Asymptotic behaviour of interacting particle systems: fluctuations, limit distributions, hydrodynamic limits  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
60708
Type K
Principal investigator Tóth, Bálint
Title in Hungarian Kölcsönható részecskerendszerek aszimptotikus viselkedése: fluktuációk, határeloszlások, hidrodinamikai limeszek
Title in English Asymptotic behaviour of interacting particle systems: fluctuations, limit distributions, hydrodynamic limits
Keywords in Hungarian kölcsönható részecskerendszerek, fluktuációk, határeloszlásütételek, hidrodinamikai határátmenet, entrópia, bolyongások
Keywords in English interacting particle systems, fluctuations, limit theorems, hydrodynamic limits, entropy, random walks
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Panel Natural Sciences Committee Chairs
Department or equivalent Department of Stochastics (Budapest University of Technology and Economics)
Participants Balázs, Márton
Fritz, József
Nagy, Katalin
Rudas, Anna
Valkó, Benedek
Starting date 2006-03-01
Closing date 2012-02-29
Funding (in million HUF) 16.000
FTE (full time equivalent) 12.41
state closed project
Summary in Hungarian
Kölcsönható részecskerendszerek hidrodinamikai leírása: a nemegyensúlyi stat. fiz. matematikailag szigorú elméletének egyik centrális problémája a hidrodinamika parciális diffegyenleteinek levezetése mikroszkópikus elvekből. Hiperbolikus skálázású rendszerek esetén a hidrodinamikai limesz (hdl) elvben hiperbolikus megmaradási törvényekhez vezet. Ezek hírhedten nehéz pde problémák, mivel a megoldások tipikusan szingularitásokat, lökéshullámokat produkálnak. E pde-k levezetése hdl útján lényegében nyitott kérdés. Fritz, ill. Fritz és Tóth, továbbá egy kapcsolódó kérdéskörben Tóth és Valkó kut. tervben idézett frissebb eredményei jelentős előrelépések. E kutatások folytatását tervezzük: (1) Lax-Smoller maximum elvének mezoszkópikus verzióját tervezzük bizonyítani sztochasztikus hiperbolikus részecskerendszerekre, (2) Oleinik entrópia feltételének hasonló kiterjesztését tervezzük, (3) a lokális egyensúlyi eloszlástól való eltérés relatív entrópia becslését tervezzük a lökéshullámok tartományában. Szintén kölcsönható részecskerendszerek egyensúlyi és nemegyensúlyi fluktuációit vizsgáljuk. Balázs kut. tervben idézett cikkei a problémakör jelentős eredményei. E kutatásokat tervezzük folytatni. Főbb kérdések: (1) határeloszlástétel a részecskeáram fluktuációira a véletlen átlagolási folyamatban, (2) lökéshullámok mikroszkópikus struktúrájának vizsgálata a másodosztályú részecske módszerével, (3) a hidrodinamikai pde-ben megjelenő makroszkópikus fluxus konvexitásának vizsgálata.
Summary
Hydrodynamic description of interacting particle systems: derivation of the partial differential equations of hydrodynamics from microscopic principles is a central problem of mathematically rigorous fromulation of nonequilibrium statistical physics. Hydrodynamic limits (hdl) of interacting particle systems wich obey hyperbolic scaling lead to hyperbolic systems of conservation laws. These are notoriously difficult pde problems, since they typically produce singularities called shock waves. Derivation of these pde-s via hdl is essentially open. Recent results of Fritz, Fritz-Tóth, resp., Tóth-Valkó cited in the datailed research plan are important achievments. We plan continuation of this research: (1) we plan to prove a mezoscopic version of the Lax-Smoller maximum principle for hyperbolic interacting particle syetms; (2) we plan similar extension of the Oleinik entropy condition; (3) we plan to investigate the distance from the local equilibrium measure in the range of shock waves.
