biliárdok, hiperbolicitás, ergodikus és statisztikus viselkedés, paraméter-függés, transzport jelenségek
Keywords in English
billiards, hyperbolicity, ergodic and statistical behavior, parameter dependence, transport phenomena
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Differential Equations (Budapest University of Technology and Economics)
Starting date
2006-02-01
Closing date
2009-12-31
Funding (in million HUF)
2.127
FTE (full time equivalent)
0.70
state
closed project
Summary in Hungarian
Pályázatom célja a hiperbolikus biliárdokhoz kapcsolódó eddigi kutatásaim folytatása, illetve azok új irányokba való továbbfejlesztése és alkalmazása. A kutatási feladatokat három nagyobb csoportba sorolnám be.
1. Hiperbolikus biliárdok vizsgálata modern eszközökkel. A felmerülő konkrét feladatok közül kiemelném a keverési sebesség vizsgálatát magas dimenziós puha biliárdokban, nem egyenletesen hiperbolikus biliárdok statisztikus tulajdonságainak (korreláció--lecsengés, határeloszlás--tételek) finom analízisét, valamint az exponenciális lecsengési sebesség kérdését egyenletesen hiperbolikus rendszerekre folytonos időben.
2. Nem tisztán hiperbolikus biliárdok. A paraméterfüggés vonatkozásában tervezem azoknak az ún. kevert fázisterű rendszereknek a vizsgálatát, amelyek akkor jelennek meg, ha egy tisztán hiperbolikus biliárdot folytonosan deformálunk teljesen integrálhatóvá. Ebben a kérdésben, akárcsak keménygolyó rendszerek vizsgálatakor különböző alakú tartályokban, fontos szerepe lehet a heurisztikus és/vagy számítógépes módszereknek, elsősorban a kutatás első fázisában.
3. Hiperbolikus biliárdok alkalmazásai transzportjelenségek vizsgálatára. A két konkrét vizsgálandó kérdéskör egyrészt a kiátlagolt mennyiségek (azaz a transzportegyütthatók) paraméter-függése erősen hiperbolikus biliárdokban, másrészt hővezetési jelenségek modellezése egyszerű rendszerek egydimenziós láncával.
Summary
The aim of the proposal is to continue ongoing research related to the theory of hyperbolic billiards with special emphasis put on extensions and applications into new directions. Issues to be investigated belong to the following three categories.
1. Modern tools in the theory of hyperbolic billiards. Some important questions are the rate of mixing in higher dimensional soft billiards, statistical properties (decay of correlations, limit theorems) in non-uniformly hyperbolic billiard systems and exponential decay of correlations in continuous time for uniformly hyperbolic ones.
2. Billiards with not purely hyperbolic behavior. With special emphasis on parameter dependence, systems of mixed phase space structure are to be examined, appearing typically when a hyperbolic billiard is continuously deformed into a completely integrable one. Investigation of hard ball systems in containers of various shape is planned as well. In the first phase of research simulations and heuristic arguments may play an important role.
3. Application of hyperbolic billiard theory to the description of transport phenomena. Two specific issues are on the one hand parameter dependence of avaraged quantities (i.e. transport coefficients) in strongly hyperbolic billiards and, on the other hand, modelling heat conductivity with one dimensional chains of simple systems.
Final report
Results in Hungarian
1. Egyenletesen hiperbolikus biliárdok. Tóth Imre Péterrel közösen elsőként sikerült magas dimenziós puha biliárdok egy osztályának hiberbolicitását belátni. Legfontosabb eredményünk, hogy magas dimenziós szóróbiliárdokra természetes feltételek mellett exponenciális korrelációlecsengést bizonyítottunk. Pavel Bachurinnal közösen a lokális ergodicitási tétel új bizonyítását adtuk ezekre a rendszerekre.
2. Gyengén hiperbolikus biliárdok. Sebastien Gouezellel közösen a Bunimovich stadionra igazoltunk nemstandard határeloszlástételt. Ian Melbourne-nel bizonyítottuk, hogy folytonos időben a cusp dinamikára gyors keverés és majdnem biztos invariancia elv teljesül. Tökbiliárdok kétparaméteres családjában az ergodicitáshoz és a KAM szigetekhez kapcsolódó bifurkációs jelenségeket tártunk fel Halász Miklóssal.
