 |
Dimension theory of non-conformal systems
|
Help 
Print 
|
Here you can view and search the projects funded by NKFI since 2004
Back »
|
| |
Details of project |
|
|
| Identifier |
123970 |
| Type |
PD |
| Principal investigator |
Bárány, Balázs |
| Title in Hungarian |
Nem-konform rendszerek dimenzióelmélete |
| Title in English |
Dimension theory of non-conformal systems |
| Keywords in Hungarian |
Hausdorff dimenzió, nem-konform halmazok, nem-konform mértékek, iterált függvényrendszerek |
| Keywords in English |
Hausdorff dimension, non-conformal sets, non-conformal measures, iterated function systems |
| Discipline |
| Mathematics (Council of Physical Sciences) | 100 % | | Ortelius classification: Chaos theory |
|
| Panel |
Mathematics and Computing Science |
| Department or equivalent |
Department of Stochastics (Budapest University of Technology and Economics) |
| Starting date |
2017-09-01 |
| Closing date |
2020-08-31 |
| Funding (in million HUF) |
15.219 |
| FTE (full time equivalent) |
2.10 |
| state |
closed project |
Summary in Hungarian A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
Kutatásaim célja, a nem-konform függvényeket tartalmazó iterált függvényrendszerek által generált attraktorok dimenziójának és geometriájának mélyebb megértése. Az ilyen halmazokról jelenleg kevés ismerettel rendelkezünk. A nem-konform halmazok egy speciális családja, az önaffin halmazok, jelenleg a fraktálgeometriai kutatások fókuszpontjában helyezkedik el. Kutatásom négy problémacsaládra osztható:
I. Nem konform és nem lineáris invariáns halmazok és mértékek dimenziója
Célom nem-lineáris és nem-konform IFS invariáns mértékeinek egzakt dimenziójának igazolása bizonyos feltételek mellett, s ezt felhasználva elégséges feltételt mutatni, hogy az attraktor dimenziója megegyezik az indukált szubadditív nyomás gyökével, valamit megmutatni, hogy valamilyen megfelelő értelemben vett tipikus IFS esetén a dimenzió maximális. Hasonlóan célom megmutatni, hogy a projektív síkon vett Furstenberg mértékek egzakt dimenziósak. Ennek motivációjául Francois Ledrappier egy konferencián feltett kérdése szolgál, Providence-ben, 2016-ban.
II. Véletlen önaffin halmazok
Meg kívánjuk mutatni, hogy véletlen önaffin halmazok dimenziója megegyezik az affinitási dimenzióval majdnem biztosan, a mátrixtagok randomizálása mellett.
III. Fraktál képtömörítési probléma
Meg akarjuk határozni fraktál képtömörítési rendszerek egy speciális családjára a repeller dimenziójának értékét.
IV. Szűkülő cél probléma
A Bedford-McMullen szőnyegeken értelmezett természetes szűkülő cél halmazának Hausdorff dimenziójának kiszámítása, amikor a szűkülő cél cilinderek és geometriai gömbök sorozata.
Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
Kutatásaim alapkérdései a geometriai mértékelmélet részét képező iterált függvényrendszerek attraktorainak és mértékeinek dimenziójához kapcsolódik. Speciálisan a következő problémákat kívánjuk megválaszolni:
- Egzakt dimenziósak-e a Furstenberg és Kifer [Israel J. Math., 1983] által definiált a projektív síkon értelmezett véletlen bolyongás stacionárius mértékei, és a nem konform és nem lineáris iterált függvényrendszerek (IFS) invariáns mértékei?
Az egzakt dimenziós tételekből kapott formulák nehezen számolhatóak, ezért a dimenzió értékének meghatározás másik jelentős alapkérdés, valamilyen értelemben tipikus rendszerekre. Speciálisan:
- Mennyire mondható tipikusnak a Hochman és Solomyak [arXiv:1610.02641, 2016] által megadott diofantoszi feltétel?
- Általánosítható-e a Ledrappier [Contemp. Math., 1992] által Weierstrass függvényekre adott elégséges feltétel tetszőleges nem-konform iterált függvényrendszerre?
- Mekkora egy tipikus nem-konform és nem lineáris IFS attraktorának dimenziója?
