Qualitative properties of the solutions of differential equations
Keywords in Hungarian
közönséges differenciálegyenlet, késleltetett differenciálegyenlet, differenciál- és integrálegyenlőtlenségek, aszimptotikus viselkedés, stabilitás, differenciálhatóság
Keywords in English
ordinary differential equation, delay differential equations, differential and integral inequalities, asymptotic behavior, stability, differentiability
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Differential equations
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Matematics (University of Pannonia)
Participants
Győri, István Hartung, Ferenc Horváth, László
Starting date
2018-12-01
Closing date
2021-08-31
Funding (in million HUF)
10.572
FTE (full time equivalent)
2.90
state
closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. Kutatásaink célja a differenciálegyenletek és differenciálegyenlőtlenségek kvalitatív tulajdonságainak vizsgálata. A pályázat alapjául szolgáló közleményben aszimptotikus formulát adtunk egy nemautonóm lineáris késleltetett differenciálegyenlet megoldásaira. A pályázat keretében folytatni kívánjuk ez irányú kutatásainkat. Többek között vizsgálni fogjuk nemautonóm lineáris kooperatív rendszerek normalizált pozitív megoldásainak aszimptotikus viselkedését és konvergenciáját, nemlineáris késleltetett egyenletek pozitív egyensúlyi helyzeteinek relatív stabilitását és állapotfüggő késleltetést tartalmazó parabolikus parciális differenciálegyenletek megoldásainak paraméter szerinti differenciálhatóságát. Tanulmányozni fogunk Halanay típusú és általánosabb differenciálegyenlőtlenségeket, amelyeknek fontos szerepük van a differenciálegyenletek megoldásainak vizsgálatában.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. A differenciálegyenletek megoldásait általában nem tudjuk megadni explicit alakban, ezért fontos, hogy le tudjuk írni a megoldások aszimptotikus viselkedését a végtelenben. Egy másik fontos kérdés, hogy könnyen ellenőrizhető feltételeket adjunk egy nemlineáris differenciálegyenlet egyensúlyi helyzeteinek stabilitására. Az állapotfüggő késleltetésű egyenletek vizsgálata az utóbbi időben nagy érdeklődésre tart számot. A kvalitatív elmélet egyik alapkérdése a megoldások paraméter szerinti differenciálhatósága. Erre a kérdésre szeretnénk válasz adni állapotfüggő késleltetést tartalmazó parabolikus parciális differenciálegyenletek esetén. Mivel a differenciálegyenlőtlenségeknek fontos szerepük van a differenciálegyenletek vizsgálatában, új típusú, késleltetést is tartalmazó differenciálegyenlőtlenség-rendszereket szeretnénk igazolni.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! Differenciálegyenleteket a különböző biológiai, mérnöki és gazdasági folyamatok modellezésére használnak. Az alkalmazások szempontjából fontos kérdések általában a megoldások kvalitatív tulajdonságaival kapcsolatosak. Tervezett kutatásaink során várhatóan új eredmények születnek a megoldások aszimptotikus viselkedésével, stabilitásával és paraméter szerinti differenciálhatóságával kapcsolatosan. Az eredmények alkalmazhatóak lesznek olyan modellegyenletekre is, amelyek különböző biológiai és mérnöki alkalmazásokból származnak. A kutatócsoport résztvevői a fenti témakörökben 25 éve eredményesen végeznek közös munkát.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. Számos biológiai, mérnöki és gazdasági folyamat modellezésére differenciálegyenleteket használnak. Kutatásaink tárgya a differenciálegyenletek megoldásainak vizsgálata. Mivel a megoldásokat általában nem tudjuk megadni pontos képlettel, célunk közelítő (aszimptotikus) formulák keresése, a megoldások stabilitásának és paraméterektől való függésének tanulmányozása. A tervezett kutatások eredményeként új információkat nyerhetünk a fenti modellekről is. Eredményeinket nemzetközileg elismert folyóiratokban fogjuk publikálni és bemutatjuk nemzetközi konferenciákon.
Summary
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The aim of our research is to study the qualitative properties of the solutions of differential equations and differential inequalities. In the paper which serves as a basis of this project, we proved asymptotic formulas for the solutions of a nonautonomous linear delay differential equation. In the framework of the project, we would like to continue our research in this direction. Among others, we will study the asymptotic behavior and the convergence of the normalized positive solutions of nonautonomous linear cooperative differential equations, the relative stability of the positive equilibria of nonlinear delay differential equations and the differentiability with respect to parameters of parabolic partial differential equations with state-dependent delays. We will investigate Halanay type and more general differential inequalities which play an important role in the study of the solutions of differential equations.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. In general, we cannot give explicit formulas for the solutions of differential equations. Therefore it is important to describe the large time behavior of the solutions. Another important problem is to give easily verifiable criteria for the stability of the equilibria of nonlinear differential equations. Recently, there is a great interest in differential equations with state-dependent delays. The differentiability of the solutions with respect to parameters is one of the basic questions of the qualitative theory. We would like to answer this question for a class of parabolic partial differential equations with state-dependent delays. Since differential inequalities play an important role in the study of differential equations, we would like to prove new differential inequalities which include delays.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. Differential equations are used as models for processes in biology, engineering and economics. The important questions from applications are related to the qualitative properties of the solutions. We expect new results on the asymptotic behavior, stability and differentiability of the solutions with respect to patameters. The obtained results can be applied to model equations arising in biology, engineering and economics. The members of the research team have a successful cooperation for more than 25 years.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. Many processes in biology, engineering and economics are described by differential equations. We will study the properties of the solutions of differential equations. Since in general we cannot give exact formulas for the solutions, our aim is to give approximating (asymptotic) formulas, to study the stability and parameter dependence of the solutions. As a result of our research, we expect new information about the above models arising from applications. We will publish our results in international journals of a high standard and we will present them at international conferences.
Final report
Results in Hungarian
A pályázat keretében differenciálegyenletek és azok numerikus approximációjával adódó differenciaegyenletek kvalitatív tulajdonságait vizsgáltuk. Elegendő feltételeket adtunk lineáris késleltetett differenciálegyenletek oszcillációjára. Új stabilitási tételeket bizonyítottunk nemlineáris késleltetett differenciálegyenletek egy olyan osztályára, amelyik fontos szerepet játszik a reakciókinetikában. Új eredményekkel egészítettük ki az autonóm differenciaegyenletekre vonatkozó linearizált stabilitási tételt. Új konvergenciatételeket bizonyítottunk nemautonóm lineáris differenciálegyenletek egy osztályára, amelynek a multi-ágens rendszerek konszenzuselméletében és a reakciókinetikában is vannak alkalmazásai. Kutatásaink eredményeképpen 10 dolgozatot publikáltunk, amelyek többsége rangos nemzetközi folyóiratban jelent meg. Eredményeinkről beszámoltunk nemzetközi konferenciákon, hazai és külföldi egyetemek szemináriumain.
Results in English
In the framework of the project, we have studied the qualitative properties of differential equations and difference equations arising during numerical approximations. We have established sufficient conditions for the oscillation of linear delay differential equations. We have proved new stability theorems for a nonlinear delay differential equation which serves as a model in reaction kinetics. We have complemented the linearized stability theorem for autonomous difference equations with new results. We have proved new convergence theorems for a class of nonautonomous linear differential equations which has applications in the consensus theory of multi-agent systems and in reaction kinetics. We have published 10 papers, most of them appeared in international journals of high standard. Our results were presented in international conferences and in seminars of Hungarian and foreign universities.
