3- és 4-sokaságok, felületszingularitások, csomók és invariánsok
Keywords in English
3- and 4-manifolds, surface singularities, knot invariants
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Geometry
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Participants
Némethi, András
Starting date
2017-12-01
Closing date
2021-11-30
Funding (in million HUF)
0.000
FTE (full time equivalent)
5.20
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A pályázat célja (a) új alacsony dimenziós topológiai invariánsok találása, (b) a már korábban megtalált invariánsok segítségével új jelenségek megértése, és (c) az ismert invariánsok közötti kapcsolatok megtalálása. Részletesebben, rácspont-homológia egy Pin(2)-ekvivariáns változatát szeretnénk kifejleszteni. A kutatást Manolescunak a Monopol Floer homológia elméletében elért nagyszerű eredménye motiválja. Azt reméljük, hogy az új konstrukció kiterjeszthető lesz majd gráf-sokaságokban lévő csomók és láncok vizsgálatára is. Vizsgálni tervezzük azt is, hogyan lehet egy komplex felület-szingularitás kombinatorikus adataiból (melyeket zeta-függvénye tartalmaz) meghatározni egész rácspont-homológiáját. Tervezzük ezen invariánsok kiszámítását sokaságok egy szélesebb osztályára. Szeretnénk továbbá megérteni hamis projektív síkok topologikus konstrukcióját, és talán ezen ötleteket adaptálva kereshetünk egzotikus sima struktúrákat a komplex projektív síkon, és kaphatunk becsléseket Lefschetz fibrálások szinguláris fibrumainak számára.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. Néhány egymással szorosan összefüggő problémát tervezünk a projektben vizsgálni. Ezek tartalmazzák: hamis (és talán egzotikus) komplex projektív síkok konstrukciója, a rácspont-homológia egy a Pin(2)-ekvivariáns Monopol Floer homológia által inspirált változatának definíciója és alaptulajdonságai, valamint izolált felületszingularitások rácspont-homológiájának és zeta-függvényének tanulmányozása.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! Egzotikus komplex projektív síkok létezése a (4-dimenziós) topológia egyik központi kérdése. Ismert, hogy léteznek hamis projektív síkok, de konstrukciójuk alapján nagyon keveset tudunk topológiai struktúrájukról. Egyik célunk ennek a kérdéskörnek a tanulmányozása. Egy további cél rácspont-homológiák egy Pin(2)-ekvivariáns verziójának megtalálása: egy ilyen változat létezik a Seiberg-Witten elméletben, úgyhogy jó okunk van feltételezni, hogy rácspont-homológiára is létezik, és ezek alapján vizsgálni tudjuk majd, hogyan terjed ki az elmélet csomók és láncok homológiáira. Hasonló és kapcsolódó ötletekre van szükség izolált komplex felületszingularitások vizsgálatánál is. A tervezett kutatások segítenek megérteni az invariánsok meglehetősen összetett struktúráját megfelelően csoportosított kombinatorikus adatok segítségével.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. Sokaságok, részsokaságaik és ezek változatainak differenciáltopológiai tulajdonságait sikeresen vizsgálhatjuk invariánsaikon keresztül, majd az invariánsok közötti kapcsolatokat megtalálva az invariánsokat értelmezhetjük a vizsgált objektumok geometriai tulajdonságait alapulvéve. Az ilyen jellegű kutatásokat szükségszerűen megelőznek részletes számolások megfelelően választott példákra. A jelen pályázatban tervezzük bizonyos invariánsok gráf-sokaságokra való kiterjesztését, különös tekintettel felületszingularitások hurkaira, melyek 3-sokaságok egy gazdag osztályát adják. Az invariánsok közötti kapcsolatok feltérképezése is kutatási céljaink között szerepel. Párhuzamosan ezekkel a munkákkal tanulmányozni tervezzük komplex projektív síkok differenciáltopológiai tulajdonságait.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The central aim of the project is (a) to find new invariants in low dimensional topology, (b) to use already existing invariants to understand phenomena, and (c) to find relations between invariants already developed. In more detail, we would like to develop a Pin(2)-equivariant version of lattice homology. This research is motivated by Manolescu's groundbreaking results in Monopole Floer homology. We hope that the new construction can be extended to knots and links in graph manifolds. We would like to see how the combinatorial data of a complex surface singularity (compressed in its zeta-function) can be used to recover the entire lattice homology. Furthermore we plan to determine both invariants for larger classes of examples. It is also planned to study constructions of fake projective planes, and adapting these methods to find exotic structures on the complex projective plane, and to deduce bounds on the number of singular fibers of Lefschetz fibrations.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. There are a few interconnecting problems we would like to examine in the project. These include: constructions of fake (and potentially exotic) complex projective planes, the definition and basic properties of a variant of lattice homology modelled on the Pin(2)-equivariant Monopole theory developed by Manolescu, and the study of lattice homologies and zeta-functions of isolated surface singularities.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. The existence of exotic complex projective spaces is one of the central problems in low dimensional (especially four-dimensional) topology. Fake complex prpjective spaces are known to exist, but their description provides very little insight into their topological structure. One of the aims is to sort out this question. Another aim of the project is to extend lattice homology to a Pin(2)-equivariant version: this extension exists in the Seiberg-Witten setting, so there is good reason to believe that it does exist for lattice homology, and might give a hint how to proceed further and understand these homology theories for knots and links. In addition, similar and related ideas are required in the study of isolated complex surface singularities. The planned results give ways to understand the highly complex structure of the invariants in terms of suitably grouped combinatorial data.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. Questions about the differential topology of manifolds, submanifolds and their variants (for example singularities of manifolds) can be successfully studied by defining various invariants, then discover relations among these invariants and then interpreting the invariants by geometric properties of the underlying objects. Necessarily, such studies are preceded by computations of the invariants in carefully chosen sample cases. In the present project we try to extend and adapt definitions of invariants to graph manifolds and in particular to links of surface singularities, a rich and important class of 3-manifolds, and try to see connections among the invariants. Parallel to these activities, complex projective spaces are also planned to extensively studied from the differential topological point of view.
