Martingales and Fourier analysis  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
130426
Type KH
Principal investigator Weisz, Ferenc
Title in Hungarian Martingálok és Fourier-analízis
Title in English Martingales and Fourier analysis
Keywords in Hungarian martingál, Hardy terek, Walsh-Fourier sorok, Jacobi sorok
Keywords in English martingale, Hardy spaces, Walsh-Fourier series, Jacobi series
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Fourier analysis
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Numerical Analysis (Eötvös Loránd University)
Participants Németh, Zsolt
Szarvas, Kristóf
Starting date 2018-12-01
Closing date 2022-09-30
Funding (in million HUF) 19.996
FTE (full time equivalent) 3.68
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
A világhírű matematikus, Burkholder munkássága nyomán az 1970-es évektől kezdve a martingálelmélet hatalmas fejlődésen ment át. Később több monográfia is megjelent e témában, többek között a témavezetőé is. A martingálelmélet sok alkalmazással rendelkezik a valószínűségszámítás különböző fejezeteiben, többek között a pénzügyi matematikában is, a tőzsdei folyamatok leírásában. A témavezető a monográfiájában összekapcsolta a látszólag távol álló martingálelméletet és Fourier analízist, többek között sikerrel alkalmazta a martingálelméletet a Walsh-Fourier sorok elméletében.

Az atomos felbontás több verziója is a témavezető nevéhez fűződik. Az utóbbi 5 évben újra nagyon sokan foglalkoznak martingálelmélettel. A témavezető monográfiájából kiindulva sok szerző általánosította az atomos felbontásokat, illetve a martingál Hardy tereket. E sorba illeszkedik a jelen pályázat alapjául szolgáló cikk is. Ebben a cikkben több paraméterű martingálokra dolgoztunk ki egy új atomos felbontást, és ennek segítségével egyenlőtlenségeket és dualitási tételeket igazoltunk.

Ezt a munkát szeretnénk folytatni és az igen sokak által vizsgált martingál Hardy terek különböző általánosításait kidolgozni. Vizsgáljuk pl. a változó indexű, a kevert normájú és a Musielak-Orlicz Hardy tereket, illetve ezek alkalmazásait a Fourier-analízisben. Több dolgozat publikálását tervezzük referált nemzetközi szakfolyóiratokban.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
A martingál terek jelenleg a szakirodalomban intenzíven vizsgált általánosításaival kívánunk foglalkozni, pl. a változó indexű, kevert normájú és Musielak-Orlicz martingál Hardy tereket vizsgáljuk. Atomos felbontásokat igazolunk ezeken a tereken, egyenlőtlenségeket és dualitási tételeket. Ezek mellett az eredményeket alkalmazni fogjuk a Fourier-analízisben, a Walsh-Fourier sorok, illetve a Jacobi sorok elméletében. Így remélhetőleg több új konvergencia tételt igazolunk majd ezekre a sorokra.

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
Ezek a témakörök érdekesek, modernek, számos világhírű kutató foglalkozik velük. Több nyitott probléma megoldását tervezzük, amelyek várhatóan nemzetközi szinten is figyelemre méltóak lesznek.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
Magyar és külföldi matematikusok munkásságát folytatva foglalkoznánk a martingálelmélet különböző általánosításaival. Ennek segítségével a matematika egy másik részében, a Fourier-sorok és ortogonális polinomok szerinti sorfejtés témakörében tervezünk új eredményeket elérni. Ezekben a témakörökben több nyitott probléma megoldását tervezzük.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
After the papers of the famous mathematician Burkholder, since 1970, martingale theory has been developed very quickly. Later some monographs were published in this topic, amongst others a monograph of the principal investigator. Martingale theory has a lot of applications in probability theory, for example in mathematical finance. The principal investigator connected in his monograph the two different research fields, martingale theory and Fourier analysis. He has applied martingales in the theory of Walsh-Fourier series with success.

Several different versions of the atomic decomposition were developed by the principal investigator. During the last 5-10 years, several researchers have been working in martingale theory again. Starting out from the monograph of the principal investigator, several generalizations of the atomic decompositions and the martingale Hardy spaces have been published. This is the topic of the paper this project is based on. In this paper, the principal investigator proved a new atomic decomposition for multi-parameter martingales and with the help of this, he verified inequalities and duality results.