- Hogyan írható le a véletlen önhasonló halmazok dimenziója?
- Mekkora egy fraktál képtömörítési eljárás során kapott repeller dimenziója tipikusan?
Hasonlóan nem megértett kérdés az önaffin halmazokon értelmezett, dinamikailag definiált részhalmazainak dimenziója, mint a multifraktál analízis és a szűkülő cél probléma.
- Hogyan írható le a Bedford-McMullen szőnyegen értelmezett szűkülő cél halmaz dimenziója?
Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
Tervezett kutatási témáim, s tervezett eredmények elméleti jelentősége:
- Megválaszolni Francois Ledrappier kérdését a Frustenberg mértékekről, melyet egy konferencián, Providence-ben tett fel 2016-ban.
-Nem-konform és nem-lineáris IFS attraktorának dimenzióinak számítására módszerek megadása, melyek jelenleg még síkbeli esetekre sem ismertek.
- Valamilyen értelemben tipikus, véletlen önaffin halmazok dimenziójának mélyebb megértése, a fraktál képtömörítési eljárás során kapott halmazok (képek) dimenziójára való alkalmazásokkal.
- A konform dinamikai rendszerek témájában ismert szűkülő cél halmazok jobb megértése önaffin és nem-konform rendszereken.
A kutatási projektjeim nagy részét külföldi társszerzőimmel közösen tervezem véghezvinni. Ez, valamint a kutatási eredményeim elismert folyóiratokban való publikációja és jelentős konferenciákon való ismertetése hozzájárul a kutatói közegem nemzetközi elismertségének fenntartásához is.
A jövőben, a BME-n végzett oktatási tevékenységem részeként tervezem BSc, MSc dolgozatok, TDK témák vezetését,
illetve amint az egyetemi pozícióm lehetővé teszi, a PhD-témavezetés is ambícióm.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
Matematikus vagyok, s mindig is vonzottak az egzotikus problémák, így kerültem kapcsolatba a fraktálgeometriával. Mandelbrot meghatározása szerint a fraktál egy olyan természeti jelenség, vagy matematikai halmaz, amely minden szinten ismétlődő mintát mutat. Gondolhatunk egy karfiol felszínére, a villám ívére vagy Nagy-Britannia partvonalára. Az ilyen halmazok matematikai precizitással történő vizsgálata a nyolcvanas években kezdődött, s az irántuk az érdeklődés emelkedő tendenciát mutat.
A legegyszerűbb matematikailag precíz fraktálhalmazok az ún. önhasonló halmazok. Ezen halmazok előállnak hasonlósági leképezésekkel vett képeik uniójaként. Jellemzőjük, hogy a megszokott mérési módszerekkel, mint terület-, kerületszámítás szélsőséges eredményeket kapunk, azaz vagy 0 vagy végtelen. Így leírásukra a megszokott 1,2,3 stb. dimenziós jelenségek nem elégségesek, s új dimenziófogalmakra szükségesek. Számos dimenziófogalom ismert, s mindegyik más más perspektívából ad megvilágítást a fraktálhalmazok nagyságára, kiterjedésére.
Az önhasonló halmazok dimenziója viszonylag jól megértettnek tekinthető, köszönhetően az utóbbi 2-3 évben megjelent mély matematikai cikkeknek és kutatásoknak. Halmazok egy nagyobb családját adják az önaffin halmazok (melyek előáll nem hasonlósági, hanem affin transzformációkkal vett képei uniójaként) és a nem-konform halmazok, ahol a függvényekre, melyek szerint előáll képeinek uniójaként, már nincs megkötésünk, mint elég sima legyen. Az ilyen halmazok dimenziója még a viszonylag egyszerűbb esetekben sem jól megértett.
Célom a nem-konform halmazok geometriájának mélyebb megértése, dimenziójuk leírása.
| Summary Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
The main goal of my research is to give a better understanding of the geometry and dimension theory of attractors generated by iterated function systems (IFS) with non-conformal maps. The theory of such sets is far from being well understood. A special family of non-conformal sets is the family of self-affine sets, which is in the focus of the recent research of the fractal geometry field. My research can be divided into four parts.
