Finite geometry  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
43758
Type K
Principal investigator Szőnyi, Tamás
Title in Hungarian Véges geometria
Title in English Finite geometry
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Computer Science (Eötvös Loránd University)
Participants Barát, János
Gács, András
Kiss, György
Kovács, István
Mengyán, Csaba
Nagy, Gábor Péter
Révai, Nóra
Ruff, János
Sziklai, Péter
Weiner, Zsuzsanna
Wettl, Ferenc
Starting date 2003-01-01
Closing date 2007-12-31
Funding (in million HUF) 14.905
FTE (full time equivalent) 0.00
state closed project





 

Final report

  
Results in Hungarian
Megmutattuk, hogy négyzet q-ra PG(2,q)-ban 4qlog q és q^(3/2)-q+2q^(1/2) között minden méretű minimális lefogó ponthalmaz létezik, sőt egy kicsit szűkebb intervallum minden értékére q-ban több, mint polinomnyi. Magasabb dimenziós projektív terekben a hipersíkokat r modulo p pontban metsző halmazok méretére bizonyos esetekben éles alsó becslést adtunk, amely a maximális ívek nemlétezésére vonatkozó Ball-Blokhuis-Mazzocca tétel általánosítása. Ez osztható lineáris kódok hosszára az n legalább (r-1)q+(p-1)r alsó becslést adja, ahol r az az érték, amellyel n és minden kódszó súlya is osztható. Megmutattuk, hogy PG(2,q) reguláris szemioválisai csak az oválisok és az unitálok. Segre típusí eredményt sikerült belátni másodrendű kúpok részleges kúpszeletnyalábjaira. Kis minimális lefogó ponthalmazok struktúrájáról azt sikerült megmutatni, hogy ezek minden egyenest 1 modulo p^e pontban metszenek, ahol e osztja h-t, ha q=p^h. Ezen túlmenően, ha a metszet p^e+1 elemű, akkor az GF(p^e) feletti részegyenes. Kis t-szeres lefogó ponthalmazokra az egyenesekkel való metszetekre beláttuk, hogy azok modulo p t-vel kongruensek, ahol t a karakterisztika. Ha q páros, akkor stabilitási eredményt bizonyítottunk PG(2,q) páros halmazaira. Az eredmény négyzet q-ra éles, és B. Segre ívek beágyazásáról szóló híres tételét általánosítja. Megmutattuk, hogy a Q(4,q) általánosított négyszögben nincsenek q^2-1 pontú maximális parciális ovoidok.
Results in English
It was proven that in PG(2,q), q square, there is a minimal blocking set for any size between 4qlog q and q^(3/2)-q+2q^(1/2), Moreover, for a slightly smaller interval we also proved that the number of nonisomorphic minimal blocking sets of that size is more than polynomial in q. For sets intersecting all hyperplanes in r modulo p points we found a lower bound that is sharp in some cases. The proof generalizes the nonexistence of maximal arcs, due to Ball-Blokhuis-Mazzocca. For divisible linear codes it gives that the length is at least (r-1)q+(p-1)r, where divides the length and the weight of all codewords. We found that in PG(2,q) regular semiovals must be either ovals or unitals. We obtained a Segre type theorem for partial flocks of the quadratic cone. About the structure of small minimal blocking sets we obtained the following: each line intersects the set in 1 modulo p^e points, where e divides h and q=p^h. Furthermore, if the intersection has p^e+1 points, then it is a subline over GF(p^e). We proved that a small minimal t-fold blocking set intersects every line in t modulo p points, where p is the characteristics. For even q-s we proved a stability theorem for sets of even type in PG(2,q). The result is sharp when q is a square, and it generalizes a famous embeddability theorem for arcs, due to B. Segre. We also proved that the GQ Q(4,q) does not have maximal partial ovoids of size q^2-1.
Full text http://real.mtak.hu/1214/
Decision
Yes





 