We would like to continue this work and generalize the martingale Hardy spaces towards different ways. This topic is very intensively studied in the literature. We plan to deal with variable, mixed norm and Musielak-Orlicz Hardy spaces and their applications in Fourier-analysis. We will publish several papers in international journals.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
We would like to consider some generalizations of martingale spaces, which are studied very intensively in the literature. More exactly, we will investigate the variable, mixed norm and the Musielak-Orlicz martingale Hardy spaces. We will prove atomic decompositions of these spaces, inequalities and duality results. We will apply these results in Fourier analysis, in the theory of Walsh-Fourier and Jacobi series. In this way, we will obtain several new convergence results for these series.

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
These topics are interesting and current and many famous researchers deal with them. We plan to solve several open problems in these topics which are expected to be remarkable internationally.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
Following the work of Hungarian and international mathematicians, we investigate the generalizations of martingale spaces. By applying these results in a different topic of mathematics, in Fourier-analysis, we will reach several new results for Fourier series and for orthogonal series. We plan to solve several open problems in these areas.




 

Final report

  
Results in Hungarian
A pályázat keretein belül folytattuk a martingálelméleti és Fourier-analízisbeli kutatásainkat. 29 cikket publikáltunk vezető nemzetközi lapokban és kér monográfiát is megjelentettünk a Springer kiadónál. Különböző függvénytereket és martingál-tereket vizsgáltunk, mint például a súlyozott Lebesgue, Musielak-Orlicz, Musielak-Orlicz-Lorentz, kevert normájú Lebesgue tereket és Lebesgue tereket változó kitevővel. Az ezen terek által generált martingál Hardy terekkel is foglalkoztunk. Többek között atomos felbontásokat, interpolációs tételeket, dualitási tételeket, martingál egyenlőtlenségeket bizonyítottunk ezekre a terekre. Ezen eredmények Fourier-analízisbeli alkalmazásait és hasonló problémákat is tanulmányoztunk.
Results in English
We continued our research in martingale theory and Fourier analysis. We published 29 papers in leading international journals and two books published by Springer. We sdudied different function and martingale spaces, such as wieghted Lebesgue, Musielak-Orlicz, Musielak-Orlicz-Lorentz, mixed-norm Lebesgue spaces and Lebesgue spaces with variable exponents. We investigated also the corresponding martingale Hardy spaces generated by the previous spaces. We proved atomic decompositions, interpolations theorems, duality theorems, martingale inequalitie for these spaces. We also investigated these spaces in Fourier analysis and some related problems.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=130426
Decision
Yes





 

