Algebriaic methods in Galois-geometries  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
43772
Type F
Principal investigator Sziklai, Péter
Title in Hungarian Algebrai módszerek a Galois-geometriában
Title in English Algebriaic methods in Galois-geometries
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Computer Science (Eötvös Loránd University)
Participants Gács, András
Weiner, Zsuzsanna
Starting date 2003-01-01
Closing date 2007-06-30
Funding (in million HUF) 4.027
FTE (full time equivalent) 0.00
state closed project





 

Final report

  
Results in Hungarian
Páros q-ra stabilitási eredményt bizonyítottunk PG(2,q) páros halmazaira. Ez négyzet q-ra éles, és B. Segre ívek beágyazásáról szóló híres tételét általánosítja. Megmutattuk, hogy négyzet q-ra PG(2,q)-ban 4qlog q és q^(3/2)-q+2q^(1/2) között minden méretű minimális lefogó ponthalmaz létezik, sőt egy kicsit szűkebb intervallum minden értékére q-ban több, mint polinomnyi. Magasabb dimenziós projektív terekben a hipersíkokat r modulo p pontban metsző halmazok méretére bizonyos esetekben éles alsó becslést adtunk, amely a maximális ívek nemlétezésére vonatkozó Ball-Blokhuis-Mazzocca tétel általánosítása. Ez osztható lineáris kódok hosszára az n legalább (r-1)q+(p-1)r alsó becslést adja, ahol r az az érték, amellyel n és minden kódszó súlya is osztható. Megmutattuk, hogy PG(2,q) reguláris szemioválisai csak az oválisok és az unitálok. Segre típusú eredményt sikerült belátni másod és magasabbrendű kúpok részleges kúpszeletnyalábjaira. Kis minimális lefogó ponthalmazok struktúrájáról azt sikerült megmutatni, hogy ezek minden egyenest 1 modulo p^e pontban metszenek, ahol e osztja h-t, ha q=p^h. Ezen túlmenően, ha a metszet p^e+1 elemű, akkor az GF(p^e) feletti részegyenes. Kis t-szeres lefogó ponthalmazokra az egyenesekkel való metszetekre beláttuk, hogy azok modulo p t-vel kongruensek, ahol t a karakterisztika. Megmutattuk, hogy a Q(4,q) általánosított négyszögben nincsenek q^2-1 pontú maximális parciális ovoidok. PG(3m-1,q) síkokkal való részleges befedéseire adtunk konstrukciókat.
Results in English
For even q-s we proved a stability theorem for sets of even type in PG(2,q). The result is sharp when q is a square, and it generalizes a famous embeddability theorem for arcs, due to B. Segre. It was proven that in PG(2,q), q square, there is a minimal blocking set for any size between 4qlog q and q^(3/2)-q+2q^(1/2), Moreover, for a slightly smaller interval we also proved that the number of nonisomorphic minimal blocking sets of that size is more than polynomial in q. For sets intersecting all hyperplanes in r modulo p points we found a lower bound that is sharp in some cases. The proof generalizes the nonexistence of maximal arcs, due to Ball-Blokhuis-Mazzocca. For divisible linear codes it gives that the length is at least (r-1)q+(p-1)r, where divides the length and the weight of all codewords. We found that in PG(2,q) regular semiovals must be either ovals or unitals. We obtained a Segre type theorem for partial flocks of the quadratic and general cones. About the structure of small minimal blocking sets we obtained the following: each line intersects the set in 1 modulo p^e points, where e divides h and q=p^h. Furthermore, if the intersection has p^e+1 points, then it is a subline over GF(p^e). We proved that a small minimal t-fold blocking set intersects every line in t modulo p points, where p is the characteristics. We also proved that the GQ Q(4,q) does not have maximal partial ovoids of size q^2-1. We gave constructions for partial plane spreads of PG(3m-1,q).
Full text http://real.mtak.hu/1223/
Decision
Yes





 

List of publications

  
P. Sziklai: Partial flocks of the quadratic cone, J. Combin. Th. Ser. A, 2006
P. Ligeti, P. Sziklai: DNA-words and word posets, Fourth Hungarian-Japanese Symposium on Discrete Mathematics and Its Applications, Budapest, 2005., 2005
R. Limbek, P. Sziklai: Encrypting homomorphisms, HTE Communications, 2003/11, 42-48., 2003
P. Ligeti, P. Sziklai: Reconstruction from subwords, Proc. of 6th Int. Conf. on Appl. Informatics, 2004
P. Sziklai: Powers in finite fields, Third Hungarian-Japanese Symposium on Discrete Mathematics and Its Applications, Budapest, 2003., 2003
T. Szőnyi, A. Cossidente, A. Gács, Cs. Mengyán, A. Siciliano: On large minimal blocking sets in PG(2,q), J. of Combinatorial Designs 13 (2005), 25-41., 2005
Zs. Weiner: On (k,p^e)-arcs in Desarguesian planes, Finite Fields Appl. 10 (2004), no. 3, 390--404, 2004
J. Eisfeld, L. Storme, P. Sziklai: On the spectrum of the sizes of maximal partial line spreads in PG(2n,q), n>=3., Des. Codes Cryptogr. 36 (2005), no. 1, 101--110, 2005
P. Ligeti, P. Sziklai: Automorphisms of subword-posets, Discrete Mathematics Vol. 305, (2005), 372-378., 2005
A. Gács: On regular semiovals in PG(2,q), Journal of Algebraic Combinatorics 23, 71-77, 2006
Zs.Weiner: Small point sets of PG(n,q) intersecting each k-space in 1 modulo q^{1/2} points, Innovations in Incidence Geometry, 1 (2005), 171--180, 2005
J. De Beule, A. Gács: Complete $(q^2-1)$-arcs of $Q(4,q)$, Finite Fields and their Applications, 2007
S. Ball, A. Blokhuis, A. Gács, P. Sziklai, Zs. Weiner: On linear codes whose weights and length have a common divisor, Advances in Mathematics 211, 94-104, 2007
P. Sziklai: Flocks of cones of higher degree, J. Algebraic Combin., 25, 233-238, 2007
P. Ligeti, P. Sziklai: Generalized bounds for reconstruction of words, 5th Hungarian-Japanese Symposium on Discrete Mathematics and Its Applications, Sendai, 2007
Sz. L. Fancsali and P. Sziklai,: About Maximal Partial 2-Spreads in PG(3 m - 1,q), Innovations in Incidence Geometry, 4, 70-80, 2007
S. Ball, A. Gács, P. Sziklai: On linear combinations of permutation polynomials that are permutation polynomials, Journal of Combinatorial Theory Ser. A , to appear, 2008
T. Szőnyi, Zs. Weiner: On stability theorems in finite geometry, http://www.cs.elte.hu/~weiner/stab0725.pdf, 2007
A. Gács, T. Szőnyi: Random constructions and density results, Designs, Codes and Cryptography, submitted, 2008
S. Ferret, L. Storme, P. Sziklai, Zs. Weiner: A t (mod p) result on weighted multiple (n-k)-blocking sets in PG(n,q), Contributions to Discrete Mathemathics, submitted, 2007
P. Sziklai: Directions in AG(3,p) and their applications, Note di Matematica, Lecce, 26 (2006), 2006
P. Sziklai: A conjecture and a bound on the number of points of a plane curve, Finite Fieds Appl., to appear, 2007
A. Gács: On a generalization of Rédei s theorem, Combinatorica, 23 (2003), 585-598., 2003



Back »