 |
Here you can view and search the projects funded by NKFI since 2004
Back »
|
 |
Details of project |
|
|
| Identifier |
128374 |
| Type |
PD |
| Principal investigator |
Titkos, Tamás |
| Title in Hungarian |
Kiterjesztési- és megőrzési problémák |
| Title in English |
Extension- and Preserver Problems |
| Keywords in Hungarian |
operátorkiterjesztés, faktorizáció, Schur komplemens, párhuzamos összeg, abszolút folytonosság, szingularitás, megőrzési problémák (lineáris és nemlineáris), izometriák, valószínűségi mértékek |
| Keywords in English |
operator extension, factorization, Schur complement, parallel sum, absolute continuity, singularity, preserver problems (linear and nonlinear), isometries, probability measures |
| Discipline |
| Mathematics (Council of Physical Sciences) | 100 % | | Ortelius classification: Functional analysis |
|
| Panel |
Mathematics and Computing Science |
| Department or equivalent |
Alfréd Rényi Institute of Mathematics |
| Starting date |
2018-09-01 |
| Closing date |
2021-08-31 |
| Funding (in million HUF) |
15.807 |
| FTE (full time equivalent) |
2.10 |
| state |
closed project |
Summary in Hungarian A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
A tervezett kutatásnak két fő célkitűzése van, amelyek egymással összefonódnak, és amelyeket egyformán fontosnak tekintek. Ezek természetes folytatásai a korábbi, Lebesgue típusú felbontásokat vizsgáló kutatásomnak.
(O1) Kiépíteni egy olyan operátorkiterjesztési eljárást, amely elég általános ahhoz, hogy alapját képezhesse további, az általánosított Schur komplemensre és alkalmazásaira irányuló kutatásoknak. Nevezetesen, a Hilbert terek operátorainak elméletében fontos Krein-von Neumann kiterjesztési eljárást általánosítom anti-duál párokra. A legfontosabb alkalmazás egy széles körben kutatott, párhuzamos összegzés nevű művelet bevezetése olyan általánosságban, amely hasznos eszközként szolgálhat az (O2)-ben leírtakhoz.
(O2) Általános megőrzési problémákat vizsgálni, pontosabban karakterizálni azokat a leképezéseket (egy-egy konkrét esetben), amelyik megőrzik az adott struktúra egy releváns tulajdonságát. A két kérdéskör, amivel foglalkozni kívánok: (O2a) karakterizálni az abszolút folytonosságot és szingularitást megtartó leképzéseket különböző struktúrákban (a fő példa a reprezentálható funkcionálok kúpja egy adott *-algebrán), (O2b) karakterizálni a valószínűségi Borel mértékek terének releváns metrikákra vonatkozó izometriáit. Releváns metrika alatt itt elsősorban a Wasserstein távolságot értem.
Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
A tervezett kutatásnak két fő célkitűzése van, (O1) és (O2). Elsőként kiemelem a “párhuzamos összegzés” nevű operációt, ami az egész kutatás mozgatórugója. Ennek bevezetése az egyik legfontosabb alkalmazása az (O1)-ben igazolt absztrakt eredményeknek, az (O2) problémakörben pedig mint eszköz játszik fontos szerepet.
Az (O1) problémakörben számos klasszikus operátorelméleti eredményt fogunk átlalánosítani anti-duális párokra. A klasszikus elméletben a párhuzamos összeg és különbség megkapható, mint egy blokk-operátor teljesítési feladat megoldása, amely feladat egy operátorkiterjesztési problémára vezet: nevezetesen, pozitív önadjungált kiterjesztést találni egy adott szuboperátornak. Ez az oka annak, hogy a széles körben kutatott Krein-von Neumann kiterjesztés a kutatásunk frontvonalába került. Egy általános, anti-duál párokra való kiterjesztési eljárás alkalmas lehetne többek közt funkcionálok, vagy operátorfüggvények kiterjesztésére.