List of publications

  
Long Long, Weisz Ferenc, Xie Guangheng: Real interpolation of martingale Orlicz Hardy spaces and BMO spaces, JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS 505: (2) 125565, 2022
Nadirashvili Nato, Persson Lars-Erik, Tephnadze George, Weisz Ferenc: Vilenkin–Lebesgue Points and Almost Everywhere Convergence for Some Classical Summability Methods, MEDITERRANEAN JOURNAL OF MATHEMATICS 19: (5) 239, 2022
Persson L.-E., Schipp F., Tephnadze G., Weisz F.: An Analogy of the Carleson–Hunt Theorem with Respect to Vilenkin Systems, JOURNAL OF FOURIER ANALYSIS AND APPLICATIONS 28: (3) 48, 2022
Weisz Ferenc: Cesàro summability and Lebesgue points of higher dimensional Fourier series, MATHEMATICAL FOUNDATIONS OF COMPUTING (5.) pp. 241-257., 2022
Weisz Ferenc: Triangular Cesaro summability and Lebesgue points of two-dimensional Fourier series, MATHEMATICAL INEQUALITIES & APPLICATIONS 25: (3) pp. 631-646., 2022
Weisz Ferenc: Mixed Norm Martingale Hardy Spaces and Applications in Fourier Analysis, In: Woerdeman, Hugo J.; Spitkovsky, Ilya M.; Moslehian, Mohammad Sal; Aron, Richard M. (szerk.) Operator and Norm Inequalities and Related Topics, Springer International Publishing (2022) pp. 709-739., 2022
Weisz Ferenc: Convergence of Vilenkin–Fourier series in variable Hardy spaces, MATHEMATISCHE NACHRICHTEN 295: pp. 1812-1839., 2022
Weisz Ferenc, Xie Guangheng, Yang Dachun: Dual Spaces for Martingale Musielak–Orlicz Lorentz Hardy Spaces, BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATIQUES 179: p. 103154., 2022
Huang Long, Weisz Ferenc, Yang Dachun, Yuan Wen: Summability of Fourier transforms on mixed-norm Lebesgue spaces via associated Herz spaces, ANALYSIS AND APPLICATIONS pp. 1-50., 2021
L. E. Persson and G. Tephnadze and F. Weisz: Martingale Hardy Spaces and Summability of Vilenkin-Fourier Series, Birkhauser, Springer (to appear), 2022
M. Dyachenko and E. Nursultanov and S. Tikhonov and F. Weisz: Hardy-Littlewood-type theorems for Fourier transforms in $\R^d$, (to appear), 2022
Szarvas K, Weisz F: Boundedness of Cesàro and Riesz means in variable dyadic Hardy spaces, BANACH JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS 13: (3) pp. 675-696., 2019
Weisz F: Weighted Hardy spaces and the Fejér means of Walsh-Fourier series, ANNALES UNIVERSITATIS SCIENTIARUM BUDAPESTINENSIS DE ROLANDO EOTVOS NOMINATAE SECTIO COMPUTATORICA 49: pp. 411-424., 2019
Weisz Ferenc: Hardy spaces with variable exponents and applications in Fourier analysis, NONLINEAR STUDIES 26: (4) pp. 1015-1026., 2019
Xie Guangheng, Weisz Ferenc, Yang Dachun, Jiao Yong: New martingale inequalities and applications to Fourier analysis, NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS 182: pp. 143-192., 2019
Jiao Yong, Weisz Ferenc, Wu Lian, Zhou Dejian: Variable martingale Hardy spaces and their applications in Fourier analysis, DISSERTATIONES MATHEMATICAE 550: pp. 1-67., 2020
Weisz F: Boundedness of dyadic maximal operators on variable Lebesgue spaces, ADVANCES IN OPERATOR THEORY 5: (4) pp. 1588-1598., 2020
Weisz F.: Cesàro and Riesz summability with varying parameters of multi-dimensional Walsh–Fourier series, ACTA MATHEMATICA HUNGARICA 161: (1) pp. 292-312., 2020
Weisz F.: Summability of Fourier series in periodic Hardy spaces with variable exponent, ACTA MATHEMATICA HUNGARICA, 2020
Weisz Ferenc: Doob’s and Burkholder-Davis-Gundy inequalities with variable exponent, PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 149: (2) pp. 875-888., 2021
Weisz Ferenc: Dual spaces of mixed-norm martingale hardy spaces, COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED ANALYSIS 0: (0) pp. 1-15., 2021
Jiao Yong, Weisz Ferenc, Wu Lian, Zhou Dejian: Real interpolation for variable martingale Hardy spaces, JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS 491: (1) 124267, 2020
Szarvas K, Weisz F: Applications of mixed martingale Hardy spaces in Fourier analysis, JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS 492: (1) 124403, 2020
Szarvas Kristof, Weisz Ferenc: Mixed Martingale Hardy Spaces, JOURNAL OF GEOMETRIC ANALYSIS, 2020
Jiao Yong, Weisz Ferenc, Wu Lian, Zhou Dejian: Dual spaces for variable martingale Lorentz–Hardy spaces, BANACH JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS 15: (3) 53, 2021
Jiao Yong, Weisz Ferenc, Xie Guangheng, Yang Dachun: Martingale Musielak–Orlicz–Lorentz Hardy Spaces with Applications to Dyadic Fourier Analysis, JOURNAL OF GEOMETRIC ANALYSIS 31: (11) pp. 11002-11050., 2021
Weisz Ferenc: Unrestricted Cesàro summability of d-dimensional Fourier series and Lebesgue points, CONSTRUCTIVE MATHEMATICAL ANALYSIS 4: (2) pp. 179-185., 2021
Weisz Ferenc: Characterizations of variable martingale Hardy spaces via maximal functions, FRACTIONAL CALCULUS AND APPLIED ANALYSIS 24: (2) pp. 393-420., 2021
Weisz Ferenc: Lebesgue points of \ell _1-Cesàro summability of d-dimensional Fourier series, ADVANCES IN OPERATOR THEORY 6: (3) 48, 2021
Weisz Ferenc: Lebesgue points and Cesàro summability of higher dimensional Fourier series over a cone, ACTA SCIENTIARUM MATHEMATICARUM (SZEGED) 87: (34) pp. 505-515., 2021
Weisz Ferenc: Lebesgue Points and Summability of Higher Dimensional Fourier Series, Springer International Publishing; Birkhäuser; Birkhäuser, 2021
Xie Guangheng, Weisz Ferenc, Yang Dachun, Jiao Yong: New martingale inequalities and applications to Fourier analysis, NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS 182: pp. 143-192., 2019



Back »