Theoretical Physics Department (Wigner Research Centre for Physics)
Participants
Szlachányi, Kornél Vecsernyés, Péter
Starting date
2017-12-01
Closing date
2020-04-30
Funding (in million HUF)
5.226
FTE (full time equivalent)
5.07
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. Csoportok keresztezett modulusai egy jól megalapozott, kategóriaelméleten nyugvó leírás keretében tárgyalhatók. A Hopf-algebrák újabban bevezetett keresztezett modulusai - bár sok szempontból a csoport esethez hasonlóan viselkednek - kívül esnek ennek az elméletnek a keretein.
Céljaink a következőek.
- Az elmélet hasonlóan megalapozott kiterjesztése csoportokról fonott monoidális kategóriák általánosabb Hopf-monoidjaira (ami magában foglalja a csoportok mellett a Hopf-algebrákat is).
- Tovább tágítva a kereteket, a gyenge Hopf-algebrák keresztezett modulusainak leírására is alkalmas elmélet kidolgozása.
- Annak vizsgálata, hogy mit adnak hozzá az új típusú keresztezett modulusok a csoportok keresztezett modulusainak ismert alkalmazásaihoz (elsősorban a nem abeli kohomológiában illetve topologikus és homotopikus kvantumtérelméletekben).
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. Kutatásunk alapfeladata az, hogy kidolgozzuk a Hopf-monoidok keresztezett modulusainak megalapozott, kategóriaelméleten nyugvó elméletét. Ez áll az alkalmas fogalmak megalkotásából és a köztük várt ekvivalenciák bizonyításából.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! Tervezett kutatásunk elsősorban elméleti fontosságú. Elsődleges jelentősége bizonyos, már használatban lévő definíciók fogalmi megalapozása, illetve további, a képet teljessé tevő struktúrák megalkotása. Elvileg tiszta leírásunk eredménye ugyanannak a keresztezett modulus fogalomnak több, különböző nézőpontból vett, ám ekvivalens megfogalmazása lesz. Ez elvi jelentőségén túl lehetőséget ad a legmegfelelőbb megközelítés kiválasztására is a különböző matematikai és fizikai alkalmazásokban.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A „csoport” az egyik legegyszerűbb algebrai struktúra: halmaz egy művelettel, ami két elemhez egy harmadikat rendel. Pl. az egész számok halmazán az összeadás művelet n-hez és m-hez n+m-et rendeli. Ahhoz, hogy ez csoport legyen, három szabálynak kell teljesülnie: - a művelet tetszés szerinti sorrendben elvégezhető: (n+m)+k=n+(m+k) - van egy kitüntetett elem, ami a többieket változatlanul hagyja, mint az összeadás 0 eleme: n+0=n=0+n - minden elemnek van inverze, amivel együtt a kitüntetett elemet adják, esetünkben az ellentett: n+(-n)=0=(-n)+n. Csoportok „keresztezett modulusa” egy f függvény ami egy csoport elemeihez egy másik csoport elemeit rendeli úgy, hogy a művelet őrződik: f(n+m)=f(n)+f(m) és néhány további tulajdonság is teljesül. Ezek érdekes és fontos szerepet játszanak a matematika és a fizika több ágában. A keresztezett modulusoknak több ekvivalens leírása ismert. Ezek mindegyike más tanulságot szolgáltat, az alkalmazásokban pedig lehetőséget ad a legegyszerűbb nyelv kiválasztására. Az ekvivalens leírások mögött egy mély és megalapozott elmélet van, amely az ún. kategórialemélet alkalmazásán nyugszik. A „Hopf-algebra” a csoport bonyolultabb általánosítása: több művelet van több megkövetelt tulajdonsággal. A szakirodalomban újabban megjelentek ezek keresztezett modulusai is, amik a csoportokéhoz hasonló tulajdonságokat mutatnak és jelei vannak hasonló ekvivalens leírásoknak is. Ezt azonban nem magyarázza a létező megalapozott elmélet. Kutatásunk célja egy olyan új, a meglévőt kiterjesztő elmélet megalkotása, amely ugyanolyan megalapozott, de képes leírni más eseteket is, köztük a Hopf-algebrákét is. Ebből főként más elméleti kutatások profitálhatnak.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. Crossed modules of groups can be treated in a well-established framework based on category theory. Although in many respects they behave similarly to the group case, recently introduced crossed modules of Hopf algebras are beyond the limits of this theory.
Our aims are the following.
- An equally well-established extension of the theory from groups to more general Hopf monoids in braided monoidal categories (including, in addition to groups, Hopf algebras as well).
- Broadening further the frame, working out a theory covering crossed modules of weak Hopf algebras as well.
- Investigation of the addition of these new kinds of crossed modules to the known applications of crossed modules of groups (at the first place in non-abelian cohomology and in topological and homotopical quantum field theories).