Az (O2)-ben vizsgált kérdések úgynevezett megőrzési problémák, itt csak a Wasserstein-izometriák karakterizációját említem. A kérdés fontossága magának a Wasserstein metrikának a fontosságában rejlik. Valóban, az “Optimal transport” fogalmára jelenleg kiemelkedő nemzetközi figyelem irányul, főleg a metrikus terek geometriájával kapcsolatos kutatások miatt. Kloeckner karakterizálta a véges dimenziós euklideszi terek Borel mértékeinek 2-Wasserstein izometriáit. Célunk Kloeckner eredményeinek kiterjesztése lengyel terekre. Többek közt vizsgálnánk az n-dimenziós euklideszi gömbök felületén élő Borel mértékek, illetve a közös kompakt halmazon tartott Borel mértékek izometria csoportját.
Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
Általában az elméleti matematikában folytatott kutatások nem generálnak akkora érdeklődést (sem a nyilvánosság, sem az ipar részéről), mint az alkalmazott kutatások, mérnöki tudományok, vagy a közgazdaságtani kutatások. De a tiszta matematika absztrakt eredményei sokszor igen fontosak és komoly alkalmazásokra lelnek egyéb tudományokban, mint például a fizika.
A tervezett kutatás első problémaköre a klasszikus Krein-von Neumann kiterjesztés általánosításával foglalkozik, amelynek széleskörű alkalmazhatósága azt sugallja, hogy a kapott eredmények felhasználhatóak lesznek például disztribúciók, operátorfüggvények, és egyéb fontos objektumok vizsgálatánál. A kutatás elsődleges célja algebrai és topologikus feltételekkel karakterizálni, hogy egymással anti-dualitásban álló vektorterek között ható úgynevezett szuboperátoroknak mikor létezik gyengén folytonos kiterjesztése. Először Halmos vetette fel különböző Hilbert terek között ható szuboperátorok kiterjeszthetőségének vizsgálatát. Már abban az általánosságban is komoly algebrai veszteséggel kell számolni: nincs identitás operator, nem lehet operátorokat összeszorozni, és így tovább. A cél megválaszolni Halmos kérdését egy jóval általánosabb környezetben. Röviden, egy olyan kiterjesztési eljárást fogunk megalapozni, amely túléli nem csak a Hilbert tér-, de még a normálható struktúra hiányát is.
A kutatás másik része megőrzési problémákat tárgyal. Általában, megőrzési problémáknak olyan kérdéseket nevezünk, amely egy adott struktúra bizonyos releváns mennyiségeit megőrző leképezéseinek feltérképezésére irányulnak. A kérdésekre kapott válaszok gyakran magára a struktúrára vonatkozóan is hasznos információval szolgálnak. A megőrzési problémákon belül Wasserstein izometriákra vonatkozó, valamint abszolút folytonosságot és szingularitást megőrző problémákat tervezek vizsgálni (számtalan különböző kontextusban).
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
A kutatás a tiszta matematika (konkrétabban: funkcionálanalízis) két különböző, de egymással átfedő területét vizsgálja. Az első kérdéskör bizonyos “szép tulajdonságokkal” rendelkező leképezések kiterjeszthetőségét vizsgálja egy elég általános környezetben. Egy ilyen eredmény számtalan konkrét szituációban hasznos lehet, ahol a vizsgált objektumról nincs mindenütt definiálva, amit interpretálhatunk úgy, hogy az objektumról csak részleges információval rendelkezünk. A második problémakör gyűjtőneve “megőrzési problémák”. Általában, megőrzési problémáknak olyan kérdéseket nevezünk, amely egy adott struktúra bizonyos releváns mennyiségeit megőrző leképezéseinek feltérképezésére irányulnak. A kérdésekre kapott válaszok gyakran magára a struktúrára vonatkozóan is hasznos információval szolgálnak.
| Summary Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
The proposed research has two main objectives which are interwoven, and are intended to be equally important. Both of them can be considered as natural continuations of my earlier works on the theory of Lebesgue-type decompositions and preserver problems. These objectives are:
(O1) To develop a suitable theory of operator extensions, which is general and nice behaving enough to be a basis of further research concerning Schur complementation and its theoretical consequences in a setting where the underlying structure is not a Hilbert space. In fact, I am going to present a generalization of the famous Krein-von Neumann extension in the context of anti-dual pairs. The most important application is a suitable generalization of the widely researched notion of parallel addition, which can be useful in (O2a).
