Elnashar, Amr Abdel Hamid Fodor, Ferenc Kalantzopoulos, Pavlos Kiss, Gergely Kurusa, Árpád Simon, Péter
Starting date
2018-09-01
Closing date
2020-12-31
Funding (in million HUF)
20.000
FTE (full time equivalent)
4.35
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A logaritmikus-Brunn-Minkowski sejtés, melyet a témavezető állított fel egy társszerzőkkel közös cikkben, a konvex geometriát, a valószínűségszámítást és a funkcionál analízist köti össze, és a klasszikus Brunn-Minkowski egyenlőtlenség egy messzemenő általánosítását tekinti. A pályázat alapjául szolgáló cikk a sejtést a gömbfelületen értelmezett izotrópikus mértékek elméletével köti össze.
A pályázat célja a logaritmikus-Brunn-Minkowski sejtés igazolása térfogatra, Gauss sűrűségvényre vagy tetszőleges logaritmikusan-konkáv mértékre, illetve legalábbis a sejtéssel kapcsolatos jelentős eredmények elérése a három dimenziós euklidészi térben az első év folyamán, és magasabb dimenziós terekben a második év során.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. A pályázat alapkérdése, hogy teljesül-e a logaritmikus-Brunn-Minkowski sejtés tetszőleges két origóra szimmetrikus testre egy euklidészi térben.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! A logaritmikus-Brunn-Minkowski sejtés teljesülése esetén áttörést hozna részben a valószínűségszámításban (Gauss mértékek, illetve általánosabb ún logaritmikusan konkáv mértékekkel kapcsolatban), másrészt a konvex geometriában (a klasszikus Brunn-Minkowski egyenlőtlenséget erősítve). A sejtés jelentőségét mutatja az ezt közlő 2012-es cikkre történt 48 független hivatkozás.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A pályázat célja bizonyítani egy központi jelentőségű sejtést, melyet a témavezető állított fel egy társszerzőkkel közös sokat hivatkozott cikkben, mely a konvex geometriát, a valószínűségszámítást és a funkcionál analízist köti össze, és a klasszikus Brunn-Minkowski egyenlőtlenség egy messzemenő általánosítását tekinti. A pályázat alapjául szolgáló cikk a sejtést a gömbfelületen értelmezett izotrópikus mértékek elméletével köti össze.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The Logarithmic-Brunn-Minkowski conjecture, proposed by the Principal Investigator and his coauthors, connects convex geometry, probability theory and functional analysis, and considers a high reaching generalization of the classical Brunn-Minkowski inequality. The paper forming the basis of the proposal connects the conjecture to isotropic measures on the unit sphere.
The goal of the proposal is to prove the logarithmic-Brunn-Minkowski conjecture for volume, the Gaussian density and for arbitrary logarithmically concave measure, or at least to achieve substantial progress in dimension three in the first year, and in higher dimensional Euclidean spaces in the second year.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. The fundamental question of the proposal is whether the Logarithmic-Brunn-Minkowski conjecture holds for any any pair of origin symmetric convex bodies in Euclidean spaces of any dimension.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. If the logarithmic-Brunn-Minkowski conjecture held, it would open up brand new perspectives in probability theory (understanding Gaussian densities, and in general, logarithmically concave densities) and in convex geometry )by providing a strengthened form of the classical Brunn-Minkowski inequality). The significance of the conjecture is shown by the 48 independent citations it has received since its publications in 2012.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. The research aims at proving a high profile conjecture, proposed in a highly cited joint paper by the principal investigator, lying at the cross road of probability theory, functional analysis and convex geometry, and strengthening the classical Brunn-Minkowski inequality. The paper forming the basis of the proposal connects the conjecture to isotropic measures on the unit sphere.
Final report
Results in Hungarian
A projekt fő témája az E. Lutwak-tól eredő úgynevezett Lp Minkowski probléma, mely egy Monge-Ampere típusú parciális differenciál egyenlet a gömbfelületen. Ha -n<p<1, A. Colesanti-val és G. Bianchi-val közösen befejeztük a cikkünket, melyben az Lp Minkowski problémát oldjuk meg az eddig ismertebbeknél általánosabb esetben. Később a módszerünket kiterjesztettük az Orlicz Minkowski probléma megoldására is abban az esetben, amely az Lp Minkowski probléma általánosítása, ha a p paramétert a (-n,0) intervallumból választjuk. Továbbá a megoldások simaságát is vizsgáltuk.
E. Lutwak, D. Yang, G. Zhang, Yiming Zhao-val közösen befejeztük a páros q-adik duális Minkowski probléma megoldását, ha 0<q<n. A q=0 esetet továbbfejlesztve általánosítottuk az Alexndrov probléma megoldását, mely a "Gauss Image" mélyebb megértésére vezetett.
F. Fodorral közösen az úgynevezett q-adik Lp duális Minkowski problémát oldottuk meg, ha p>1 és q>0. Sikerült a megoldás simaságát is leírni.
A fenti problémákon kívül az izoperimetrikus egyenlőtlenség és a Brunn-Minkowski egyenlőtlenség diszkrét változatait tekintettük Á. Kováccsal illetve M. Matolcsi, I. Ruzsa, F. Santos, O. Serra-val közösen, és az izodiametrikus problémát oldottuk meg a szférikus és hiperbolikus esetben Á. Sagmeister-rel közösen.
Results in English
The main theme of the project were some variants of the so called Lp Minkowski problem, an Monge-Ampere type partial differential equation on the sphere, due to E. Lutwak. Together with A. Colesanti and G. Bianchi, we have finished up our paper solving the L_p Minkowski problem for -n<p<1 under rather general conditions, and later we have extended our method to solve the Orlicz Minkowski problem that extends the case of L_p Minkowski problem for -n<p<0. In addition, , we have described the solution of the L_p Minkowski problem for -n<p<1 under smoothness assumption.
Together with E. Lutwak, D. Yang, G. Zhang, Yiming Zhao, we have completed a manuscript on fully characterizing the solution of the even dual Minkowski problem with parameter 0<q<n. In addition, we have generalized the Alexandrov problem (q=0), giving a deeper understanding of Gaussian image.
Together with F. Fodor, we have solved L_p dual Minkowski problem for
p>1 and q>0, and even managed to describe the solution under smoothness condition.
Besides these problems, we considered discrete versions of the isoperimetric inequality and the Brunn-Minkowski together with Á. Kovács, M. Matolcsi, I. Ruzsa, F. Santos, O. Serra, and the isodiametric problem in the spherical and hyperbolic space together with A. Sagmeister.
K.J. Böröczky, E. Lutwak, D. Yang, G. Zhang, Yiming Zhao: The Gauss Image problem, Communications on Pure and Applied Mathematics, 73, 1406-1452., 2020
