 |
Functional inequalities and elliptic PDEs: the influence of curvature
|
Help 
Print 
|
Here you can view and search the projects funded by NKFI since 2004
Back »
|
| |
Details of project |
|
|
| Identifier |
127926 |
| Type |
K |
| Principal investigator |
Kristály, Alexandru |
| Title in Hungarian |
Funkcionál-egyenlőtlenségek és elliptikus parciális differenciálegyenletek: a görbület hatása |
| Title in English |
Functional inequalities and elliptic PDEs: the influence of curvature |
| Keywords in Hungarian |
funkcionál-egyenlőtlenségek, variációs problémák, görbület, Riemann és Finsler geometria, Heisenberg csoportok, parciális differenciálegyenletek |
| Keywords in English |
functional inequalities, variational problems, curvature, Riemannian and Finsler geometry, Heisenberg groups, partial differential equations |
| Discipline |
| Mathematics (Council of Physical Sciences) | 100 % | | Ortelius classification: Differential equations |
|
| Panel |
Mathematics and Computing Science |
| Department or equivalent |
Institut of Applied Mathematics (Óbuda University) |
| Participants |
Farkas, Csaba
Mester, Ágnes
|
| Starting date |
2018-10-01 |
| Closing date |
2022-09-30 |
| Funding (in million HUF) |
9.912 |
| FTE (full time equivalent) |
6.40 |
| state |
closed project |
Summary in Hungarian A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
A jelen kutatás elsőrendű célkitűzését geometriai és funkcionál-egyenlőtlenségek tanulmányozása képezi görbült tereken, valamint ezek alkalmazása elliptikus parciális differenciálegyenletek (PDEk) elméletében. Célunk olyan kvantitatív és kvalitatív eredmények igazolása, melyekben a nem-Eukleideszi struktúrák görbületi hatása megjelenik.
Th. Aubin által kezdeményezett AB-program révén ismert, hogy teljes Riemann sokaságokon lévő éles Szoboljev-típusú egyenlőtlenségek érvényessége lényegesen függ a görbülettől. Tíz évvel ezelőtt, J. Lott, K.T. Sturm és C. Villani (2010-ben Fields érmet nyert) kiterjesztették az alulról korlátos Ricci-görbületű Riemann-sokaságok elméletét metrikus mértékterekre, bevezetve a híres görbület-dimenzió (CD) fogalmat. Egy igen nagy kihívást jelentő problémakör fogalmazódott meg, mely funkcionál/Szoboljev-egyenlőtlenségek érvényességének vizsgálatát tűzte ki célul Lott-Sturm-Villani értelemben görbült CD-tereken. Ennek megfelelően, kutatócsoportunk célja éles Szoboljev-típusú funkcionál-egyenlőtlenségek tanulmányozása nemnegatívan görbült Lott-Villani-Sturm-féle CD-tereken, valamint nempozitívan görbült Aleksandrov/Busemann tereken.
Ezek a funkcionál-egyenlőtlenségek nem-Eukleidészi tereken értelmezett elliptikus PDEk megoldásában lesznek kiaknázva, melyeket különböző variációs módszerekkel fogunk vizsgálni. A vizsgálat során ezen struktúrákon értelmezett Szoboljev-terek mélyebb megismerése szükségeltetik, ahol bizonyos csoportelméleti ismeretek tűnnek ígéretes megközelítésnek.
Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
Általános megfogalmazásában, a pályázat alapkérdését görbült tereken megfogalmazott funkcionál-egyenlőtlenségek vizsgálata képezi, újszerű alkalmazásokat nyújtva elliptikus PDEk elméletében is. Sajátosabban, a következő kérdéseket tanulmányozzuk.
A) Éles funkcionál-egyenlőtlenségek vizsgálata/igazolása nempozitívan görbült tereken (Hadamard-sokaságokon, vagy Aleksandrov/Busemann tereken), valamint nemnegatívan görbült tereken (Lott-Sturm-Villani-féle CD-tereken). Az első esetben éles Szoboljev-egyenlőtlenségek fennállása várható, míg a nemnegatívan görbült terek esetén bizonyos topologikus/homotopikus rigiditási eredményekre számítunk.