(O2) To describe and characterize those automorphisms which preserve relevant quantities of the structures in question. Two main issues of this objective are (O2a) to describe absolute continuity- and singularity preserving maps in various structures (our main example will be the cone of representable functionals on an involutive algebra); and (O2b) to characterize distance preserving maps on Borel probability measures with respect to relevant metrics like the Wasserstein metric.
What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
The proposed research has two main objectives: (O1) and (O2). I want to highlight first the operation called “parallel addition” which is the driving force behind the proposed research. In (O1), obtaining a suitable generalization of this notion is the most important application of our abstract results, in (O2) it can be the most important tool.
In (O1), we are going to generalize several classical operator theoretic results to the context of anti-dual pairs. In the classical theorey the parallel sum and difference can be obtained as minimal solutions of particular block operator completing problems, which is closely related to the problem of finding a positive self-adjoint extension for a particular linear operator. That is why I am going to generalize the widely researched Krein-von Neumann extension. Having such a generalization would be useful by extending for example functionals and operator kernels.
In (O2) we will investigate so called preserver problems. I mention only one particular problem here: characterizing isometries with respect to the Wasserstein metric. The importance of this problem lies in the importance of the metric itself. Indeed, the concept of optimal transportation recently raised a growing interest in links with the geometry of metric spaces. Kloeckner described the general form of 2-Wasserstein isometries on finite dimensional Euclidean space. We are going to extend Kloeckner's results to other Polish spaces like the n-dimensional sphere. Another setting we are interested in is the space of those Borel measures which are supported on a prescribed compact set of a Euclidean space.
What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
In general, research in pure mathematics, is unlikely to generate the same level of public interest or interest for industry as research in more applied areas, such as medicine, engineering or ecological research. But abstract mathematical results are extremely useful in other hard sciences like physics. In this particular research, the first objective deals with a generalization of Krein-von Neumann extension.
The wide-range applicability of the classical extension technique in operator theory suggests that our generalization may be an effective tool to attack several problems in several settings, including for example the theory of distributions and the theory of operator kernels. The primary goal of this objective is to obtain both algebraic and topological conditions to guarantee that A suboperator between spaces that are in anti-duality admits a weakly continuous extension. The problem of extending suboperators between different Hilbert spaces goes back to Halmos. Even in that mild Hilbert space generalization, the loss is significant: there is no identity operator, operators cannot be multiplied, and so on. We are going to attack and solve Halmos’ problem in a more general context. Shortly speaking, our main task here is to develop a general operator extension theory, which overcomes not only the lack of Hilbert space structure, but also the lack of a normable topology. We expect that this generalization will be a useful tool by extending many other important objects in functional analysis.
The second objective deals with various preserver problems. Generally speaking, preserver problems concern the question of describing the form of such transformations of a given structure that preserve a relevant relation among the elements. To describe the preservers of a system is of particular importance, in fact, in many cases the corresponding result provides important information on the morphisms of the underlying structure. Two main issues of this objective are (O2a) to describe absolute continuity- and singularity preserving maps in various structures and (O2b) to characterize distance preserving maps on Borel probability measures with respect to relevant metrics like the Wasserstein metric.
Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
This research concerns two overlapping areas of pure mathematics, or more specifically: functional analysis. The first problem I am going to deal with is extendibility of nice behaving maps in a very general context. Having such a result can be useful in various situations when the objects under considerations are not “everywhere defined” which means that we have only partial information about the object. The second family of problems is called generally “preserver problems”. The task here is to understand the form of such transformations of a given structure that preserve a relevant relation among the elements. To describe the preservers of a system is of particular importance, in fact, in many cases the corresponding result provides important information about the structure itself.