Equilibrium and non-equilibrium fluctuations of interacting particle systems: Recent papers of Balázs cited in the detailed research plan contain important results in this respect. We plan to continue this research. Main questions: (1) limit theorem for the particle flux in the random averaging process; (2) investigation of the microscopic structure of shock waves with help of second-class particles; (3) investigation of convexity of the macroscopic flux appearing in the hydrodynamic pde-s.




 

Final report

  
Results in Hungarian
Nem-reverzibilis kölcsönható részecske rendszerek dinamikájának létezését bizonyítottuk, ergodikus tulajdonságait vizsgáltuk, egyensúlyi fluktuációit írtuk le. A Kardar-Paris-Zhang fluktuációelmélet érvényességének bizonyításához járultunk hozzá. Statisztikus fizikából származó felcserélhető mértékekeket írtunk le. Hiperbolikus rendszerek hidrodinamikai limeszét írtuk le a kompenzált kompaktság módszerével és relaxációs sémával. Ön-taszító bolyongások és diffúziók aszimptotikus viselkedését vizsgáltuk. Egy és két dimenzióban szuperdiffúzív, három és magasabb dimenzióban diffúzív viselkedést bizonyítottunk. Kipnis-Varadhan típusú tétel feltételeit kiterjesztettük. Ön-kölcsönható bolyongások új osztályát vezettük be és vizsgáltuk. Véletlen hálózatok növekedésének hosszú idejű aszimptotikus viselkedését jellemeztük elágazó folyamatok általánosított elméletével. Önszervező kritikus viselkedést bizonyítottunk egy mean field erdőtűz-modellben (Erdős-Rényi véletlen gráf modell kiterjesztése) és az ún. fagyott perkoláció modellben. Sűrű gráfok gyenge limesz elméletét terjesztettük ki és alkalmaztuk dinamikusan fejlődő graf-modellre. A GUE (Gaussian Unitary Ensemble) és kapcsolódó véletlen mátrixok sajátértékeinek pont-folyamatára bizonyítottunk határeloszlás-tételeket a Brownian carousel folyamat bevezetésével. Véletlen Schrödinger operátorok spektrumának aszimptotikus viselkedését írtuk le. CDO matematikai modelljét írtuk le analitikusan és elemeztük numerikusan.
Results in English
We proved existence of dynamics for non-reversible interacting particle systems, investigated their ergodic properties, described their equilibrium fluctuations. We contributed to the proof of validity of Kardar-Parisi-Zhang fluctuation theory. We described the asymptotics of exchangeable measures from models of statistical physics. We established hydrodynamic limits for hyperbolic systems, by use of the method of compensated compactness and relaxation schemes. We investigated asymptotics of self-interacting random walks and diffusions with long memory. We proved superdiffusive, resp., diffusive behavior in one and two, resp., three and more dimensions. We extended the conditions of validity of a Kipnis-Varadhan type theorem. We introduced and investigated a new class of self-interacting random walks. We characterized long time asymptotics of randomly growing networks, using generalized branching processes. We proved self-organized criticality in a mean field forest fire model (extension of Erdős-Rényi random graph model) and in a frozen percolation model. We extended and applied the limit theory of dense graphs to dynamically evolving graph models. We proved limit theorems for the point process of eigenvalues of GUE and related random matrix models, by introducing and applying the Brownian Carousel process. We described the asymptotics of the spectrum of random Schrödinger operators. We provided a mathematical model of CDO and analyzed it numerically.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=60708
Decision
Yes





 

List of publications

  
Márton Balázs, Eric Cator, Timo Seppäläinen: Cube root fluctuations for the corner growth model associated to the exclusion process, Electronic Journal of Probability, Vol. 11 (2006), pp. 1094-1132, 2006