3. Statisztikus fizikai problémák. Tóth Bálinttal és Tóth Imre Péterrel kis tömeg határesetben adtunk a jelölt részecske aszimptotikus szórására új becsléseket a Rayleigh gázban. Kevin Linnel és Lai-Sang Younggal közösen egydimenziós hővezetési jelenségeket vizsgáltunk: bizonyítottuk, hogy egy a gerjesztés hiányában integrálható dinamika a hőtartályok hatására ergodikus invariáns mértékkel rendelkezik, valamint kimutattuk a lokális termikus egyensúly hiányát.
Results in English
1. Uniformly hyperbolic billiards. With Imre Péter Tóth we gave the first rigorous proof of hyperbolicity for a class of mutidimensional soft billiard models. Our most important result is, nonetheless, exponential decay of correlations under natural assumptions for multidimensional dispersing billiards. With Pavel Bachurin we also gave a new proof of the local ergodicity theorem for the same class of systems.
2. Weakly hyperbolic billiards. With Sebastien Gouezel we proved a non-standard limit theorem for the Bunimovich stadium. In a joint work with Ian Melbourne, rapid mixing and almost sure invariance principle is proved for billiards with cusps in continuous time. For the two parameter family of squash billiards with Miklós Halász we discuss bifurcation phenomena concerning ergodicity vs. KAM islands.
3. Problems in statistical physics. In the zero mass limit of the Rayleigh gas new estimates on the asymptotic variance of the tagged particle are given in a joint work with Bálint Tóth and Imre Péter Tóth. With Kevin Lin and Lai-Sang Young we study heat conductivity in one dimension: we prove that an integrable chain, when driven at the boundary, has a unique ergodic invariant measure, and the lack of local thermodynamical equilibrium is also shown.
Bálint Péter, Tóth Imre Péter: Hyperbolicity in multi-dimensional Hamiltonian sytems with applications to soft billiards, Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series A, 15 (2006) 37-59, 2006
Bálint Péter, Sebastien Gouezel: Limit theorems in the stadium billiard, Communications in Mathematical Physics, 263 (2006) 461-512, 2006
Bálint Péter, Tóth Bálint, Tóth Imre Péter: On the zero mass limit of tagged particle diffusion in the 1-d Rayleigh gas, Journal of Statistical Physics 127 (2007) 657-675, 2007
Bálint Péter, Tóth Imre Péter: Singularities and mixing in multi-dimensional dispersing billiards; in Oberwolfach Research Reports No. 33/2007, http://www.mfo.de/cgi-bin/path?cgi-bin/tagung_espe?type=21&tnr=0728, 2007
Tóth Bálint, Bálint Péter, Tóth Imre Péter: Tagged particle diffusion indeterministic dynamics – old and new results; in Oberwolfach Research Reports No. 42/2007, http://www.mfo.de/cgi-bin/tagung_espe?type=21&tnr=0735, 2007
Pavel Bachurin, Bálint Péter, Tóth Imre Péter: Local ergodicity for systems with growth properties including multi-dimensional dispersing billiards, Israel Journal of Mathematics, 167 (2008) 155-176, 2008
Bálint Péter, Tóth Imre Péter: Exponential decay of correlations in multi-dimensional dispersing billiards, Annales Henri Poincaré 9 (2008) 1309-1369, 2008
Bálint Péter, Ian Melbourne: Decay of correlations and invariance principles for dispersing billiards with cusps, and related planar billiard flows, Journal of Statistical Physics 133 (2008) 435-447, 2008
Bálint Péter, Tóth Imre Péter: An Application of Young's Tower Method: Exponential Decay of Correlations in Multidimensional Dispersing Billiards, ESI Preprint 2084, http://www.esi.ac.at/Preprint-shadows/esi2084.html, 2008
Bálint Péter, Kevin Lin, Lai-Sang Young: Ergodicity and Energy Distributions for some Boundary Driven Integrable Hamiltonian Chains, Communications in Mathematical Physics, 294, 199-228, 2010
