 |
Algebraic methods for the application of differential equations
|
Help 
Print 
|
Here you can view and search the projects funded by NKFI since 2004
Back »
|
| |
Details of project |
|
|
| Identifier |
125739 |
| Type |
SNN |
| Principal investigator |
Tóth, János |
| Title in Hungarian |
Algebrai módszerek differenciálegyenletek alkalmazásához |
| Title in English |
Algebraic methods for the application of differential equations |
| Keywords in Hungarian |
Lie-algebra, számítógépes algebra, bifurkáció, invariánsok, kémiai reakciók, robotika |
| Keywords in English |
Lie algebra, computational algebra, bifurcation, invariants, chemical reactions, robotics |
| Discipline |
| Mathematics (Council of Physical Sciences) | 80 % | | Ortelius classification: Differential equations | | Material Science and Technology (chemistry) (Council of Physical Sciences) | 20 % |
|
| Panel |
Mathematics and Computing Science |
| Department or equivalent |
Department of Mathematical Analysis (Budapest University of Technology and Economics) |
| Participants |
Drexler, Dániel András
Gáspár, Vilmos
Ladics, Tamás
Lente, Gábor
Nagy, Ilona
Polcz, Péter
Szederkényi, Gábor
Szlobodnyik, Gergely
|
| Starting date |
2017-12-01 |
| Closing date |
2021-11-30 |
| Funding (in million HUF) |
31.999 |
| FTE (full time equivalent) |
13.00 |
| state |
closed project |
Summary in Hungarian A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
Kiterjesztjük a közönséges differenciálegyenletek kvalitatív elméletét lineáris algebrából, számítógépes kommutatív algebrából, nemasszociatív algebrából és gráfelméletből vett módszerekkel.
Kihasználjuk a nemasszociatív algebrák és a polinomiális differenciálegyenletek stacionárius pontjainak a kapcsolatát.
A háttérben megbúvó hálózati struktúra alapvetően befolyásolja a számos alkalmazásban megjelenő nemlineáris rendszerek dinamikus viselkedését; algoritmusokat fejlesztünk ennek tanulmányozására a rendszerhez rendelt irányított gráf struktúrájának analízisével.
Hatékony elméleti és algoritmikus módszereket dolgozunk ki periodikus megoldások bifurkációinak és dinamikus rendszerek invariáns felületeinek a vizsgálatára, Ljapunov-függvények, különböző típusú szimmetriák és integrálhatóság felhasználásával.
A trajektóriák viselkedésének megértésén túl analizáljuk nemlineáris differenciálegyenletekkel leírt rendszerek irányíthatóságát szigorúan pozitív bemenetekkel a sima vektormezők Lie-algebrájának segítségével.
A szóban forgó egyenletek numerikus megoldására kiterjesztjük az operátorszeletelés módszerét kettőről több részoperátorra oly módon, hogy a problémáról csak Lipschitz-folytonosságot feltételezünk.
Mért adatok használatakor becslési módszerekre van szükségünk. Ez bonyolult függvények (négyzetösszegek) minimalizálását jelenti többdimenziós térben, ezért megfelelő kezdeti becslés megadására szolgáló módszereket dolgozunk ki.
A kutatás során használt rendszermodellek különböző alkalmazási területekről származnak: elektromos hálózatok, reakciókinetika, biológiai rendszerek, közlekedési/energetikai hálózatok vagy kiber-fizikai (virtuális valóság) rendszerek.
Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
Hogyan jelenik meg egy polinomiális egyenlet stacionárius pontjának a struktúrája a hozzárendelt nemasszociatív algebrában?
Hogyan tudunk hasznos információkat kinyerni általános nemlineáris dinamikus modellekből a hálózatstruktúra felhasználásával speciális nemnegatív alakra történő transzformálással?
Hogyan vehetjük figyelembe a bemenet pozitivitását nemlineáris rendszerek esetén?
Milyen új nézőpontot tudunk létrehozni numerikus megoldósémák tanulmányozásánál hullámalakú iteráció segítségével?