B) Riemann-, Finsler- és sub-Riemann-sokaságokon értelmezett elliptikus PDEk vizsgálata. Ennél a problémakörnél az említett nem-Eukleidészi struktúrákon értelmezett Szoboljev-terek tulajdonságainak mélyebb megértése szükségeltetik, melyben egy járható útnak bizonyos csoportelméleti ismeretek bizonyulnak (kompaktitási problémák kezelésére).
Összegezve, az alapvető célunk egy újszerű kapocs kiépítése funkcionál-egyenlőtlenségek és elliptikus PDEk, variációs módszerek, geometriai analízis vagy akár csoportelméleti módszerek között.
Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
Kutatási pályázatunk jelentősége abban rejlik, hogy hídat képezünk funkcionál/geometriai-egyenlőtlenségek, elliptikus PDEk, mértékelmélet, variációszámítás, geometriai analízis, valamint csoportelmélet között. Sajátosan, célunk olyan kiváló eredmények elérése a Geometriai Analízisben, melyek közvetlen kapcsolatban állnak a Lott, Sturm és Villani által elindított metrikus mértékterek elméletével. Az alkalmazni kívánt eszköztár sokszínűsége (a PDEk-től a geometrián át a csoportelméletig) jelenti a pályázatunk valódi innovatív erejét. Éppen ezért, látszólag egymástól nagyon távol álló módszereket fogunk használni, annak érdekében, hogy a mély problémák hátterében húzódó nem várt jelenségeket feltárhassuk (izoperimetrikus egyenlőtlenségek, éles Szoboljev-típusú egyenlőtlenségek, stb).
Általában azon kutatók, akik ebben a témakörben dolgoznak, az egészséges versenyen túlmenően, inkább partnereknek tekintendőek, mintsem vetélytársaknak. Egy-egy konferencia vagy workshop alkalmával az elért eredményeket ill. ötleteket megosztjuk kollégáinkkal. Az ötletek/eredmények megvitatása arra serkent bennünket, hogy egyre nehezebb és nehezebb problémákat támadjunk meg. Mi több, abban is erősen hiszünk, hogy különböző területeken dolgozó matematikusokkal való kapcsolattartás igen-igen fontos. Erre egy jó példa, hogy a csoportelméletben dolgozó matematikusoktól egy olyan ötlet eredeztethető, amely segítségével nem-lineáris PDEk tanulmányozása vált lehetővé szimmetrizációs technikával (Rubik kocka effektus).
Egy másik jelentős hozadéka a jelen kutatási pályázatnak egy versenyképes "Geometriai és Variációs Analízis" kutatócsoport kialakítása lehet. Az alapgondolat az, hogy bevonjunk tehetséges fiatalokat, akik hajlandóak a pályázatban leírt problémákon gondolkozni/dolgozni, ötvözve a meglévő ismereteiket új innovatív módszerekkel nemszokványos módon.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
Implicit módon, mindennapi életünket átszövik a variációszámítás alapelvei. Emberi felépítésünkből kiindulva, szeretnénk maximalizálni a nyereséget egy minimális kiadás illetve befektetés révén. Erre egy nagyon egyszerű hétköznapi példa az, amikor a "legenergiamentesebb" utat választjuk egyik pontból eljutni a másikba. Egy másik igen régi probléma az ún. Dido-feladat (izoperimetrikus probléma), ahol meg kell keresni adott kerületű tartományok közül a legnagyobb területűt. Mindezen problémák átfogalmazhatóak az ún. geometriai/funkcionál-egyenlőtlenségek formájába. Megjegyzendő, hogy különböző tényezők befolyásolják ezen variációs feladatokat, mint például a minket körülvevő tér geometriája, külső erők hatása vagy akár a gravitáció jelenléte. Ezen nem-lineáris jelenségek olyan komplex matematikai eszköztár kialakulását tették lehetővé, melyek számos területen alkalmazhatóvá váltak, mint például az optimális szállítás, különböző energia funkcionálok minimalizációja, gazdasági egyensúly megtalálása, stb.
