Transformations of algebraic structures of linear operators
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Analysis (University of Debrecen)
Participants
Győry, Máté
Starting date
2004-01-01
Closing date
2008-12-31
Funding (in million HUF)
1.892
FTE (full time equivalent)
0.00
state
closed project
Final report
Results in Hungarian
A projekt során különféle megőrzési transzformációk szerkezetének
a meghatározásával foglalkoztunk elsősorban kvantumstruktúrákon. A
tekintett struktúrák a következők voltak: a kvantumállapotok
halmaza, az obszervábilisek tere, és az effektek halmaza.
Az elért számos eredményből a fenti területekre vonatkozóan
kiemelünk egy-egy fontosnak ítéltet:
(1) Az állapotok terén meghatároztuk a relatív entrópiát (ami a
kvantum-információelmélet alapvető fogalma) megőrző bijektív
transzformációkat.
(2) Az obszervábilisekkel kapcsolatban talán a legalapvetőbb
reláció a kommutativitás, melyet a kvantummechanikában
kompatibilitásnak neveznek. Egy dolgozatunkban leírtuk azon
(nemlineáris) bijekciók szerkezetét, melyek mindkét irányban
megőrzik ezt a relációt.
(3) Meghatároztuk az effektek halmazának azon bijektív
leképezéseit, melyek mindkét irányban megőrzik a spektrális
rendezést.
A témavezető 2005-ben megvédte akadémiai doktori értekezését, mely
munkát a Springer Kiadó 2006 végén könyv formájában megjelentett.
Az eltelt időszakban további 18 angol nyelvű dolgozatunk
született, melyek rangos nemzetközi folyóiratokban jelentek meg
illetve állnak megjelenés alatt. Az elért eredményekről több mint
20 nemzetközi konferencián illetve kül- és belföldi egyetem
szemináriumán tartottunk előadást.
Results in English
In this project we have dealt with structural problems concerning
a number of preserver transformations defined mainly on quantum
structures. These structures have been the following: the set of
quantum states, the space of observables and the set of effects.
From the many results that we have obtained, here we emphasize
only the following ones (one important result concerning each of
the structures mentioned above):
(1) We described the bijective transformations on the set of all
states which preserve the relative entropy (which is a fundamental
notion in quantum information theory).
(2) The probably most fundamental relation concerning observables
is the commutativity (this is called comparability in quantum
mechanics). We described the structure of those bijective
(nonlinear) maps which preserve this relation in both directions.
(3) We determined those bijective transformations on the set of
Hilbert space effects which preserve the spectral order in both
directions.
In 2005 the project leader defended his thesis for the DSc degree
of the Hungarian Academy of Sciences which work was published in
book form by Springer Verlag in 2006. We wrote additional 18 research
papers which were published or are
to appear in respected international journals. We gave more than
20 lectures on the obtained results at international conferences
and seminars of universities in Hungary and abroad.
Molnár, Lajos: Preserver Problems on Algebraic Structures of Linear Operators and on Function Spaces, http://www.math.klte.hu/~molnarl/doktori.pdf, 2004
Kovács, Endre; Molnár, Lajos: Preserving some numerical correspondences between Hilbert space effects, Rep. Math. Phys., 54 (2004), 201-209., 2004
Győry, Máté: On the transformations of the set of all n-dimensional subspaces of a Hilbert space, Publ. Math. (Debrecen) 65 (2004), 233-242., 2004
Győry, Máté: A new elementary proof for Wigner's theorem, Rep. Math. Phys. 54 (2004), 159-167., 2004
Molnár, Lajos and P. Semrl: Non-linear commutativity preserving maps on self-adjoint operators, Quart. J. Math. 56 (2005), 589-595., 2005
Győry, Máté: On the reflexivity of the isometry group of the suspension of B(H), Studia Math. 166 (2005) 287-303., 2005
Molnár, Lajos: Non-linear Jordan triple automorphisms of sets of self-adjoint matrices and operators, Studia Math., 173 (2006), 39-48., 2006
Molnár, Lajos: A remark to the Kochen-Specker theorem and some characterizations of the determinant on sets of Hermitian matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2006) 2839-2848., 2006
Molnár, Lajos and Timmermann, Werner: Transformations on the sets of states and density operators, Linear Algebra Appl. 418 (2006), 75-84., 2006
Molnár, Lajos: Multiplicative Jordan triple isomorphisms on the self-adjoint elements of von Neumann algebras, Linear Algebra Appl. 419 (2006), 586-600., 2006
Molnár, Lajos: Selected Preserver Problems on Algebraic Structures of Linear Operators and on Function Spaces, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1895, p.236, Springer, 2006., 2006
Molnár, Lajos and Semrl, Peter: Elementary operators on self-adjoint operators, J. Math. Anal. Appl. 327 (2007), 302-309, 2007
Molnár, Lajos and Timmermann, Werner: Mixture preserving maps on von Neumann algebra effects, Lett. Math. Phys. 79 (2007), 295-302, 2007
Molnár, Lajos and Semrl, Peter: Spectral order automorphisms of the spaces of Hilbert space effects and observables, Lett. Math. Phys. 80 (2007), 239-255, 2007
Dolinar, Gregor and Molnár, Lajos: Maps on quantum observables preserving the Gudder order, Rep. Math. Phys. 60 (2007), 159-166, 2007
Molnár, Lajos: Isometries of the spaces of bounded frame functions, J. Math. Anal. Appl. 338 (2008), 705-710, 2007