List of publications

  
Barát, J, Marcugini, S, Pambianco, F, Szőnyi T: Note on disjoint blocking sets in Galois planes,, Journal of Combinatorial Designs, 14, 149-158, 2006
A Blokhuis; Kiss, Gy; Kovács, I; A Malnic; D Marusic; Ruff, J: Semiovals contained in the union of three concurrent lines, Journal of Combinatorial Designs, megjelenőben, 2007
Barát J; Edel Y; Hill R; Storme L: On complete caps in the projective geometries over F3, II: New improvements, J Comb Math Comb Comput 49, 9-31, 2004
Gács A: On a generalization of Rédeis theorem, Combinatorica 23, 585-598, 2003
Szőnyi T;Cossidente A; Gács A; Mengyán Cs; Siciliano A; Weiner Zs: On large minimal blocking sets in PG(2,q), J Comb Designs 13, 25-41, 2005
Weiner Zs: On (k, pe)-arcs in Desarguesian planes, Finite Fields Appl 10, 390-404, 2004
Weiner Zs: Small point sets of PG(n,q) intersecting each k-space in ..., Innovations in Incidence Geometry 1 171-180, 2005
Kiss Gy; Marcugini S; Pambianco F: On blocking sets in inversive planes, J Comb Designs 13 268-275, 2005
Kiss Gy: Amit jó tudni a kúpszeletekről I-II, KöMaL 54, 450-459 és 514-518, 2004
Nagy G P; Valsecchi M: Splitting automorphisms and Moufang loops, Glasgow Math J 46, 305-310, 2004
Nagy GP; Vojtechovsky P: Octonions and simple Moufang loops, Quasigroups and related systems 10, 65-94, 2003
Kovács I: Classifying arc-transitive circulants, Journal of Alg Combin 20, 353-358, 2004
Muzychuk M; Kovács I: A solution of a problem of A.E. Brouwer, Designs Codes and Cryptography 34 249-264, 2005
Kovács I: On the number of indecomposable S-rings over a cyclic 2-group, Seminaire Lotharingien de Combinatoire 51, Article B51h, 2005
Sziklai P: Partial flocks of the quadratic cone, J Comb Theory A 113, 698-702, 2006
Boros, E, Tichler, K, Szőnyi T: Defining sets for PG(2,q), Discrete Mathematics, 303, 17-31., 2005
Gács A: On regular semiovals in PG(2,q), Journal of Algebraic Combinatorics, 23, 71-77, 2006
Kiss Gy., Ruff J.: Notes on small semiovals, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 47, 97-105, 2004
Nagy G P: On the Structure and Number of Small Frattini Bol 2-loops, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 141, 409-419, 2006
Kiss, Gy: Small semiovals in PG(2,q), Journal of Geometry, megjelenőben, 2007
Nagy G P: Direct construction of code loops, Discrete Mathematics, megjelenőben, 2006
De Beule, J; Gács, A: Complete q^2-1-arcs of Q(4,q), Finite Fields and their Applications, megjelenőben, 2007
Nagy G P; Valsecchi, M: On nilpotent Moufang loops with central associators, Journal of Algebra 307, 547-564, 2007
Ball, S; Blokhuis, A; Gács, A; Sziklai, P; Weiner, Zs: On linear codes whose weights and length have a common divisor, Advances in Mathematics, megjelenőben, 2007
Sziklai, P: Flocks of cones of higher degree, , J. Algebraic Combin., megjelenőben, 2007
Fancsali, Sz, L; Sziklai, P: About Maximal Partial 2-Spreads in PG(3m-1,q) About Maximal Partial 2-Spreads in PG(3m-1,q), Innovations in Incidence Geometry, megjelenőben, 2007
Sziklai, P: A conjecture and a bound on the number of points of a plane curve About Maximal Partial 2-Spreads in PG(3m-1,q), Finite Field and their Applications, megjelenőben, 2007
Sziklai, P: Directions in AG(3,p) and their applications About Maximal Partial 2-Spreads in PG(3m-1,q), Note di Matematica 26, 121-130, 2006
Blokhuis, A; Lovász, L; Storme, L; Szőnyi T: On multiple blocking sets in Galois planes, Advances in Geometry 7, 39-53, 2007
Baker, C A; Bonato, A; Brown, J M N; Szőnyi T: Graphs with the n-e.c. adjacency property constructed from affine planes About Maximal Partial 2-Spreads in PG(3m-1,q), Discrete Mathematics, megjelenőben, 2007
Barát, J; Matousek, J; Wood, D R: Bounded-Degree Graphs have Arbitrarily Large Geometric Thickness, Electronic Journal of Combinatorics13, R3, 2006



Back »