Pályázatunk célkitűzése abban rejlik, hogy újszerű funkcionál–egyenlőtlenségeket igazoljunk, valamint ezeket hatékonyan alkalmazzuk görbült tereken értelmezett elliptikus PDEk elméletében. Annak érdekében, hogy a tér görbületi jellegét tudjuk kezelni, mély Riemann-Finsler és szub-Riemann geometriai eredményeket fogunk felhasználni. Az alkalmazni kívánt eszköztár sokszínűsége (a PDEk-től a geometrián át a csoportelméletig) jelenti a pályázatunk valódi erejét. Célunk, hogy áttörő eredményeket igazoljunk a kutatási időszak során a J. Lott, K.T. Sturm és a Fields-díjas C. Villani által elindított elmélet keretein belül.
| Summary Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
The primordial aim of the present proposal is to establish new functional inequalities on curved spaces and to show their applicability in the theory of elliptic partial differential equations (shortly, elliptic PDEs). We intend to prove fine quantitative and qualitative results where the curvature plays a central role in various non-Euclidean settings.
Starting with the so-called AB-program -- initiated by Th. Aubin in the seventies-- we know that the validity of sharp Sobolev-type inequalities on complete Riemannian manifolds deeply depends on the curvature. Ten years ago, J. Lott, K.T. Sturm and C. Villani (2010 Fields medalist) extended the geometry of Riemannian manifolds with Ricci curvature bounded from below to metric measure spaces, by introducing the famous curvature-dimension (CD) condition. It became a challenging problem to study the validity/behavior of functional/Sobolev-type inequalities on metric measure spaces curved in the sense of Lott-Sturm-Villani. Accordingly, we are interested to study sharp Sobolev-type functional inequalities both on CD-spaces (with nonnegative curvature bound) and on nonpositively curved metric spaces (on Hadamard manifolds or more generally, on Aleksandrov/Busemann spaces). These functional inequalities will be applied to solve various elliptic PDEs on non-Euclidean structures via variational methods. In the latter case a deeper understanding of the structure of Sobolev spaces is needed, where certain group-theoretical arguments seem to help our investigations.
We shall use a diversity of arguments from the calculus of variations, Riemann/Finsler geometry, Heisenberg-type groups, measure theory and group theory.
What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
In a generic formulation, the main question of the present proposal is to establish functional inequalities on curved spaces, providing also some novel applications of such inequalities in elliptic PDEs. In a more particular formulation, the following questions will be studied.
A) Prove sharp functional inequalities on nonpositively (Hadamard manifolds, or more generally, on metric spaces curved in the sense of Aleksandrov/Busemann) and on nonnegatively curved spaces (in the sense of Lott-Sturm-Villani). Roughly speaking, in the former case, we anticipate the validity of sharp Sobolev-type inequalities, while in the latter case some topological/homotopical rigidity results are expected.
B) Study elliptic PDEs on Riemannian, Finsler and sub-Riemannian manifolds. In this setting, a special attention should be paid to develop fine properties of Sobolev spaces defined over the aforementioned non-Euclidean structures. Some group-theoretical arguments seem to provide satisfactory answers to recover certain non-compactness issues.
Summing up, our objective is to build a novel bridge between functional inequalities, elliptic PDEs, variational analysis, geometric analysis or even group theoretical arguments.
What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
The significance of the present research is -hopefully-, the construction of a bridge between functional/geometric inequalities, elliptic PDEs, measure theory, variational analysis, geometric analysis, and group theory. In particular, our aim is to obtain further significant results within the mainstream research direction of Geometric Analysis by studying the geometry of metric measure spaces initiated by Lott, Sturm and Villani. The real strength of this proposal lies in the diversity of the research arguments applied in the study of these problems. We shall use methods from seemingly far areas of mathematics in order to discover/describe unexpected phenomena behind problems whose formulations are quite simple at first glance (as isoperimetric-type inequalities, sharp Sobolev-type inequalities, etc).
People working in our area of research are partners and motivational factors rather than real competitors. We usually interchange results/ideas during workshops and conferences, by motivating each other to produce/solve more and more challenging problems. In addition, we strongly believe that interaction of researchers from different areas of mathematics is beneficial. For instance, it turned out that unexpected ideas from people working in group theory gave us the idea to solve a nonlinear PDE by using symmetrization arguments coming from the Rubik-cube.
Another significant byproduct of the project is the establishment of a competitive research group in Geometric and Variational Analysis. The idea is to enroll talented, young people who are willing to work in the aforementioned research fields, by combining existing knowledge and elaborating further innovative methods in an unusual way.
Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
Although not explicitly stated, our everyday life is pervaded by variational analysis: we always want to maximize our outcomes/profits/sensations by using as minimal energy/investment as possible. As a simple example, when we want to reach one point from another, we choose the shortest possible way to do so. The famous Dido’s isoperimetric problem is another relevant example, where the problem was to find the domain bounded by a line which has the maximum area for a given perimeter. All these problems can be formulated as geometric and/or functional inequalities. Note that these variational problems could be influenced by the geometry of the ambient space, present in the form of certain external force as the gravitational attraction or the physical shape of the space we are living in. These nonlinear phenomena lead to rigorous mathematical problems with various applications in optimal transportation, minimization of energy functionals, equilibria in economical problems, etc.
Our proposal offers a thorough development of these challenging functional inequalities with applications in elliptic PDEs on curved spaces. In order to handle the curved character of these phenomena, we apply notions and results from Riemannian/Finsler and sub-Riemannian geometry. One of the real strengths of the present project lies in the variety of the methods applied in the study of these problems, by exploring elements from the calculus of variations, non-Euclidean geometry, elliptic PDEs, and group theoretical arguments. Our aim is to obtain spectacular results within the mainstream research direction initiated by Lott, Sturm and Villani (2010 Fields medalist).
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
List of publications |
|
|
| Kristály Alexandru, Szakál Anikó: Interpolation between Brezis-Vázquez and Poincaré inequalities on nonnegatively curved spaces: sharpness and rigidities, JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, 266 (2019), no. 10, 6621–6646., 2019 | | Kristály Alexandru, Mester Ágnes: A bipolar Hardy inequality on Finsler manifolds, IEEE 13TH INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON APPLIED COMPUTATIONAL INTELLIGENCE AND INFORMATIC, pp. 308-312, 2019 | | Mester Agnes, Peter I Radu, Varga Csaba: Sufficient criteria for obtaining Hardy inequalities on Finsler manifolds, Mediterranean Journal of Mathematics, 2021 | | Farkas C, Kristaly A, Mester A: Compact Sobolev embeddings on non-compact manifolds via orbit expansions of isometry groups, CALC. VAR. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 60 (2021), no. 4, Paper No. 128, 31 pp, 2021 | | Kristály A, Shen Z, Yuan L, Zhao W: Nonlinear spectrums of Finsler manifolds, MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT, accepted, 2021. DOI: 10.1007/s00209-021-02767-x., 2021 | | Kajántó S, Kristály A: Unexpected behaviour of flag and S-curvatures on the interpolated Poincaré metric, JOURNAL OF GEOMETRIC ANALYSIS, 31 (2021), no. 10, 10246–10262, 2021 | | Farkas C, Winkert P: An existence result for singular Finsler double phase problems, J. DIFFERENTIAL EQUATIONS, 286 (2021), 455-473, 2021 | | Mester A, Kristaly A: Three isometrically equivalent models of the Finsler-Poincare disk, IEEE 15TH INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON APPLIED COMPUTATIONAL INTELLIGENCE AND INFORMATICS (SACI 2021) Pages: 403-407 DOI: 10.1109/SACI51354.2021.9465545, 2021 | | Kristaly Alexandru: Fundamental tones of clamped plates in nonpositively curved spaces, ADVANCES IN MATHEMATICS, 367 (2020), 107113, 39 pp, 2020 | | Huang Libing, Kristály Alexandru, Zhao Wei: Sharp uncertainty principles on general Finsler manifolds, TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 373 (2020), no. 11, 8127–8161, 2020 | | Kristály Alexandru, Mezei I. Ildiko, Szilák Karoly: Differential inclusions involving oscillatory terms, NONLINEAR ANALYSIS: THEORY METHODS & APPLICATIONS, 197 (2020), 111834, 21 pp, 2020 | | Faraci Francesca, Farkas Csaba: On a critical Kirchhoff-type problem, NONLINEAR ANALYSIS: THEORY METHODS & APPLICATIONS, 192 (2020), 111679, 14 pp., 2020 | | Costea N, Kristály