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
List of publications |
|
|
| Zs. Tarcsay and T. Titkos: Operators on anti-dual pairs: Generalized Krein-von Neumann extension, submitted, 2019 | | Zs. Tarcsay and T. Titkos: Operators on anti-dual pairs: Self-adjoint extensions and the Strong Parrott Theorem, submitted, 2019 | | Gy. P. Gehér, T. Titkos, D. Virosztek: Dirac masses and isometric rigidity, RIMS Kokyuroku, to appear, 2019 | | Gy. P. Gehér, T. Titkos, D. Virosztek: Isometric study of Wasserstein spaces - the real line, submitted, 2019 | | Gy. P. Gehér, T. Titkos, D. Virosztek: On isometric embeddings of Wasserstein spaces - the discrete case, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 480, Issue 2, Article Number: 123435, 2019 | | Tarcsay, Zs. and Titkos, T.: Operators on anti-dual pairs: Generalized Krein-von Neumann extension, Mathematische Nachrichten, accepted, 2020 | | Tarcsay, Zs. and Titkos, T.: Operators on anti-dual pairs: Self-adjoint extensions and the Strong Parrott Theorem, Canadian Mathematical Bulletin, https://doi.org/10.4153/S0008439520000065, 2020 | | Gehér, Gy. P. and Titkos, T. and Virosztek, D.: Dirac masses and isometric rigidity, RIMS Kokyuroku, No. 2125, 34-41, 2019 | | Gehér, Gy. P. and Titkos, T. and Virosztek, D.: Isometric study of Wasserstein spaces - the real line, Trans. Amer. Math. Soc. 373, 5855-5883, 2020 | | Gehér, Gy. P. and Titkos, T. and Virosztek, D.: On isometric embeddings of Wasserstein spaces - the discrete case, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 480, Issue 2, Article Number: 123435, 2019 | | Tarcsay, Zs. and Titkos, T.: Operators on anti-dual pairs: Generalized Schur complement, Linear Algebra and its Applications, https://doi.org/10.1016/j.laa.2020.02.031, 2020 | | Gehér, Gy. P. and Tarcsay, Zs. and Titkos, T.: Maps preserving absolute continuity and singularity of positive operators, New York Journal of Mathematics 26, 129-137, 2020 | | Gehér, Gy. P. and Titkos, T. and Virosztek, D.: Isometric study of Wasserstein spaces - Hilbert spaces, submitted, 2020 | | Gehér, Gy. P. and Titkos, T. and Virosztek, D.: Wasserstein spaces built on toruses and spheres - isometric rigidity, Manuscript (work in progress), 2020 | | Gehér, Gy. P. and Titkos, T. and Virosztek, D.: On the exotic isometry flow of W_2(R), Manuscript (work in progress), 2020 | | Titkos, T.: What is... the Monge-Kantorovich Problem (in Hungarian), "Érintő" - Electronic Math Journal of the János Bolyai Mathematical Society, 2020 | | Titkos, T.: What is... the Wasserstein space (in Hungarian), "Érintő" - Electronic Math Journal of the János Bolyai Mathematical Society, 2020 | | Tarcsay, Zs. and Titkos, T.: Operators on anti-dual pairs: Generalized Krein-von Neumann extension, Mathematische Nachrichten, https://doi.org/10.1002/mana.201800431, 2021 | | Tarcsay, Zs. and Titkos, T.: Operators on anti-dual pairs: Self-adjoint extensions and the Strong Parrott Theorem, Canad. Math. Bull. 63(4), 813-824. doi:10.4153/S0008439520000065, 2020 | | Tarcsay, Zs. and Titkos, T.: Operators on anti-dual pairs: Generalized Schur complement, Linear Algebra and its Applications, Volume 614, Pages 125-143, 2021 | | Gehér, Gy. P. and Titkos, T. and Virosztek, D.: The isometry group of Wasserstein spaces: the Hilbertian case, submitted, 2021 | | Gehér, Gy. P. and Titkos, T. and Virosztek, D.: Isometric rigidity of the Wasserstein torus and the Wasserstein sphere, Manuscript, 2021 | | Gehér, Gy. P. and Titkos, T. and Virosztek, D.: On the exotic isometry flow of W_2(R), Manuscript, 2021 | | Kiss, G. and Titkos, T.: Isometric rigidity of Wasserstein spaces: the graph metric case, submitted, 2021 | | Titkos, T.: What is... the regularity lemma (in Hungarian), "Érintő" - Electronic Math Journal of the János Bolyai Mathematical Society, 2021 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