Hozzájárulhatnak-e az eredmények Hilbert 16-ik problémájának megoldásához?
Hogyan minimalizálható a szeletelés hibája az időablak megfelelő méretének a megválasztásával? Hogyan határozhatjuk meg a paraméterek ideális kezdeti értékét, ha a közönséges differenciálegyenlet jobboldala lineáris a paraméterekben?
Dinamikus rendszerek irányíthatósága alapvető kérdés számos műszaki területen, mégis az általános irányíthatóság vizsgálatára szolgáló módszerek csak olyankor alkalmazhatók, ha a rendszer bemenetei tetszőleges értéket felvehetnek. Sok esetben a rendszer bemenete csak pozitív lehet (ilyen a legtöbb biológiai és kémiai rendszer), ezért ezek a módszerek nem alkalmazhatók.
Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
A kutatásunk legelméletibb része is szorosan kapcsolódik az alkalmazásokhoz.
Nemlineáris közönséges differenciálegyenletek tanulmányozásánál az első kérdés a stacionárius pontok megtalálása és jellemzése, mint a pozitivitás, stabilitás, egyediség, stb.
A parametrikusan bizonytalan rendszerekhez tartozó összes lehetséges gráfstruktúra megtalálása várhatóan nagy előrelépést jelent majd. A legjobb tudomásunk szerint, az összes lehetséges gráfstruktúrát eddig nem írták le. Az elért eredmények hozzájárulhatnak annak a megfigyelt jelenségnek a megértéséhez, hogy a rendszerek robusztussága a hálózathoz (modell struktúrához) köthető.
A határciklusok bifurkációinak tanulmányozása nem csak Hilbert 16-ik problémájának a megközelítéséhez elengedhetetlen, hanem az alkalmazások számára is, hiszen határciklusok írják le számos dinamikus folyamat oszcillációs viselkedését. A periodikus megoldások bifurkációi bizonyos feltételek mellett kaotikus viselkedéshez vezethetnek, ami a rendszer instabilitását okozza.
A kutatás eredményeit felhasználhatjuk olyan nemlineáris rendszerek irányíthatóságának vizsgálatára, amelyek bemenete nem lehet negatív. Ezek az eredmények felhasználhatók lesznek biológiai modellek analízisénél, az élettani szabályozások területén (például mesterséges hasnyálmirigy), és kémiai reakciók analízisénél, reaktorok tervezésénél.
Az eredmények hozzájárulnak a differenciálegyenletek numerikus megoldásához használt operátorszeletelés módszerének tökéletesítéséhez, főleg reakció-diffúzió-advekció modellekhez kapcsolódó problémák esetén. Reakciódiffúzió-egyenletek paramétereinek hatékony becslése fontos minden reakció kinetikához kapcsolódó probléma esetén.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
A tudomány mára már olyan szintre jutott, hogy képesek vagyunk megérteni és irányítani nagyméretű, bonyolult rendszereket (amilyenek az anyagcsere részfolyamatai, a nagy energetikai hálózatok, az atmoszféra kémiája, a motorokban végbemenő égési folyamatok, légszennyezés, kémiai vegyületek hatása a klímaváltozásra, gyógyszerek hatásmechanizmusa, egészségügyi alkalmazások, mint például terápiatervezés, stb.).
Újfajta módszereket fejlesztünk ki ilyen jellegű vizsgálatok elvégzésére, ezáltal hozzájárulunk ilyen rendszerek modellezéséhez, működtetéséhez, tervezéséhez, irányításához, és viselkedésük megjóslásához.
| Summary Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
We extend the qualitative theory of ODEs using methods from linear algebra, Lie-algebra, computational commutative algebra, nonassociative algebras and graph theory.
The relationship between nonassociative algebras and stationary points of (homogenenous second degree) polynomial differential equations will be utilized.
The underlying network structure fundamentally influences the dynamical behaviour of nonlinear system models. Computational methods will be developed to study the operation of such models with an associated directed graph structure.
