extremális vektorrendszerek, polarizációs problémák, sztochasztikus geometria, random konvex politópok
Keywords in English
extremal vector systems, polarization problems, stochastic geometry, random convex polytopes
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Geometry
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Starting date
2017-09-01
Closing date
2020-08-31
Funding (in million HUF)
15.217
FTE (full time equivalent)
2.10
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. Extremális vektorrendszerek és határalakzatok vizsgálata energia-minimalizálási, dualitási és analitikus módszerek segítségével. A pályázat célja egyrészt a már meglévő eredmények magasabb dimenziós esetre történő kiterjesztése, másrészt pedig új összefüggések keresése, a problémák mögött húzódó éles geometriai egyenlőtlenségek vizsgálata.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. A tight frame-ek vizsgálata energia-minimalizálási módszerekkel. Polarizációs típusú problémák vizsgálata. Egyenlő szögű vektorrendszerek kutatása, a komplex esetben az optimális korlát bizonyítása. Véletlen konvex politópok határalakzatának meghatározása. Konvex láncok maximális hosszának pontos aszimptotikája, illetve magasabb rendű konvexitás vizsgálata,
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! A tight frame-eket alkalmazzák a gyakorlatban CT fevételek készítésekor, a szükséges felvételi irányok meghatározásánál. Konvex határalakzatok pedig detektorok tervezésénél lehetnek hasznosak.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A mindennapi életben is felmerülő geometriai, optimalizálási problémák vizsgálata elméleti módszerekkel. Az optimális vektorrendszerek meghatározása fontos szerephez jut különféle tervezési problémáknál, pl. a CT berendezések tervezésénél.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. Investigation of extremal vector systems and limit shapes with the aid of energy minimization, duality and analytical methods. The main goal of the proposal is to extend the existing results to high dimensional settings as well as to search for new connections, and the study of the underlying sharp geometric inequalities.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. Research of tight frames with ebergy minimization methods. Study of polarization-type problems. Research of equiangular vector systems, obtaining the optimal bound in the complex case. Determination of the limit shape of random convex polytopes. Exact asymptotics of the length of longest convex chains, and study of higher order convexity.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. TIght frames are applied in industry at the design of CT machines, in order to determine the necessary image directions. Convex limit shapes may be useful at the design of detectors.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. Studying geometric optimization problems also arising in everyday life with theoretical methods. Optimal vector systems prove to be extremely useful at several desgin problems, for example in computer tomography.
Final report
Results in Hungarian
A kutató sikerrel vizsgált olyan energiaminimalizálási illetve polarizációs problémákat, amelyeknek gyakorlati alkalmazásai is vannak a telekommunikáció területén. Megmutatta, hogy bizonyos, ilyen típusú problémák megoldásai pontosan az izotróp vektorrendszerek. Belátta, hogy a kérdés speciális esetei visszavezethetőek vektorrendszerek előjeles összegeinek vizsgálatára. A vonatkozó kérdések síkbeli eseteit teljesen megoldotta, míg a magas dimenziós esetekre aszimptotikusan éles eredményeket bizonyított. Véletlen ponthalmazokban előforduló monoton láncokat vizsgált, az így elhelyezkedő pontok maximális számára éles becslést adva. Az általa konstruált általánosítás a korábbi, híres eredményeket is magában foglalja. Új becslést adott a síkbeli, egységtávolság-mentes halmazok felső sűrűségére, ezzel megközelítve az Erdős által sejtett korlátot. Vizsgálta véges ponthalmazok konvex burok-folyamatát: magas dimenziós, egyenletesen elhelyezkedő ponthalmazok burokszámára adott aszimptotikusan éles alsó, illetve aszimptotikusan majdnem éles felső becsléseket. Ezen túl a legalább 3 dimenziós, véges rácsok burokszámára is új, nem-triviális becsléseket bizonyított.
Results in English
The Researcher succesfully studied energy-minimization and polarization-type problems which also have practical applications in the field of telecommunication. He showed that with respect to some problems in that category, isotropic vector systems are the unique optimizers. He proved that other cases are equivalent to studying signed sums of the vector systems. He completely solved the planar cases, and also gave asymptotically sharp estimates for the higher dimensional cases. He also studied subsets of finite, random point samples which satisfy some monotonicity criterion, and gave sharp estimate for the maximal number of points in such position. The general scheme constructed by him includes all previously known, famous cases. He gave an improved estimate for the density of planar sets not containing pairs of points at distance 1, getting tantalizingly close to the bound conjectured by Erdős. He also studied the convex layer process: he gave an asymptotically sharp lower bound, an an asymptotically almost sharp upper bound for the layer number of evenly distributed point sets. In addition, he also gave new, non-trivial estimates for the layer number of d-dimensional integer grids.
