Department of Applied Mathematics and Probability Theory (University of Debrecen)
Starting date
2017-09-01
Closing date
2020-08-31
Funding (in million HUF)
15.219
FTE (full time equivalent)
2.10
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A kutatás során 3 fő problémakörrel foglalkozunk: (1) Gauss-kompozíció általánosítása mátrix közepek elméletére; (2) Különböző megőrzési problémák; (3) Wright konvexitás egy általánosítása.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. A pályázat keretein belül a következő kérdéseket, illetve azok megválaszolásakor felmerülő további problémákat vizsgálnánk: (1) A számközepek elméletéből, a Gauss-kompozíciókra vonatkozó ismert eredményekhez hasonló, velük analóg állításokat szeretnénk igazolni a mátrixközepek elméletében. (2) Részben szintén a mátrixközepek elméletében felbukkanó megőrzési problémákat szeretnénk megoldani, valamint a már korábban vizsgált úgynevezett ferde-morfizmusok elméletében szeretnénk újabb eredményeket elérni, melyek fontos szerepet játszanak a gráfelméletben is. (3) Bizonyos általánosított értelemben vett Wright konvex függvényeket szeretnénk több szempontból vizsgálni. Ezen függvényeket szeretnénk karakterizálni esetleges reguláris feltételeket felhasználva.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! A fent említett problémakörök mindegyike jelenleg is széles körben kutatott területei az analízisnek. Tervezett vizsgálataink jelentős mértékben segítenék a mátrixközepek és számközepek hasonlóságának, különbözőségének, valamint az általánosított Wright konvex függvények szerkezetének megértését. Mivel ezen fogalmak nemcsak a matematikában játszanak fontos szerepet, így vizsgálatuk különösen motivált.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A kutatásunk célja, hogy olyan eredményeket nyerjünk, melyek segítik, a különböző struktúrákon értelmezett, de látszólag analóg fogalmak közötti hasonlóságok, különbözőségek megértését. Valamint, újonnan bevezetett fogalmak értelmezését is elősegíthetik. A megőrzési problémák, olyan leképezések szerkezetét vizsgálják, amelyek egy adott struktúrára jellemző mennyiséget hagynak változatlanul, vagy azon értelmezett relációt őriznek meg. Fontos megjegyezni, hogy az ilyen problémák nem csak a matematikában, de a fizikában, kémiában is gyakran felbukkannak, ahol szimmetriáknak nevezik őket. Továbbá, a ferde morfizmusok a gráfelmélet elméletében játszanak fontos szerepet, így karakterizálásuk szintén hasznos lehet. A Schur-konvexitásnak, ami az általánosított Wright konvex függvények speciális esete a pénzügyi matematikában és optimalizálásban lép fel eszközként, így ezen függvények vizsgálata szintén motivált a gyakorlatban is.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The applicant is going to plan considering the following subjects within the confines of the Grant PD17: (1) Generalization of Gauss-composition of means for the case of matrix means; (2) Examination of different kinds of preserver problems; (3) Studying of generalized Wright convex functions.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. During the research, we would like to answer the following problems:
(1) From the theory of means of numbers there exists a lot of well-known results on Gauss-composition of means. During our research, we would like to prove results on Gauss-composition of matrix means that are similar to that in case of Gauss-composition of means of numbers. (2) We would like to study preserver problems that appear in the theory of matrixmeans. Moreover, our aim is to prove new results on skew-morphisms, which play a significant role in graph theory. (3) Within the confines of the grant we are going to examine some kind of generalized Wright convex functions. The main goal is to characterize those functions with or without and regularity assumption.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. The above mentioned problems are widely studied research field of analysis. Our plan is to understand the differences and similarities between means of numbers and matrixmeans; moreover, the structure of generalized Wright convex functions. Since the mentioned notion have significance not only in mathematics, the study of them is well motivated.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. Due to new results, our aim is to understand the differences and similarities between notions that have the same form but they are defined on different structures. The aim of a preserver problem is to characterize all mappings on a given structure which preserve operations defining on the elements of that structure, quantities among elements relevant for the structure. Preserver problems show up in most parts of mathematics. However, we emphasize that preserver transformations appear also in physics and even in chemistry where they are usually called symmetries. Moreover, skew-morphisms play an important role in graph theory, hence characterization of them could be very useful. Finally, we emphasize that Schur convexity, which is a special case of generalized Wright convexity, appears in different areas of mathematics, including financial mathematics and optimization.
Final report
Results in Hungarian
A pályázat keretén belül 3 fő kutatási területet jelöltünk meg:
1) Gauss-kompozíció általánosítása mátrix-közepekre;
2) Megőrzési problémák vizsgálata;
3) Általánosított Wright-konvex függvények vizsgálata.