A, Varga C: Variational and Monotonicity Methods in Nonsmooth Analysis, Springer/Birkhauser, Frontiers in Mathematics, 2021, 2021 | | Faraci Francesca, Farkas Csaba: On a critical Kirchhoff-type problem, Nonlinear Analysis: Theory Methods & Applications, 2020 | | Kristaly Alexandru: Fundamental tones of clamped plates in nonpositively curved spaces, Advances in Mathematics, 2020 | | Balogh Zoltan, Gutiérrez E Cristian, Kristály Alaexandru: Sobolev inequalities with jointly concave weights on convex cones, Proceedings of the London Mathematical Society, 2020 | | Huang Libing, Kristály Alexandru, Zhao Wei: Sharp uncertainty principles on general Finsler manifolds, Transactions of the American Mathematical Society, 2020 | | Kristály Alexandru: New features of the first eigenvalue on negatively curved spaces, Advances in Calculus of Variations, 2020 | | Kristály Alexandru, Mezei I. Ildiko, Szilák Karoly: Differential inclusions involving oscillatory terms, Nonlinear Analysis: Theory Methods & Applications, 2020 | | Kristály Alexandru, Szakál Anikó: Interpolation between Brezis-Vázquez and Poincaré inequalities on nonnegatively curved spaces: sharpness and rigidities, Journal of Differential Equations, 2019 | | Kristály Alexandru, Mester Ágnes: A bipolar Hardy inequality on Finsler manifolds, IEEE 13th International Symposium on Applied Computational Intelligence and Informatics, pp. 308-312, 2019 | | Faraci Francesca, Farkas Csaba: On a critical Kirchhoff-type problem, Preprint, 2019 | | Huang Libing, Kristály Alexandru, Zhao Wei: Sharp uncertainty principles on general Finsler manifolds, Preprint, 2019 | | Balogh Zoltan, Gutiérrez E Cristian, Kristály Alaexandru: Sobolev inequalities with jointly concave weights on convex cones, PROCEEDINGS OF THE LONDON MATHEMATICAL SOCIETY, 122 (2021), no. 4, 537–568, 2021 | | Farkas Csaba, Kristaly Alexandru, Mester Agnes: Compact Sobolev embeddings on non-compact manifolds via orbit expansions of isometry groups, CALCULUS OF VARIATIONS & PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 60 (2021), no. 4, Paper No. 128, 31 pp, 2021 | | Farkas Csaba, Winkert Patrick: An existence result for singular Finsler double phase problems, JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, 286 (2021), 455-473, 2021 | | Kajántó Sandor, Kristály Alexandru: Unexpected behaviour of flag and S-curvatures on the interpolated Poincaré metric, JOURNAL OF GEOMETRIC ANALYSIS, 31 (2021), no. 10, 10246–10262, 2021 | | Farkas Csaba, Fiscella Alessio, Winkert Patrick: Singular Finsler double phase problems with nonlinear boundary condition, ADVANCES IN NONLINEAR STUDIES, 21 (2021), no. 4, 809–825, 2021 | | Mester Agnes, Peter I Radu, Varga Csaba: Sufficient criteria for obtaining Hardy inequalities on Finsler manifolds, MEDITERRANEAN JOURNAL OF MATHEMATICS, 18 (2021), no. 2, Paper No. 76, 22 pp, 2021 | | Mester Agnes, Kristaly Alexandru: Three isometrically equivalent models of the Finsler-Poincare disk, IEEE 15TH INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON APPLIED COMPUTATIONAL INTELLIGENCE AND INFORMATICS (SACI 2021) Pages: 403-407 DOI: 10.1109/SACI51354.2021.9465545, 2021 | | Costea Nicusor, Kristály Alexandru, Varga Csaba: Variational and Monotonicity Methods in Nonsmooth Analysis, SPRINGER/Birkhauser, Frontiers in Mathematics, 2021, 2021 | | Kristály Alexandru: New features of the first eigenvalue on negatively curved spaces, ADVANCES IN CALCULUS OF VARIATIONS, 15 (2022), no. 3, 475–495, 2022 | | Kristály A, Shen Z, Yuan L, Zhao W: Nonlinear spectrums of Finsler manifolds, MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT, 300 (2022), no. 1, 81–123, 2022 | | Farkas Csaba, Fiscella Alessio, Winkert Patrick: On a class of critical double phase problems, JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS, 515 (2022), no. 2, 126420, 16 pp, 2022 | | Kristály Alexandru, Mester Ágnes, Mezei I. Ildiko: Sharp Morrey-Sobolev inequalities and eigenvalue problems on Riemannian- Finsler manifolds with nonnegative Ricci curvature, COMMUNICATIONS IN CONTEMPORARY MATHEMATICS, accepted, 2022, DOI:10.1142/S0219199722500638, 2022 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
