A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. 1. Két kutatási projektem közül az elsőben tropikus polinomgyűrűk prím kongruenciáival foglalkozom, melyet korábbi munkánk során definiáltunk. A fő célkitűzés, hogy egy alkalmas lokalizáció fogalmat találjunk félgyűrűkön, ami lehetővé tenné, hogy egy koordinátagyűrűt definiáljunk a prím spektrumunk felett. Ennek a célnak az érdekében megpróbáljuk jobban megérteni korábbi eredményeinket is, melyek számos analógiát igazoltak félgyűrűk prím kongruenciái és gyűrűk prím ideáljai között. Reméljük továbbá, hogy igazolható egy Lasker-Noether tétel jellegű eredmény is additívan idempotens félgyűrűk felett.
2. A második kutatási projektem középpontjában rácspolitópok egy osztálya áll mely olyan tórikus geometrikus invariáns elméleti konstrukciókból származik, ahol a hatást egy teljesen unimoduláris mátrix definiálja. A fő célkitűzésem, hogy osztályozzuk ezen politópok által definiált varietásokat és megadjunk fokszámkorlátot a tórikus ideáljaik generátoraira a sima esetben.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. 1. Az általunk vizsgált prím spektrumon a szokásos módon definiálható a Zariski topológia. Másrészről viszont, a szokásos lokalizáció fogalom csak nagyon speciális nyílt halmazok felett teszi lehetővé a koordinátagyűrű definícióját és szemben a gyűrűk prím spektrumával ezek a nyíltak nem generálják a Zariski topológiát. A legfontosabb kérdés az, hogy lehet-e természetesen általánosítani a lokalizáció fogalmunkat és ezáltal lehetővé tenni a koordinátagyűrű definicióját minden principális nyílt halmaz felett a szokásos algebrai geometriai definicióhoz analóg módon.
2. A Bogvad-sejtés szerint minden sima, normális rácspolitóp tórikus ideálját generálják a benne lévő legfeljebb másodfokú elemek. Fő célunk, hogy ezt a sejtést igazoljuk a rácspolitópok általunk vizsgált osztályára, vagy ellenpéldát találjunk közöttük. Ahhoz, hogy ezt a kérdést meg tudjuk közelíteni elsőként bizonyos osztályozási kérdéseket fogunk tanulmányozni, például azt, hogy rögzített dimenzióban véges sok tórikus varietás definiálható-e TUM politópok által.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! 1. A fő motivációt az adja, hogy a szokásos értelemben vett tropikus varietások megadhatóak, mint az általunk tanulmányozott prím spektrum zárt részhalmazai. Ennek alapján remélhető, hogy amennyiben a kutatás sikeres egy új nézőpontot biztosít majd a tropikus geometriai centrális objektumaira vonatkozóan. Továbbá jelen kutatásom, kapcsolódik számos közelmúltban napvilágot látott munkához, melyek célja tropikus sémák definiálása volt.
2. A Bogvad-sejtés egy nagyon nehéznek tartott és jelentős kérdés a tórikus ideálok elméletéből. Így igen jelentősnek gondolhatók az ebbe az irányba elért részeredmények is, mint ahogy ezt az is mutatja, hogy számos próbálkozás volt rá a közelmúltban, hogy a sejtést speciális osztályokra igazolják. Továbbá a politópok melyek kutatásom középpontjában állnak, szerepet játszanak a lineáris programozásban és a kombinatorikus optimalizációban is, így a tervezett osztályozási eredmények ezen területek szempontjából is érdekesek lehetnének.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. 1. A modern (algebrai) geometria egy jelentős része polinomok által definiált objektumokkal foglalkozik. Ennek a tudományterületnek egy relatíve fiatal ága az úgynevezett tropikus geometria melyben megváltoztatjuk a polinomokra vonatkozó szokásos szabályokat (szorzás, összeadás), hogy ezáltal új geometriai struktúrákat definiáljunk. Az ebben az irányba folytatott kutatásnak számos alkalmazást találtak más tudományterületeken, például a molekuláris biológiában vagy a közgazdaságtanban. Az én általam javasolt kutatás arra irányul, hogy a tropikus polinomok és a "szokásos" polinomfüggvények közti analógiákat mélyebben megértsük.
2. A matematika egy tórikus geometria nevű területén, geometriai alakzatokra vonatkozó információt egy kombinatorikus adatstruktúrában tudunk eltárolni. A javasolt kutatás a tórikus geometriai objektumainak egy speciális de fontos alosztályára vonatkozik. Tervem, hogy ezeket osztályozni fogom és megadom bizonyos tulajdonságaikat a definiáló kombinatorikus adat alapján. Ez a kutatás olyan más tudományterületekhez is kapcsolódik mint a lineáris programozás vagy a kombinatorikus optimalizáció, melyeknek fontos (matematikán kívüli) alkalmazásai is vannak.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. 1. The first of the two research projects I described focuses on the study of prime congruences of tropical polynomial semirings defined in our earlier work. The main objective is to establish a good notion of localization for semirings which would allow us to endow our prime spectrum with a structure sheaf, and hence define "tropical schemes". In order to reach this objective we aim to obtain a better understanding of our earlier results that show several analogies between prime congruences of semirings and the congruences of prime ideals of rings. We also hope to establish a Lasker-Noether type result over additively-idempotent semirings.