Efficient theoretical and computational approaches will be developed for studying bifurcations of periodic solutions and invariant surfaces of dynamical systems, with the application of Lyapunov functions, different kinds of symmetries and integrability.
Beyond understanding the behaviour of trajectories we analyze the controllability of systems described by nonlinear differential equations with strictly positive input using the Lie-algebra of smooth vector fields.
A promising numerical method to solve the equations in question is operator splitting. Also, we extend the results on operator splitting from two to multiple suboperators assuming only Lipschitz continuity
Confrontation with measured data needs parameter estimation methods. As this means the minimization in multidimensional space of complicated functions (sum of squares) we provide a method to give an initial estimate automatically.
The models can be applied in different fields such as electrical networks, process engineering, systems biology, chemical reaction kinetics, transportation/energy networks or even cyber-physical systems.
What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
How is the structure of a stationary point of a polynomial equation reflected in the associated nonassociative algebra?
How can we extract useful system information about general nonlinear dynamical models using their network structure obtained through the transformation into special nonnegative forms?
How to take into consideration positivity of the input in nonlinear systems?
What kind of new viewpoint may be provided by waveform iteration in the study of numerical schemes?
Can we add, as a by product, results to the solution of Hilbert's 16th problem?
How to minimize the splitting error via selection of the appropriate time-window size? How to calculate an initial estimate of the parameters in case when the right hand side of the ODE is linear in the parameters?
Controllability of dynamical systems is a fundamental issue in numerous fields of engineering, however the general controllability analysis techniques can only be applied if the input of the system can have arbitrary values. In many cases, the input of the system can not be negative (like in the case of most biological and chemical systems), thus these methods can not be applied.
What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
Even our most theoretical parts of research are closely related to applications.
When studying nonlinear ODEs the first question is to find the and characterize the stationary points, as to their positivity, stability, uniqueness etc.
The determination of all possible graph structures of parametrically uncertain systems is expected to be a major improvement. To the best of our knowledge, the analysis of the whole set of possible graph structures has not been performed previously. The results obtained here may contribute to the understanding of the network basis for robustness that was experimentally found.
The study of limit cycle bifurcations is extremely important not only as an approach to Hilbert’s XVIth problem, but also for applications since limit cycles describe the oscillating regimes of various dynamical processes. Bifurcation of periodic solutions under some conditions can yield chaotic behavior, and thus, cause high instability of the system.
The results of the research will be utilized for the controllability analysis of nonlinear dynamics systems whose inputs can not be negative. These results will be applicable for the analysis of biological models, in the field of physiological control (e.g. artificial pancreas), and the analysis of chemical reactions, design of reactors.
The results will contribute to the improvement of operator splitting in the solution of differential equations especially for problems related to reaction-diffusion-advection models. The efficient estimation of parameters of reaction-diffusion equations is important for all the problems related to reaction kinetics.
Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
The development of science today reached a level which makes it possible to understand and control large complex systems (such as metabolic systems, energy networks, chemistry of the atmosphere, combustion in engines, air pollution transport, the effect of chemicals on climate changes, pharmacology, biomedical applications such as the design of therapies, etc.). We develop novel methods for such investigations and thereby contribute to the modeling, operation, planning, prediction and control of such systems.
