 |
Descriptive set theory and applications
|
Help 
Print 
|
Here you can view and search the projects funded by NKFI since 2004
Back »
|
| |
Details of project |
|
|
| Identifier |
128273 |
| Type |
PD |
| Principal investigator |
Kiss, Viktor |
| Title in Hungarian |
Leíró halmazelmélet és alkalmazásai |
| Title in English |
Descriptive set theory and applications |
| Keywords in Hungarian |
ekvivalencia-reláció, Baire függvény, Haar null, chip-firing játék, graphon |
| Keywords in English |
equivalence relation, Baire function, Haar null, chip-firing game, graphon |
| Discipline |
| Mathematics (Council of Physical Sciences) | 100 % | | Ortelius classification: Mathematical logic |
|
| Panel |
Mathematics and Computing Science |
| Department or equivalent |
Alfréd Rényi Institute of Mathematics |
| Starting date |
2018-09-01 |
| Closing date |
2021-08-31 |
| Funding (in million HUF) |
15.807 |
| FTE (full time equivalent) |
2.10 |
| state |
closed project |
Summary in Hungarian A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
Leíró halmazelméleti és kombinatorikai témában szeretnék kutatással foglalkozni. A leíró halmazelméleti témák közül egyrészt szeretném vizsgálni a Borel függvények bizonyos részosztályain definiált természetes rangokat. Többek között egy Elekes Mártonnal és H. Nobrega-val közös kutatást tervezek folytatni, melyben már megmutattuk, hogy egy Baire 1 függvényeket definiáló játékhoz természetesen definiált rang lényegében megegyezik a Kechris és Louveau által definiált rangokkal.
Továbbá szeretném folytatni homeomorfizmus- és automorfizmus-csoportok véletlen elemének a struktúrájának a Haar null halmazok szigma-ideálja szerinti vizsgálatát, mely ideál a Haar mérték szerint nullmértékű halmazok általánosítása nem feltétel lokálisan kompakt, lengyel csoportokon. Többek között U. Darji-val is együtt dolgoztam a téma kérdésein.
S. Soleckivel és J. Moora-ral folytatott együttműködést is tervezem folytatni, mely a jelenlegi egy éves Cornell Egyetemen töltött látogatásom alatt kezdődött. A cél idealisztikus ekvivalencia-relációk egy Kechris-Louveau kérdéssel kapcsolatos karakterizációja.
A gráfelméleti chip-firing játékkal kapcsolatban szeretném tovább folytatni a játék és gráf-limeszek kapcsolatának vizsgálatát. Egy szintén a Cornell Egyetemen, L. Levine-nel és Tóthmérész Lillával folytatott együttműködés keretében sikerült általánosítani a párhuzamos chip-firing játék fogalmait graphonokra, melyek segítségével sikerült belátnunk egy állítást Erdős-Rényi gráfokról.
A pályázat nemzetközi jelentősége látható az együttműködő külföldi szakemberek számából, és a már rangos nemzetközi újságokban megjelent publikációk számából.
Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
A rangfüggvényekkel kapcsolatos témában léteznek játékok, melyek magasabb Baire osztályokat karakterizálnak. Érdekes lenne ezen játékokra is természetes rangokat definiálni, és megnézni, hogy ezek a rangok egybeesnek-e az Elekessel és Vidnyánszky-val közös publikációban definiáltakkal.
A Haar null halmazok elmélete rengeteg nyitott kérdést tartalmaz. Nem ismert, hogy egy kompakt halmaz egy nem lokálisan kompakt, lengyel csoportban szükségszerűen Haar null-e. A témában benyújtott publikációim is tartalmaznak el nem döntött kérdéseket, a legérdekesebb a nem Haar null konjugáltosztályok karakterizációja a szeparábilis, végtelen dimenziós Hilbert-tér unitér transzformációinak csoportjában.
