő eredményt, ha bizonyos matematikai tulajdonságokkal rendelkeznek. A kutatás jelentősége ezen tulajdonságok vizsgálatában rejlik. Amennyiben bebizonyosodik, hogy az innovatív integrátorok rendelkeznek ezekkel a tulajdonságokkal, amikor bonyolult nemlineáris modellekre alkalmazzuk őket, akkor érdemes lesz majd a gyakorlati feladatok megoldására (pl. időjárás előrejelzésére, árvízvédelemre, légszennyezés terjedésének modellezésére) is ezen új integrátorokat alkalmazni a hagyományos módszerek helyett.
Alappéldáink egyike a linearizált sekélyfolyadék-egyenletek optimális szabályozásának vizsgálata lesz, mely kulcsfontosságú lehet az árvízvédelemben. Az innovatív integrátorok segítségével kiszámolt megoldás ugyanis azt adja meg, hogy adott szabályozási függvény (tehát adott helyen lévő, adott leeresztőképességű csatornák) esetén hogyan változik egy folyón levonuló árhullám, azaz a vízszint magassága. Amennyiben a teljes nemlineáris modellt tekintjük, még valósághűbb eredményhez jutunk, így tehát kiemelkedően fontos a nemlineáris feladatokra alkalmazott innovatív integrátorok vizsgálata.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
Természeti világunk folyamatait fizikai, kémiai, biológiai modellekkel igyekszünk leírni, de számos pénzügyi, gazdasági vagy a társadalomtudományok területén felmerülő modell is a matematika nyelvén fogalmazható meg tudományos igényességgel. Mivel a természetben lejátszódó folyamatok igen bonyolultak, a szóban forgó matematikai leírás, azaz a modell alakja is az. Annak pontos megoldása nem ismert, mely ismeret hiányának ez esetek túlnyomó részében elvi akadályai vannak. Tulajdonságainak feltárásához, vagy egy közelítő megoldás számításához elengedhetetlenek további matematikai módszerek.
Időben változó folyamatok által leírt rendszerek állapotának előrejelzésekor fontos az előrejelzéshez használt matematikai modell minél pontosabb és egyben gyorsabb számítógépes megoldása (gondoljunk például az időjárás előrejelzésére, ahol az előrejelzés szamítása nem ,,késheti le'' a valóságban bekövetkező eseményeket). Ezek a követelmények újabb és újabb számítógépes módszerek kidolgozására és azok vizsgálatára ösztönzik a kutatókat. A jelen pályázatban három, újnak számító, hatékony numerikus módszer matematikai vizsgálatát tűztük ki célul. Ezen módszerek csak akkor adhatnak kielégítő eredményt, ha bizonyos matematikai tulajdonságokkal rendelkeznek. A kutatás jelentősége ezen tulajdonságok vizsgálatában rejlik. Amennyiben bebizonyosodik, hogy az innovatív integrátorok rendelkeznek ezekkel a tulajdonsságokkal, amikor bonyolult alakú modellekre alkalmazzuk őket, akkor érdemes lesz majd a gyakorlati feladatok megoldására (pl. időjárás előrejelzésére, árvízvédelemre, légszennyezés terjedésének modellezésére) is ezen új módszereket alkalmazni a hagyományosak helyett.
| Summary Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
Forecasting the state of any system determined by time-dependent processes is based on the numerical solution of a mathematical model. These models usually consist of complicated nonlinear partial differential equations or a system of those. The numerical methods applied for their numerical treatment can lead to satisfactory result only if they are convergent and stable.
The main aim of this project is to investigate the convergence and the stability of innovative time integrators (operator splitting procedures, exponential integrators, Magnus integrators) when applied to infinite dimensional linear regulator problems and certain nonlinear dispersive problems (nonlinear Schrödinger, Korteweg-de Vries, shallow water equation).
In order to achieve the above objectives, we apply these methods to an abstract nonlinear Cauchy problem on a Banach space, and investigate their convergence and stability with functional analytical tools, more precisely, with the help of the linear and nonlinear operator semigroup theory. The significance of the research lies in the abstract solution of differential equations, that is, in the comprehensive approach for all types, i.e., ordinary, parabolic, and hyperbolic partial differential equations. Since the solution of all of these problems leads to an operator semigroup, the error analysis of the numerical methods can be achieved without the explicit knowledge of the exact solution, which enables us to investigate the convergence of the innovative integrators within the same framework.
What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
The main question of the research is the applicability of innovative integrators to abstract regulator problems and to certain dispersive equations. The research aims at finding an answer to the question whether these methods possess the basic properties (i.e., convergence and stability) which make them suitable for the numerical forecasting of time-dependent processes. To this end we rewrite the model as an abstract nonlinear Cauchy problem, and apply the innovative integrators (operator splitting procedures, exponential integrators, Magnus integrators) to them. The question to be answered is then formulated as follows: We seek those criteria on the operator appearing in the abstract Cauchy problem, on the time step of the integrator, and on the initial function, under which the numerical solution computed by the innovative integrator tends to the exact solution of the problem, determined by the (non)linear semigroup generated by the abstract operator, when the time step goes to zero.
It is easier to answer the question above if the operator appearing in abstract Cauchy problem has some given properties. Therefore, we apply the innovative integrators to abstract regulator problems and dispersive equations. With the help of numerical experiments we aim at studying the efficiency of innovative integrators and whether they are applicable in practice.
What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
Forecasting of every system determined by time-dependent processes requires even more accurate and faster numerical treatment (let us think of the weather forecast, where the computation of the forecast should not miss the events occure in reality). These requirements stimulate the researches to elaborate on new numerical methods. The present project aims the analysis of three new efficient numerical methods. These methods can only give a satisfactory result if they possess certain mathematical properties. The significance of the research lies in the analysis of these properties. If it is found that the innovative integrators possess these properties when applied to complicated nonlinear models, then it will be worth solving practical tasks (e.g. weather forecast, flood prevention, modelling air pollution transport) by applying these new methods instead of the conventional ones.
One of our main examples will be the optimal control of linearised shallow water equations, which could be a key problem in flood prevention. The solution computed by an innovative integrator gives how the water's height evolves in time under a given control function, that is, when the positions and capacities of the channels along the riverside are given. If we consider the whole nonlinear model, we obtain more realistic results, therefore, the study of innovative integrators is extremely important for nonlinear problems.
Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
Processes of the natural world are described by physical, chemical, biological models, but many financial, economical, and social scientific models are drawn up by the language of mathematics, too. Since the processes taking place in the nature are quite complicated, it is as well the their mathematical description, i.e., the model. Therefore, the form of its exact solution is usually unknown. In order to explore its properties or to compute its approximation, further mathematical methods are needed.
Forecasting of every system determined by time-dependent processes requires even more accurate and faster numerical treatment (let us think of the weather forecast, where the computation of the forecast should not miss the events occured in reality). These requirements stimulate the researches to elaborate on new numerical methods. The present project aims the analysis of three new efficient numerical methods. These methods can only give a satisfactory result if they possess certain mathematical properties. The significance of the research lies in the analysis of these properties. If it is found that these methods possess the properties above when applied to complicated models, then it will be worth solving practical tasks (e.g. weather forecast, flood prevention, modelling air pollution transport) by applying these new methods instead of the conventional ones.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