Elsőként egy, az 1) és 2) témakörökhöz is kapcsolható eredményt említünk meg. Bevezettük és vizsgáltuk a pozitív szemidefinit mátrixok halmazán értelmezett, úgynevezett általánosított kvázi-aritmetikai közepek fogalmát, melyekkel kapcsolatban egy megőrzési problémát igazoltunk, valamint a Kubo-Ando közepekkel való kapcsolatukat elemeztük.
A valós számokon értelmezett kvázi-aritmetikai közepekre vonatkozóan, Aczél János egy jól ismert, 1948-as jellemzési tételét sikerült általánosítanunk jelentős mértékben. A tétel egy korábban lényegesnek hitt feltételéről (folytonosság) derült ki, hogy redundáns.
A megőrzési problémákhoz kapcsolódóan jegyezzük meg, hogy karakterizáltuk egy véges von Neumann faktor egységnyi Fuglede-Kadison determinánssal rendelkező pozitív invertálható elemein értelmezett szürjektív, általánosított izometriáinak szerkezetét.
A 3) témakörrel kapcsolatban, a többváltozós Schur-konvex függvényeket vizsgáltuk. Bizonyos jellemzési tételek bizonyítása mellett, az Hermite-Hadamard egyenlőtlenséggel való kapcsolatukat is sikerült leírni. A bizonyítás során a ciklikus, duplán sztochasztikus mátrixok vizsgálata és egy Korovkin-típusú tétel játszott fontos szerepet.
Results in English
In the Research plan we assigned 3 different topics:
1) Generalization of Gauss-composition of means for the case of matrix means;
2) Examination of different kinds of preserver problems;
3) Studying of generalized Wright convex functions.
In a result, which can be connected to the areas 1) and 2), we have defined and studied the generalized quasi-arithmetic means of positive definite matrices. Besides a preserver problem of generalized quasi-arithmetic means, we investigated the relation of those means with the Kubo-Ando means.
Concerning quasi-arithmetic means of real numbers we studied the well-known result of János Aczél, where he established a characterization of 2-variable quasi-arithmetic means in 1948. We have shown that the continuity assumption of the theorem is redundant.
An other result, that belongs to preserver problems (2) we have explored the structure of certain surjective generalized isometries (which are transformations that leave any given member of a large class of generalized distance measures invariant) of the set of positive invertible elements in a finite von Neumann factor with unit Fuglede-Kadison determinant.
Concerning the topic 3) we have proved certain characterization theorems of multivariable Schur-convex functions and we described the relation of those functions with the Hermite-Hadamard inequalities. For the proof of our new results we have investigated circulant, double stochastic matrices and Korovkin-type theorems.
Gaál Marcell, Nagy Gergő, Szokol Patricia: Isometries on Positive Definite Operators with Unit Fuglede-Kadison Determinant, TAIWANESE JOURNAL OF MATHEMATICS, 2019
Nutefe Kwami Agbeko, Patrícia Szokol: A Generalization of the Hyers -Ulam-Aoki Type Stability of Some Banach Lattice -Valued Functional Equation, EXTRACTA MATH 33: (1) pp. 1-10., 2018
Burai Pál, Makó Judit, Szokol Patricia: Convexity generated by special circulant matrices, BULETINUL STIINTIFIC AL UNIVERSITATI POLITEHNICA DIN TIMISOARA ROMANIA: SERIA MATEMATICA FIZICA 2019: pp. 47-53., 2019
Gaál Marcell, Nagy Gergő, Szokol Patricia: Isometries on Positive Definite Operators with Unit Fuglede-Kadison Determinant, TAIWANESE JOURNAL OF MATHEMATICS, 2019
Nagy Gergő, Szokol Patricia: Maps Preserving Norms of Generalized Weighted Quasi-arithmetic Means of Invertible Positive Operators, ELECTRONIC JOURNAL OF LINEAR ALGEBRA 35: (1) pp. 357-364., 2019
Nutefe Kwami Agbeko, Patrícia Szokol: A Generalization of the Hyers -Ulam-Aoki Type Stability of Some Banach Lattice -Valued Functional Equation, EXTRACTA MATH 33: (1) pp. 1-10., 2018
Events of the project
2017-02-27 07:44:48
Kutatóhely váltás
A kutatás helye megváltozott. Korábbi kutatóhely: TTK Analízis Tanszék (Debreceni Egyetem), Új kutatóhely: IK Alkalmazott Matematika és Valószínűségszámítás Tanszék (Debreceni Egyetem).