I. Dimension of non-conformal & non-linear invariant sets and measures
We would like to show the exact dimensionality of invariant measures of non-conformal and non-linear IFS. By using this, we would give sufficient condition to show that the dimension of the attractor is equal to the root of the subadditive pressure. On the other hand, we would like to show that the attractors of typical IFSs satisfy this property. Moreover, we want to study the exact dimensionality of the Furstenberg measure on the projective plane. The main motivation of this was given by a question of Francois Ledrappier on a conference in Providence, 2016.
II. Random self-affine sets
We would like to show that the dimension of random self-affine sets is equal to the affinity dimension almost surely, under the randomization of the linear parts.
III. A problem in fractal image compression
We want to determine the dimension of repellers of a special family of fractal image compression systems.
IV. Shrinking target problem on self-affine sets
We would like to calculate the dimension of shrinking target sets defined on Bedford-McMullen carpets, if the sequence of the targets are level sets and geometric balls.
What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
The fundamental questions of my research are forming a significant part of the geometric measure theory, namely the dimension theory of attractors and invariant measures of iterated function systems. In particular, we would like to find the answer for the following question:
- Are the stationary measures of random walks on the projective plane induced by matrices (defined by Furstenberg és Kifer [Israel J. Math., 1983]) exact dimensional? Moreover, are the invariant measures of non-conformal IFS exact dimensional?
The formulas, given by the exact dimensionality, are very hard to calculate. Thus, the determination of the value of the dimension is another fundamental question for typical systems, in some proper sense. In particular,
- How typical is the Diophantine condition, given by Hochman és Solomyak [arXiv:1610.02641, 2016]?
- Can the sufficient condition in Ledrappier [Contemp. Math., 1992] for Weierstrass functions, be generalized for non-conformal IFS?
- What is the dimension of the attractor of a typical non-conformal and non-linear IFS?
- How can the dimension of random self-affine sets be described?
- What is the value of the dimension of the repeller given by a typical fractal image compression system?
The dimension of dynamically defined subsets of self-affine sets is not well understood, as well. For example, the multifractal analysis and shrinking target problem. Our question is:
- How can the dimension of the shrinking target set be described on self-affine sets?
What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
Theoretical significance of my planned research topics and planned results:
- I would answer the question of Francois Ledrappier on the Furstenberg measure, which was asked by him at a conference in Providence, USA, 2016.
- Giving methods for calculation of the dimension of non-conformal and non-linear IFS, which have been unknown even for planar cases yet.
- A deeper understanding of the dimension theory of typical, random self-affine systems, with applications on fractal image compression problems.
- Studying the shrinking target problem on self-affine systems.
The most of my research projects are joint works with my coauthors from abroad. I would publish my results in relevant mathematical journals and I would present them in conferences. This would contribute to maintain the international reputation of the institute, where I am planning to work.
In the future, I am planning to supervise BSc, MSc thesises, TDK thesises. Moreover, as soon as my position at the institute allows, I would like to be a supervisor of a PhD student.
Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
I am a mathematician, and I was allways addicted to egzotic problems. That is, how I got in contact with fractal geometry. According to Mandelbrot, a fractal is a natural phenomenon or a mathematical set that exhibits a repeating pattern that displays at every scale. We can think about the shape of a cauliflower, a route of a lightning or the coast of Great Brittain. The mathematically rigorous study of such sets had already begun in the eightees and the interest in them shows an increasing tendency.
The simplest fractal sets are the self-similar sets. A self-similar set is the union of its images with similarity transformations. Usually, they show strange behaviour if we measure them with the usual methods (area, perimeter etc.). It is either zero or infinite. For the description of such sets the usual 1,2,3 dimensional tools are not sufficient and we need other concepts of dimension. There are several different type of dimensions and each gives us some information about how large the set is in different aspects.
The dimension theory of self-similar sets is relatively well understood thanks due to the recent works and articles in the last 2-3 years. A larger family of fractals sets are the self-affine sets (when the set is the union of its images with affinity transformations) and the non-conformal sets, where we don't have any strong restriction on the transformations except some smoothness. The dimension theory of such sets is far from being well understood even in the simplest cases.
In my research, my main goal is to give a better understanding of the dimension and structure of non-conformal sets.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