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
List of publications |
|
|
| Polcz, P., Csutak, B., and Szederkényi, G.: Reconstruction of epidemiological data in Hungary using stochastic model predictive control., Applied Sciences, accepted., 2022 | | Polcz, P., Péni, T., Szederkényi, G.: Reduced linear fractional representation ofnonlinear systems for stability analysis, IFAC Papers Online 51(2), 37-42, 2018 | | Polcz, P.: Computational analysis of nonlinear uncertain systems, Pázmány Péter Catholic University, 2020 | | Plocz, P., Szederkényi, G., and Kulcsár, B.: Observer based dynamic output designfor linear time-invariant systems ensuring stable zero dynamics, Jedlik Laboratories Reports VI(1), 3-14, 2018 | | Polcz, P., Kulcsár, B., Péni, T. and Szederkényi, G.: Passivity anaylsis of rational LPV systems using Finsler's lemma, IEEE 58th Conference on Decision and Control, Nice, France, Dec. 2019, 3793-3798, 2019 | | Drexler, D. A., Ferenci, T., Lovrics, A., and Kovács, L.: Tumor dynamics modeling based on formal reaction kinetics, Acta Polytechnica Hungarica 16(10), 31-44, 2019 | | Szabó, R.; Lente, G.: A Comparison of the Stochastic and Deterministic Approaches in a Nucleation−Growth Type Model of Nanoparticle Formation, Chem. Mater. , 33, 5430−5436, 2021 | | Polcz, P., Péni, T., Szederkényi, G.: Improved algorithm for computing the domain of attraction of rational nonlinear systems, European Journal of Control, Elsevier BV, 39, 53–67., 2018 | | Vághy, M. A., Szederkényi, G.: Realization of Linearly Conjugate and Uncertain Kinetic Systems with Time Delay, MATCH 85 (3), 635-668, 2021 | | Gáspár, V.; Tóth, J.: Reaction extent or advancement of the reaction: A new general definition, arxive, 2021 | | Puskás, M., Drexler D. A.: Parameter identification of a tumor model using artificial neural networks, SAMI, 2021 | | Péceli, B., Drexler, D. A., Kovács, L.: Optimal scheduling of low-dose metronomic chemotherapy: an in-silico analysis, IEEE 15th International Conference of System of Systems Engineering (SoSE), 2020 | | Drexler, D. A., Kovács, L.: Robust positive control of a nonlinear tumor growth model, IEEE, 2021 | | Polcz, P., Szederkényi, G.: Lyapunov function computation for nonlinear systems through dynamical embedding – A case study, ECC, 2021 | | Polcz, P.:: Computational analysis of nonlinear uncertain systems, Pázmány Péter Catholic University, 2020 | | Tóth, J.; Nagy, A. L.; Papp, D.: Reaction Kinetics: Exercises, Programs and Theorems. Mathematica for Deterministic and Stochastic Kinetics, Springer Verlag, New York, 2018 | | Polcz, P., Kulcsár, B., Péni, T., and Szederkényi, G.,: Passivity analysis of rational LPV systems using Finsler's lemma systems ensuring stable zero dynamics, IEEE 58th Conference onDecision and Control, Nice, France, Dec. 2019, 3793-3798, 2019 | | Fercec, B.; Nagy, I.; Romanovski, V.; Szederkényi, G.; Tóth, J.: Limit Cycles in a Two-Species Reaction, Journal of Nonlinear Modeling and Analysis 1 (3), 283–300., 2019 | | Polcz, P., Péni, T,, and Szederkényi, G.: Computational method for estimating the domain of attraction of discrete-time uncertain rational systems., European Journal of Control 49, 68-83., 2019 | | Puskás, M., Drexler D. A.: Parameter identification of a tumor model using artificial neural networks, 2021 IEEE 19th World Symposium on Applied Machine Intelligence and Informatics (SAMI), 443-448, 2021 | | Drexler, D. A., Kovács, L.: Optimization of low dose metronomic therapy based on pharmacological parameters, IFAC-PapersOnLine, 54(15), 221–226, 2021 | | Drexler, D. A., Kovács, L.: Robust positive control of a nonlinear tumor growth model, IFAC-PapersOnLine Volume 53 (2), 16239-16244, 2020 | | Polcz, P., Szederkényi, G.: Lyapunov function computation for nonlinear systems through dynamical embedding – A case study, ECC, 1869-1874, 10.23919/ECC54610.2021.9655082, 2021 | | Ladics T.: Szorzatalakú szeletelés kezdeti érték problémák megoldásában, Kutatás és innováció 2021 – GAMF Közlemények tanulmánykötete 413-418, 2021 | | Nagy Ilona: Qualitative investigations of kinetic differential equations, Budapest University of Technology and Economics, 2021 | | Tóth J.: Borsószemek a falról, Alkalmazott Matematikai Lapok 38, 19-25, 2021 | | Drexler, D. A.; Nagy, I.; Romanovsky, V.; Tóth, J.; Kovács, L.: Qualitative analysis of a closed-loop model of tumor growth control, Proc. 18th IEEE Intl Symp. on Computational Intelligence and Informatics,, 2018 | | Tóth, J.; Nagy, A. L.; Papp, D.: Reaction Kinetics: Exercises, Programs and Theorems. Mathematica for Deterministic and Stochastic Kinetics, Springer Verlag, New York, 2018 | | D. A. Drexler, J. Sápi, L. Kovács: H-infty control of nonlinear systems with positive input with application to antiangiogenic therapy, Proceedings of the 9th IFAC Symposium on Robust Control Design (ROCOND'18) and 2nd IFAC Workshop on Linear Parameter Varying Systems (LPVS'18), 2018 | | Dániel András Drexler, Eszter Virágh, János Tóth:: Controllability and reachability of reactions with tem¬perature and inflow control, Fuel 211(1), 906–911, 2018 | | Maša Dukarić, Hassan Errami, Roman Jerala, Tina Lebar, Valery G. Romanovski, János Tóth, Andreas Weber: On three genetic repressilator topologies, Reaction Kinetics, Mechanisms and Catalysis, 2018 | | Polcz, Péter, Péni, T., Szederkényi, Gábor: Improved algorithm for computing the domain of attraction of rational nonlinear systems, European Journal of Control, Elsevier BV, 39, 53–67., 2018 | | P. Polcz, T. Péni, and G. Szederkényi: Reduced fractional representation of nonlinear systems for stability analysis, IFAC PapersOnLine 51-2,37–42, 2018 | | Krisztina Szalisznyó; David N Silverstein, János Tóth: Dynamics in schizo-obsessive spectrum disorders: a computational approach, közlésre elküldve, 2019 | | Maša Dukarić, Hassan Errami, Roman Jerala, Tina Lebar, Valery G. Romanovski, János Tóth, Andreas Weber: On three genetic repressilator topologies, Reaction Kinetics, Mechanisms and Catalysis 126 (1) (2019), 3–30., 2019 | | Szalisznyó, K.; Silverstein, D. N.; Tóth, J.: Dynamics in schizo-obsessive spectrum disorders: a computational approach, Journal of Theoretical Biology, 473 (2019), 80–94., 2019 | | Gustavo, M. F.: Kinetic modelling of enzymatic resolution in supercritical carbon dioxide, Budapest University of Technology and Economics, 2019 | | Craciun, Gh., Szederkényi, G., Johnston, M. D., Tonello, E., Tóth, J.; Yu, P.: Realizations of kinetic differential equations, Mathematical Biosciences and Engineering, 2020 | | Fercec, B.; Nagy, I.; Romanovski, V.; Szederkényi, G.; Tóth, J.: Limit Cycles in a Two-Species Reaction, Journal of Nonlinear Modeling and Analysis 1 (3) (2019), 283–300., 2019 | | Gustavo, M., Tóth, J.: Comparing computational speed of MATLAB and Mathematica across a set of benchmark number crunching problems, Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 49 (2019) 219-227, 2019 | | Nagy, T., Tóth, J., Ladics, T.: Automatic kinetic model generation and selection based on concentration versus time curves, International Journal of Chemical Kinetics, 52(2), 109-123., 2020 | | Tóth, J., Nagy, T., Ladics, T.: Automatic model selection, automatic initial estimates, Jedlik Laboratories Reports 7(1) (2019), 11–12., 2019 | | Tóth J.: Borsószemek a falról, Alkalmazott Matematikai Lapok (benyújtva), 2020 | | Tóth J.; Simon L. P.: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, 