Márton Balázs, Firas Rassoul-Agha, Timo Seppäläinen: The random average process and random walk in a space-time random environment in one dimension, Communications in Mathematical Physics, Volume 266, Number 2, pp. 499-545. (2006), 2006
Siva Athreya, Sunder Sethuraman, Balint Toth: On the range, local times and periodicity of random walk on an interval, ALEA, Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics, vol. 8, pp. 269--284 (2011), 2011
Marton Balazs, Miklos Z. Racz, Balint Toth: Modeling flocks and prices: jumping particles with an attractive interaction, submitted for publication: 2011, 2012
Laure Dumaz, Bálint Tóth: Marginal densities of the "true" self-repelling motion, Submitted for publication: 2012, 2012
Illes Horvath, Balint Toth, Balint Veto: Relaxed sector condition, Submitted for publication: 2012, 2012
Jozsef Fritz: Compensated compactness and relaxation schemes at the microscopic level, Proceedings of the Conference Dedicated to Matyas Arato on the Occasion of his 80th Birthday (Ed.: I. Fazekas), 2012
Stepahnie Jacquot, Benedek Valko: Bulk scaling limit of the Laguerre ensemble, Electronic Journal of Probability, vol 16 (2011) pp. 314-346, 2011
Tadahiro Oh, Jeremy Quastel, Benedek Valkó, Balint Virág: Interpolation of Gibbs measures with white noise for Hamiltonian PDE, Journal de Mathématique Pure et Applique, vol. 97(4) pp. 391–410 (2012), 2012
Balázs Ráth: Time evolution of dense multigraph limits under edge-conservative preferential attachment dynamics, Random Structures and Algorithms (accepted for publication: 2011), 2012
Timo Seppäläinen, Benedek Valkó: Bounds for scaling exponents for a 1+1 dimensional directed polymer in a Brownian environment, ALEA - Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics, vol 10 (2010) 451-476, 2010
Marcell Stippinger, Eva Racz, Balint Veto, Zsolt Bihary: Analytic results and weighted Monte Carlo simulations for CDO pricing, European Physical Journal B (accepted for publication: 2011), 2012
Balint Tóth, Benedek Valkó: Superdiffusive bounds on self-repellent Brownian polymers and diffusion in the curl of the Gaussian free field in $d=2$, Journal of Statistical Physics (accepted for publication: 2012) DOI 10.1007/s10955-012-0462-5, 2012
E. Kritchevski, Benedek Valkó, Balint Virág: The scaling limit of the critical one-dimensional random Schrödinger operator, Communications in Mathematical Physics (accepted for publication: 2011), 2012
Carlos Hoppen, Yoshiharu Kohayakawa, Carlos Gustavo Moreira, Balazs Rath, Rudini Menezes Sampaio: Limits of permutation sequences, Submitted for publication: 2011, 2011
Anna Erschler, Balint Toth, Wendelin Werner: Some locally self-interacting walks on the integers, Festschrift for Erwin Bolthausen and Juergen Gaertner, Springer 2012, 2012
Anna Erschler, Balint Toth, Wendelin Werner: Stuck walks, Probability Theory and Related Fields (accepted for publication: 2011), DOI 10.1007/s00440-011-0365-4, 2012
József Fritz, Katalin Nagy, Stefano Olla: Equilibrium fluctuations for a system of harmonic oscillators with conservative noise, Journal of Statistical Physics (2006) Vol. 122. 399-415, 2006
Benedek Valkó: Hydrodynamic limit for perturbation of a hyperbolic equilibrium point in two-component systems, Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist. 42 (2006), no. 1, 61--80., 2006
Márton Balázs, Firas Rassoul-Agha, Timo Seppäläinen, Sunder Sethuraman: Existence of the zero range process and a deposition model with superlinear growth rates, The Annals of Probability, Vol. 35(4), pp. 1201-1249 (2007), 2007
József Fritz, Katalin Nagy: On uniqueness of the Euler limit of one-component lattice gas models, ALEA Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics, vol. 1, 367--392 (2006), 2006