A Borel ekvivalencia-relációkkal kapcsolatban egy híres Kechris-Louveau kérdés a következő: Igaz-e, hogy egy Borel ekvivalencia-reláció pontosan akkor idealisztikus, ha egy specifikus, a Cantor-halmazon definiált ekvivalencia-reláció, E_1 nem ágyazható bele? Megpróbálom megválaszolni ezt a kérdést, illetve szeretném megvizsgálni egy speciális esetét, mely azt kérdezi, hogy pontosan akkor tehető lengyellé egy lengyel csoport Borel részcsoportja, ha E_1 nem ágyazható be a két csoport által meghatározott mellékosztály relációba.
Egy chip-kiosztás aktivitása azt méri, hogy a játék egy lépésében a csúcsok hányad része lő, mely mennyiség mindig létezik véges gráfon adott kiosztásokra. Azonban a létezés már nem automatikus graphonokon lévő kiosztások esetén. Emiatt érdekes lenne egy természetes tulajdonságot találni, mellyel minden graphonnak rendelkeznie kell ahhoz, hogy minden rajtuk értelmezett kiosztásnak legyen aktivitása.
Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
Baire 1 függvények a matematika több ágában, például a Banach terek elméletében is előjönnek. A függvényosztályokon definiált rangok segítenek a függvények komplexitásának meghatározásában, hiszen általában a kisebb rangú függvények egyszerűbbek, míg a nagyobb rangot kapóak bonyolultabbak.
Kechris és Louveau kérdése az idealisztikus ekvivalencia-relációkkal kapcsolatban egy központi kérdése a Borel ekvivalencia-relációk elméletének. Megválaszolni valószínűleg nehéz, de minden bizonnyal nagy nemzetközi visszhangot váltana ki.
A chip-firing játék több matematikán belüli és kívüli területtel is kapcsolatban van. Fizikusok használták a modellt homokkupacok és lavinák modellezésére. Tóthmérész Lillával közös publikációban sikerült felhasználnunk az elméletet, hogy egy algebrai geometriai eldöntési problémáról lássunk be NP-nehézséget. Lionel Levine-nel és Tóthmérész Lillával közösen nekünk sikerült először észrevennünk, hogy graphonok használatával lehet véges gráfokra vonatkozó állításokat belátni a játékkal kapcsolatban. Fontos lenne megvizsgálni, hogy milyen további eredmények bizonyíthatóak ezen bepillantás segítségével. Továbbá úgy gondolom, hogy a valós analízis és leíró halmazelméletbeli jártasságom segít kihasználni a témában rejlő potenciált.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
A folytonos (Baire 0) függvényekből kiindulva megkonstruálható a Baire 1 függvények osztálya, mely azon függvényekből áll, amik folytonosak pontonkénti limeszeként előállnak. Ez a módszer folytatható, hogy megkapjuk a Baire n+1 függvényeket a Baire n függvények pontonkénti limeszeként. A konstrukció lényege, hogy a legegyszerűbb, a folytonos függvénekből indultunk ki, és lépésenként haladva bonyolultabb és bonyolultabb osztályokat konstruáltunk. Ennek a konstrukciónak egy finomítását szeretném vizsgálni, melyben minden osztály, például a Baire 2 függvények osztálya tovább van partícionálva a benne lévő függvények komplexitása alapján.
Továbbá tervezek foglalkozni egy egyszerű játékkal, melyben véges sok csúcs közül bizonyos párok össze vannak kötve egymással, bizonyosak nem. Minden csúcson van kezdetben néhány korong, és egy lépésben egy csúcs átadhat minden szomszédjának egy-egy korongot, ha neki van ehhez elegendő mennyiségű korongja. Ezt az egyszerű játékot fizikusok arra használják, hogy modellezzék homokkupacok, lavinák viselkedését. Én algoritmikus és egyéb kérdéseket szeretnék megválaszolni a játékkal kapcsolatban, melyek a matematikus közösség számára érdekesek.
| Summary Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
I would like to conduct research in descriptive set theory and combinatorics. Concerning descriptive set theory, I would like to continue investigating natural ranks defined on certain subclasses of Borel functions. In particular, I plan to continue an ongoing project with M. Elekes and H. Nobrega, in which we already proved that a rank defined naturally for a game characterizing Baire class 1 functions coincides with those defined by Kechris and Louveau.