3. átdolgozott kiadás, TYPOTEX Elektronikus Kiadó, Budapest, 2019 (nyomdában)., 2020 | | Nagy I.: Qualitative investigations of kinetic differential equations (submitted), Budapest University of Technology and Economics, 2019 | | Szlobodnyik, G ; Szederkényi, G.: Reachability Analysis of Low-Order Discrete State Reaction Networks Obeying Conservation Laws., COMPLEXITY 2019 pp. 1-13., 2019 | | Szlobodnyik, G ; Szederkényi, G ; Johnston, M D.: Reachability Analysis of Subconservative Discrete Chemical Reaction Networks., MATCH-COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL AND IN COMPUTER CHEMISTRY 81 : 3 pp. 705-736 (2019), 2019 | | Polcz, P ; Péni, T ; Szederkényi, G.: Computational method for estimating the domain of attraction of discrete-time uncertain rational systems., EUROPEAN JOURNAL OF CONTROL 49 pp. 68-83. , 13 p. (2019), 2019 | | Drexler, D. A., Sápi, J., Kovács, L.: H-infty control of nonlinear systems with positive input with application to antiangiogenic therapy, Proceedings of the 9th IFAC Symposium on Robust Control Design (ROCOND'18) and 2nd IFAC Workshop on Linear Parameter Varying Systems (LPVS'18), 2018 | | Drexler, D. A., Virágh, E., Tóth, J.: Controllability and reachability of reactions with temperature and inflow control, Fuel 211(1), 906–911, 2018 | | Dukarić, M., Errami, H., Jerala, R., Lebar, T., Romanovski, V. G., Tóth, J., Weber, A.: On three genetic repressilator topologies, Reaction Kinetics, Mechanisms and Catalysis 126 (1) (2019), 3–30., 2019 | | Polcz, P., Péni, T., Szederkényi, G.: Improved algorithm for computing the domain of attraction of rational nonlinear systems, European Journal of Control, Elsevier BV, 39, 53–67., 2018 | | Polcz, P., Péni, T., Szederkényi, G.: Reduced fractional representation of nonlinear systems for stability analysis, IFAC PapersOnLine 51-2,37–42, 2018 | | Szalisznyó, K.; Silverstein, D. N.; Tóth, J.: Dynamics in schizo-obsessive spectrum disorders: a computational approach, Journal of Theoretical Biology, 473, 80–94., 2019 | | Craciun, Gh., Szederkényi, G., Johnston, M. D., Tonello, E., Tóth, J.; Yu, P.: Realizations of kinetic differential equations, Mathematical Biosciences and Engineering 17 (1), 862-892, 2020 | | Fercec, B.; Nagy, I.; Romanovski, V.; Szederkényi, G.; Tóth, J.: Limit Cycles in a Two-Species Reaction, Journal of Nonlinear Modeling and Analysis 1 (3), 283–300., 2019 | | Szlobodnyik, G ; Szederkényi, G ; Johnston, M D.: Reachability Analysis of Subconservative Discrete Chemical Reaction Networks., MATCH-COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL AND IN COMPUTER CHEMISTRY 81(3), 705-736, 2019 | | Polcz, P ; Péni, T ; Szederkényi, G.: Computational method for estimating the domain of attraction of discrete-time uncertain rational systems., European Journal of Control 49, 68-83., 2019 | | Gustavo, M.F., Székely, E., Tóth, J.: Kinetic Modeling of a Consecutive Enzyme-Catalyzed Enantioselective Reaction in Supercritical Media, ACS Omega 5 (41), 26795-26806, 2020 | | Nagy, I., Romanovski, V. G., Tóth, J.: Two Nested Limit Cycles in Two-Species Reactions, Mathematics 8 (10, 1658), 16 pages, 2020 | | Shavarani, M. M., Tóth, J., Vizvári, B.: How to Generate Species with Positive Concentrations for All Positive Times?, MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 84 (1), 29-56, 2020 | | Tóth, J., Simon, L. P.: Differenciálegyenletek (Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba), 3. javított kiadás, TYPOTEX, Budapest, 2020 | | Vághy, M. A., Szederkényi, G.: Realization of Linearly Conjugate and Uncertain Kinetic Systems with Time Delay, 85 (3), 635-668, 2021 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