2. My second research project concerns a class of lattice polytopes and the associated toric varieties, which arise from toric geometrical invariant theory constructions when the action is defined by a totally unimodular matrix. My main goal is to classify the varieties that can be defined this way and calculate degree bounds for the generators of the corresponding toric ideals in the smooth case.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. 1. The prime spectrum we work with in our research can be endowed with a Zariski topology in the usual way. However, unlike in ring theory, the usual notion of localization only allows us to define the coordinate ring over certain very special open sets which do not generate the topology. The most important question is if it is possible to generalize the notion of localization and hence obtain a natural definition for the coordinate ring over any principal affine set, analogously to the usual algebraic geometry setting.
2. The Bogvad conjecture asserts that the toric ideal of any smooth, normal lattice polytope is generated by its elements of degree 2. Our main task is to try to verify this conjecture for the class of lattice polytopes ("TUM-polytopes") which we study, or to find a counterexample among them. In order to be able to approach this question we are first interested in establishing some classification results, for example checking if there are infinitely many different toric varieties associated to TUM-polytopes in a fixed dimension.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. 1. The main motivation behind the research plan is that tropical varieties in the usual sense can be thought of as certain Zariski-closed subsets of our prime spectrum. Hence if my research plan is succesful it might provide a different point of view on the central objects of toric geometry. The project also relates to several recent works which are aimed at finding a scheme theoretical approach to tropical geometry.
2. The Bogvad conjecture is one of the important open problems in the study of toric ideals and is considered very difficult. Therefor any partial result in its direction could be considered significant, and accordingly there have been several attempts to verify it for special classes. Moreover the polytopes I focus on in my research appear in the theory of linear programming and combinatorial optimization hence obtaining the planned classification results would also be important from this point of view.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. 1. Much of modern (algebraic) geometry deals with objects that are defined by a system of polynomial equations. There is a relatively recent area called tropical geometry in which we alter the usual rules (adding, multiplying) of polynomial algebras to obtain new geometric objects. Research in this direction have been applied to solve problems not only within mathematics, but recently in fields such as molecular biology and economics. My research aims at obtaining a better understanding of the analogies between the tropical polynomials and the "usual" polynomial functions.
2. In an area of mathematics called toric geometry, information about a geometrical shape is encoded by a certain combinatorial construction. Our work deals with a special but important class of objects in toric geometry. We aim to classify these and understand their properties based on the defining combinatorial data. The study of these relates to some applied fields such as linear programming and combinatorial optimization.
Final report
Results in Hungarian
A tropikus geometriában a varietások algebrai tulajdonságait úgynevezett tropikus ideálok kódoják el. Kalina Mincheva-val közös kutatásunkban
megadtuk egy teljes osztályozását a prím tropikus ideáloknak. Megadtuk továbbá egy leírását a tropikus polinom félgyűrűkben található összes prím ideálnak
és feltártuk ezek kapcsolatát a korábbi kutatásainkban tanulmányozott prím kongruenciákkal. Továbbá ezen eredmények felhasználásával olyan Krull dimenzió
fogalmat tudtunk definiálni ami a tropikus ideálok esetében egybeesik az ideálhoz tartozó varietás dimenziójával. Végezetül részeredményeket értünk el Nullstellensatz tipusú állítások irányába, melyek tartalmazták olyan ellenpéldák konstruálását amelyek mutatják, hogy ideálok bővebb osztályain nem várhatóak pozitív eredmények ebben az irányban.
A folyam politópok a matematika számos - kombinatorikai, algebrai és geometriai témákat is érintő - területén tanulmányozott objektumok. Domokos Mátyással közös kutatásunkban megmutattuk, hogy a négy dimenziós Birkhoff politóp kivételével, minden legfeljebb négy dimenziós folyam politóphoz tartozó tórikus ideálnak van olyan kezdő ideálja amelyet generálnak a benne lévő, legfeljebb másodfokú monomok. Az eredményhez vezető úton megadtuk a legfeljebb négy dimenziós "összenyomott" (compressed) folyam politópok egy teljes listáját (ekvivalencia erejéig).
Results in English
In tropical geometry the algebraic properties of varieties are encoded by so-called tropical ideal. In our current research with Kalina Mincheva we gave a complete classification of the prime tropical ideals. We also described the remaining prime ideals of polynomial semirings over the tropical semifield and related them to the prime congruences introduced for semirings in our earlier research. Moreover, using these results, we introduced a notion of Krull dimension that matches the dimension of the vanishing loci of tropical ideals. Finally we achieved some partial results towards Nullstellensatz-type statements, including some counterexamples that demonstrate that positive results in this direction can not be expected on broader classes of ideals.
Flow polytopes are a widely studied object in many areas of mathematics including topics in combinatorics, algebra and geometry. In our research with Mátyás Domokos we showed that the toric ideal of every flow polytope up to dimension 4 with the single exception of the four-dimensional Birkhoff polytope has an initial ideal generated by square-free monomials of degree at most two. On the way to this result we gave a complete list (up to equivalence) of the compressed flow polytopes in at most dimension four.