I also want to continue investigating the structure of the random elements of homeomorphism and automorphism groups with respect to the sigma-ideal of Haar null sets which is the generalization of Haar measure zero sets defined on not necessarily locally compact Polish groups. I have already worked with U. Darji, among others, to prove results in the area.
I plan to continue my collaboration with S. Solecki and J. Moore started during my current, one-year stay at Cornell University to give a simple characterization of the class of idealistic equivalence relations in connection with an open problem of Kechris and Louveau.
Concerning the graph-theoretic chip-firing game, I would like to further investigate the connection of graph limits and the chip-firing game. In an ongoing project also started at Cornell with L. Levine and L. Tóthmérész, I managed to generalize the notions of parallel chip-firing game to graphons to obtain a result about the sequence of Erdős-Rényi graphs.
The international significance of the research can be seen by the large number of foreign collaborators, and is also witnessed by the papers already published in prestigious international journals.
What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
Concerning the ranks on Borel functions, there exist games characterizing higher Baire class function. It would be interesting to see if a rank could be defined naturally for those games as well, and if they could be, an obvious task is to find out whether they coincide with those defined by Elekes, Vidnyánszky and myself.
The theory of Haar null sets contain numerous open problems. It is not known whether a compact set in a non-locally compact, Polish group is always Haar null. My papers submitted for publication in this area also contain unresolved questions, the most interesting one asks for the characterization of the non-Haar null conjugacy classes in the group of the unitary transformations of the separable, infinite dimensional Hilbert space.
Concerning Borel equivalence relations, the specific question asked by Kechris and Louveau is the following: Is a Borel equivalence relation idealistic if and only if E_1, a specific equivalence relation defined on the Cantor space cannot be embedded into it? I will try to answer this question, and also consider a special case of it, that asks if a Borel subgroup H of a Polish group G is Polishable if and only if E_1 cannot be embedded into the coset equivalence relation given by H and G.
The activity of a chip-configuration measures the ratio of vertices firing at a given step, and it always exists for chip-configurations defined on a finite graph. However, this is not the case for chip-configurations defined on graphons, and it would be interesting to isolate a property that a graphon W must have in order for the activity to exist for every chip-configuration on W.
What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
Baire class 1 functions show up in various branches of mathematics, for example in Banach space theory. A naturally defined rank on a class of functions helps to characterize the complexity of the functions in the class; functions with lower rank are usually simpler and nicer, whereas functions with larger rank are usually more complex.
The question of Kechris and Louveau concerning the characterization of idealistic equivalence relations is central in the theory of Borel equivalence relations. Answering it might be hard, but it would certainly bring international attention.
The chip-firing game has many connections inside and outside mathematics. Physicists investigated it as a model for sandpiles and avalanches. With L. Tóthmérész, we could also use the theory to prove that a decision problem in algebraic geometry is NP-hard. Moreover, the fact that one can use graphons to prove results about the game on finite graphs is something that was noticed first by Levine, Tóthmérész and myself. It would be essential to take advantage of this insight and use the connection to prove further results. I also believe that my knowledge of real analysis and descriptive set theory will help to exploit the potential in the topic.
Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
Starting with the class of continuous functions (these are called Baire 0), one can construct the class of Baire 1 functions as the set of those that can be obtained as the pointwise limit of a sequence of continuous functions. This procedure can be continued to obtain the Baire class n+1 functions as the pointwise limit of Baire class n function. In this construction, we start with the simplest functions, the continuous ones, and step-by-step obtain more complex functions. I plan to investigate a refinement of this construction, where each class, for example the class of Baire 2 functions, is further divided into parts according to the complexity of the functions.
I also plan to look at a simple game, in which we have finitely many nodes, some of them are connected, some of them are not. Each have an integer number of chips on them at the beginning, and at a step of the game each node can send a chip to each of its neighbors if it has at least as many chips as the number of its neighbors. This simple game is used by physicists to model sandpiles and avalanches. I plan to consider algorithmic and other type of questions connected to this game that are investigated by the mathematics community.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