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. The main objective of our research is to work out a well-established theory of crossed modules of Hopf monoids, based on the application of category theory. This consists of the construction of some appropriate notions and of the proofs of some expected equivalences between them.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. Our planned research is of theoretical importance at the first place. Its main significance comes from giving a conceptual foundation to certain definitions already in use, as well as from the construction of further new notions making the picture complete. As a result of our conceptually clean description we will have several, though equivalent, formulations from different points of view of the same concept of crossed module. Beyond its theoretical relevance this will allow also for the choice of the most appropriate approach in various applications in mathematics and physics.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. “Group” is one of the simplest algebraic structures: a set with an operation sending any two elements to a third one. E.g. on the set of integer numbers the addition operation associates n+m to n and m. In order for this to be a group, three rules should be obeyed: - the operation can be performed in an arbitrary order: (n+m)+k=n+(m+k) - it has a distinguished element which leaves the others unchanged, like the zero of the addition: n+0=n=0+n - every element has an inverse together with which they yield the distinguished element, in our case the opposite: n+(-n)=0=(-n)+n. A “crossed module” of a group is a map f taking the elements of a group to elements of another group such that the operation is preserved: f(n+m)=f(n)+f(m) and a few more properties hold. They play important roles in various branches of mathematics and physics. Several equivalent descriptions of crossed modules are known. Each of them provides a different insight and in the applications they allow for choosing the simplest language. Behind them there is a deep and well-established theory based on so-called category theory. “Hopf algebra” is a more complicated generalization of group, there are more operations of more properties required. Recently in the literature also their crossed modules appeared. They behave similarly to the group case and there are signals of analogous equivalent descriptions. However, this is not explained by the existing theory. Our aim is to develop a new theory which extends the existing one, which is equally well-established, but which can be used to describe other cases too, such as the case of Hopf algebras. From this mainly further theoretical research will benefit.
Final report
Results in Hungarian
* Ívek egy megengedett osztályára nézve bevezettük a relatív visszahúzás fogalmát és erre alapozva a – relatív – belső kategóriát olyan kategóriákban is, ahol az összes visszahúzás nem létezik.
* (Relatív) keresztezett modulusokat definiáltunk szimmetrikus monoidális kategóriák monoidjaira. Disztributív szabályok használatával igazoltuk ekvivalens voltukat monoidok (relatív) kategóriáival.
* Szimpliciális monoidokra bevezettük a Moore-hossz fogalmát. Igazoltuk a (kompatibilis) 1 Moore-hosszú szimpliciális monoidok és monoidok (relatív) keresztezett modulusainak ekvivalenciáját.
* Ezzel Hopf-monoidok keresztezett modulusainak ekvivalens leírásait is kaptuk.
* A szigorúan monoidális dupla kategóriák nyelvét használva megalkottuk a szimmetrikus szigorúan monoidális 2-kategóriák multimonoidális monádjainak formális elméletét. Ez megmagyarázza, miért öröklik az Eilenberg–Moore objektumok a multimonoidális struktúrát.
* A dupla kategóriák és dupla funktorok kategóriáján Gray-monoidális struktúrát konstruáltunk. Ennek monoidjai a dupla Gray-monoidok, ami a szigorúan monoidális 2-kategória széleskörű általánosítása.
* Vegyes lax és oplax koherenciájú monoidális kategóriákat vezettünk be.
* A BiHom bimonoidokat mint alkalmas példáik bimonoidjait írtuk le.
* Bevezettük az integrál fogalmát duoidális kategóriák bimonoidjaira.
* Maschke típusú tételeket bizonyítottunk természetesen Frobenius leképezés pszeudo-monoidok duoidális endohom kategóriáinak Hopf monoidjaira.
Results in English
∗ By introducing pullbacks relative to an admissible class of spans, we defined internal categories – relative to the class – also in categories without arbitrary pullbacks.
∗ We defined (relative) crossed modules over monoids in a symmetric monoidal category. Using distributive laws, we proved their equivalence to (relative) categories of monoids.
∗ We introduced the Moore length of simplicial monoids; and verified the equivalence of (compatible) Moore length 1 simplicial monoids to (relative) crossed modules of monoids.
∗ Thereby we obtained equivalent characterizations of crossed modules of Hopf monoids too.
∗ Using the language of strict monoidal double categories, we developed a formal theory of multimonoidal monads in symmetric strict monoidal 2-categories. This explains the lifting of multimonoidal structures to Eilenberg-Moore objects.
∗ We constructed the Gray monoidal structure on the category of double categories and double functors. Its monoids define double Gray monoids, a wide generalization of strict monoidal 2-category.
∗ We defined monoidal categories of mixed lax and oplax type coherences.
∗ We described BiHom bimonoids as bimonoids in their suitable instances.
∗ We introduced integrals for bimonoids in duoidal categories.
∗ We proved Maschke type theorems for Hopf monoids in the duoidal endohom category of a naturally Frobenius map pseudo-monoid.
