Extremalis problémák többváltozós és súlyozott polinomokra
Title in English
Extremal problems for multivariate and weighted polynomials
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Participants
Szabados, József
Starting date
2005-01-01
Closing date
2008-12-31
Funding (in million HUF)
4.710
FTE (full time equivalent)
4.76
state
closed project
Final report
Results in Hungarian
Jól ismert hogy a többváltozós polinomok sűrűek a d-dimenziós kompakt halmazokon folytonos függvények terében. A többváltozós polinomok egy fontos részhalmaza a homogén polinomok osztálya. Igy természetesen felmerül az a kérdés, hogy igaz-e a sűrüség a homogén polinomokra? Egy ismert sejtés szerint a konvex felületeken folytonos függvények megközelíthetőek két homogén polinom összegével. A pályázat keretében két fontos új eredmény született
1) igazoltuk a sejtést tetszőleges sima ( egyértelmü támasz sikkal rendelkező) konvex testeken egyenletes normában
2) igazoltuk a sejtést teljes általánosságban Lp normában
Ezen kivül általánosított Freud súlyokra vonatkozó polinom-approximációs problémákat vizsgáltunk. Itt az általánosítás azt jelenti, hogy az eredeti Freud súlyokat megszorozzuk olyan un. általánosított polinomokkal, amelyeknek csak valós gyökeik vannak. A klasszikus polinom-egyenlotlenségek analogonjait, valamint direkt és fordított approximációs tételeket bizonyítottunk. Hibabecsléseket adtunk függvények súlyozott approximációjára Freud súlyok esetén, olyan egész függvényekkel történo approximáció esetén, amelyek véges, ill. végtelen sok pontban interpolálják a függvényt. Ezek a hibabecslések olyan súlyozott folytonossági modulusokat tartalmaznak, amelyeknél a polinom-suruség nem mindig garantált
Results in English
It is well known that multivariate polynomials are dense in the space of continuous functions on compact subsets of the d-dimensional space. An important family of multivariate polynomials is the space of all homogeneous polynomials. Thus it is natural to ask if the density holds for homogeneous polynomials. It has been conjectured that any function continuous on a convex surface can be approximated by sums of two homogeneous polynomials.
In the framework of the present project the above conjecture was verified in two new important cases:
1) the conjecture was verified for uniform norm on arbitrary regular convex bodies, i.e., in case when the body possesses a unique tangent plane at each point of its boundary
2) the conjecture was verified in full generality in the Lp norm
We also considered polynomial approximation problems on the real line with generalized Freud weights. The generalization means multiplying these weights by so-called generalized polynomials which have real roots only. Analogues of classical polynomial inequalities, as well as direct and converse approximation theorems were proved.
We gave error estimates for the weighted approximation of functions with Freud-type weights, by entire functions interpolating at finitely or infinitely many points on the real line. The error estimates involve weighted moduli of continuity corresponding to general Freud-type weights for which the density of polynomials is not always guaranteed.
G. Mastroianni, Szabados Jozsef: Direct and inverse polynomial approximation theorems on the real line, Frontiers in Interpolation and Approximation, 2006
Szabados József: Orthogonal Polynomials, A Panorama of Hungariam Mathematics in the Twentieth Century, 2005
Kroo Andras, Yuliya Babenko: Markov-type inequalities for homogeneous polynomials on nonsymmetric star-like domains, Frontiers on Interpolation and Approximation, 2006
Kroo Andras,: On norms of factors of multivarite polynomials, ETNA, 2006
Szabados Jozsef: A strong converse result for approximation by weighted Bernstein polynomials, Trends and Applications in Constructive Approximation, 2005
B.-Del;la Vecchia. G. Mastroianni, Szabados Jozsef: Weighted approximation of functions by Szasz-Mirakyan-type operators, Acta Math. Hungar., 2006
Szabados Jozsef, B. Della Vecchia, G. Mastroianni: A converse result for approximation by weighted szasz-mirakjan operators, Acta math. Hungar., 2008
Kroó András, E.B. Saff: Jackson-type theorems on some transcendental curves, J. Math. Anal. Appl. 301, 255-264., 2005
Kroó András, Szabados József: On density of homogeneous polynomials on convex and star-like surfaces, East J. Approx. 11, 381-404., 2005
A. Jakimovski, A. Sharma, Szabados Jozsef: Walsh Equiconvergence of Complex Interpolating Polynomials, Springer Mathematics Monographs, 2006
Kroo Andras, E.B. Saff, M. Yattselev: A Remez-type theorem for homogeneous polynomials, Journal of London Mathematical Society, 2006
Kroó András, F. Peherstorfer: Asymptotic representation of Lp-minimal polynomials, 1, Constructive Approximation, 2007
Kroó András: On the exact constant in the L2 markov inequality, Journal of Approximation Theory, 2008
Kroó András, Franz Peherstorfer: Asymptotic representation of weighted minimal polynomials, Math. proc. cambr. Philos. Soc., 2008
Kroó András, Szabados Jozsef: Jackson type theorems in homogeneous approximation, Journal of Approximation Theory, 2008
Szabados Jozsef: Weighted error estimates for approximation by Cesaro means of Fourier-Jacobi series in spaces of locally continuous functions, Analysis mathematica, 2008
