Kalantzopoulos, Pavlos Kertész, Dávid Csaba Larson, Kyle Lee Mincsovicsné Sélley, Fanni Simon, Péter
Starting date
2016-09-01
Closing date
2020-02-29
Funding (in million HUF)
33.000
FTE (full time equivalent)
6.75
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A konvex testek kiértékeléseinek elméletének kialakusakor két eredmény volt meghatározó. Egyrészt Hadwiger karakterizációs tétele a konvex testeken értelmezett folytonos kiértékelésekről, másrészt Betke és Kneser karakterizációs tétele rácspolitópokon értelmezett kiértékelésekről. Az utóbbi időben a folytonos kiértékelések elmélete nagy fejlődésen ment keresztül. A jelen pályázat célja, hogy megtalálja a folytonos kiértékelésekről elért eredmények analógjait a rácspolitópokon értelmezett kiértékelésekről.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. A kutatás azt a hipotézist vizsgálja, hogy teljesülnek-e a folytonos kiértékelések kapcsán megismert eredmények analógjai rácspolitpok esetén.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! A téma jelentőségét mutatja, hogy matematika széles spektrumához kapcsolódik (reprezentációelmélet, sokaságok, konvex testek, politopók), és a konvex testeken értelmezett kiértékelésekről elért eredményekből több az Annals of Mathematics-ban, a világ legjelentősebb matematikai foyóiratában jelent meg. A pályázat jelentősége abban áll, hogy fontos új irányban indítja meg a kutatásokat.
A pályázat megalapozottságát mutatja, hogy az első lépés, mely az osztrák és a magyar vezető kutató közös eredménye, a Journal of EMS-ben lett elfogadva, mely a legjobb matematikai folyóiratok között szerepel. Erőssége a pályázatnak, hogy míg az osztrák vezetó kutató a kiértéklések területének egyik világszinten elismert szakértője, a magyar vezetó kutató a diszkrét struktúrák megértésének szakértője.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A konvex testek kiértékeléseinek elméletének eredményei világ legjelentősebb matematikai foyóirataiban jelennek meg, és a matematika széles spektrumához kapcsolódnak. Ezek az eredmények fizika és a biológia külöböző területein alkalmazhatóak, mint bio imagining vagy tissue engineering.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. In the beginning of the theory of valuations on convex sets, two classi fication theorems were critical: fi rst, the Hadwiger theorem for valuations on convex bodies (that is, compact convex sets), and second, the Betke & Kneser theorem for valuations on lattice polytopes (that is, convex polytopes with vertices in the integer lattice). In recent years, numerous classi cation results were established for valuations de fined on convex bodies. In particular, such results were obtained for convex-body valued valuations and polynomial valuations.
The aim of this project is to establish results for valuations de fined on lattice polytopes where problems are inspired by the recent results for valuations on convex bodies indicated above.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. The main hypothesis is whether the analogues of the recently established properties of continuous valuations on convex bodies hold for valuation on lattice polytopes.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. The importance of the topic is shown by the wide range of related areas in mathematics, like representation theory, theory of manifolds, convex bodies, polytopes, and that the many result appeared in the Annals of Mathematics, the leading journal in mathematics. This project opens up new directions in the field.
How well founded the project is shown by the fact that the initial step, which is a joint result of the Austrian and the Hungarian principal investigators, has been accepted at the Journal of EMS, which is among the top mathematical journals. A particular strength of the project is that while the Austrian principal investigator is a world known expert on valuations, the Hungarian principal investigator is an expert on discrete structures.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. The results about valuations on convex bodies appear in the leading journals of mathematics, and are intimately related to a wide range of areas of mathematics. The results have applications say in bio imagining and tissue engineering.
Final report
Results in Hungarian
Karakterizáltuk az r rangú valós szimmetrikus tenzor értékű SL(m,C)-ekvivariáns eltolás kovarians folytonos kiértékeléseket. Ha r>1, akkor a karakterizálás alapja a momentum tenzor. Hasonló eredmények ismertek voltak az SL(m,C)-ekvivariáns esetben, de alapvetően új módszerekre volt szükség.
Semyon Alesker és Thomas Wannerer ereményeit kiterjesztve meghatároztuk a r rangú valós szimmetrikus tenzor értékű U(m)-ekvivariáns eltolás invariáns folytonos kiértékelések dimenzióját. Továbbá az egy rangú (vektor értékű) kiértékelések esetén bázist is sikerült találni.
Elkezdtünk dolgozni az rácspoligonokon értelmezett úgynevezett exponenciális kiértékeléseken, melyek a "diszkrét Laplace transzformációi" tulajdonságaival bírnak. Karakterizáltuk az úgynevezett szinguláris exponenciális kiértékeléseket. Dolgozunk a megmaradt eseten, az egyszerű exponenciális kiértékelések leírásán, melyek eltűnnek szakaszokon és pontokon.
Továbbá, több eredményt is elértünk több kiértékeléssel kapcsolatban, például ay Lp duális felületi mértékről.
Results in English
We have completely described the space of continuous, SL(m,C)-equivariant, m>1, and translation covariant valuations taking values in the space of real symmetric tensors on of any rank r. The classification involves the moment tensor valuation for r>0 and is analogous to the known classification of the corresponding tensor valuations that are SL(2m,R)-equivariant, although the method of proof cannot be adapted.
Extending the work of Semyon Alesker and Thomas Wannerer, we have determined the dimension of U(2m) equivariant translation invariant continuous rank r tensor valuations. In addition, we managed to find a basis in the vector dimensional convex bodies.
We have started to work on characterizing so called exponential valuations, having the properties of "discrete Laplace transform". We have completely characterized the so called singular exponential valuations. We are still working on the remaining case, the simple exponential valuations, which vanish on segments and points.
In addition, we have achieved various characterization results on certain valuations, like the Lp dual surface area measure.
K.J. Böröczky, M. Ludwig: Valuations on Lattice Polytopes., In:Tensor Valuations and their Applications in Stochastic Geometry and Imaging (M.~Kiderlen and E.~Vedel~Jensen, eds.), Springer Lecture Notes in Math 2177, 213-234, 2017