Thomas M. Liggett, Jeffery E. Steif, Bálint Tóth: Statistical mechanical systems on complete graphs, infinite exchangeability, finite extensions and a discrete moment problem, The Annals of Probability, vol. 35, pp 867-914 (2007), 2007
Péter Bálint, Bálint Tóth, Péter Tóth: On the zero mass limit of tagged particle diffusion in the 1-d rayleigh gas, Journal of Statistical Physics, vol 127, pp 657--675 (2007), 2007
Anna Rudas, Bálint Tóth, Benedek Valkó: Random trees and general branching processes, Random Structures and Algorithms, vol. 31, no. 2, pp 186-202 (2007), 2007
Jeremy Quastel, Benedek Valkó: $t^{1/3}$ superdiffusivity of finite-range asymmetric exclusion processes on $\mathbb Z$, Communications in Mathematical Physics, vol. 273, pp 379-394 (2007), 2007
Márton Balázs, Timo Seppäläinen: Order of current variance and diffusivity in the asymmetric simple exclusion process, Annals of Mathematics, vol. 171 (2010) pp. 1237-1265, 2010
Márton Balázs, Timo Seppäläinen: Exact connections between current fluctuations and the second class particle in a class of deposition models, Journal of Statistical Physics, vol. 127, pp 431-455 (2007), 2007
Jeremy Quastel, Benedek Valkó: KdV preserves white noise, Communicatoins in Mathematical Physics, vol. 277 (2008), no. 2, 707-714., 2008
Bence Tóth, Bálint Tóth, János Kertész: Modeling the Epps effect of cross-correlations in asset prices, Fluctuations and Noise in Finance and Complex Systems, Florence 2007, Proceedings of SPIE Vol. 6601. Eds.: J. Kertész, R. Mantegna and S. Bornholdt, 2007
Bálint Tóth, Bálint Vető: Skorohod-reflection of Brownian Paths and BES^3, Acta Sci. Math (Szeged), vol. 73 (2007) 781-788, 2007
Jeremy Quastel, Benedek Valkó: A note on the diffusivity of finite-range asymmetric exclusion processes on Z, In: V. Sidoravicius, M.E. Vares (eds): In and Out of Equilibrium 2, Progress in Probability 60, pp.543-550, Birkhauser 2008, 2008
Márton Balázs, Timo Seppäläinen: A convexity property of expectations under exponential weights, preprint/unpublished, 2007
Balázs Ráth, Bálint Tóth: Triangle percolation in mean field random graphs - with PDE, Journal of Statistical Physics, vol. 131, pp. 385-391 (2008), 2008
Balázs Ráth, Bálint Tóth: Erdos-Renyi ramdom graphs + forest fires = self-organized criticality, Electronic Journal of Probability 14 (2009) pp. 1290-1327., 2009
Bálint Tóth, Bálint Vető: Self repelling random walk with directed edges on Z, Electronic Journal of Probability 13, pp. 1909–1926 (2008), 2008
Benedek Valkó, Bálint Virág: Continuum limits of random matrices and the Brownian carousel, Inventiones Mathematicae, 177 (2009) pp. 463-508., 2009
Christoph Bahadoran, József Fritz, Katalin Nagy: Relaxation scheme for interacting exclusions, Electronic J. Probab. vol. 16 (2011) 230--262, 2011
Péter Bálint, Bálint Tóth, Péter Tóth: Tagged particle diffusion in deterministic dynamics – old and new results, Oberwolfach Reports No. 42/2007, 2007
Márton Balázs, Júlia Komjáthy: Order of current variance and diffusivity in the rate one totally asymmetric zero range process, Journal of Statistical Physics, vol. 133 (2008) pp. 59-78, 2008
Anna Rudas, Bálint Tóth: Random tree growth with branching processes -- a survey, In: B. Bollobas, R. Kozma, D. Miklos (eds): Handbook of Large-Scale Random Networks; Bolyai Society Math. Studies vol.18; Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 2009, 2009
Márton Balázs, Timo Seppäläinen: Fluctuation bounds for the asymmetric simple exclusion process,, ALEA - Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics, vol. 6 (2009) pp. 1-24., 2009
Balázs Ráth: Mean field frozen percolation, Journal of Statistical Physics , vol. 137 (2009) pp. 459-499., 2009
Gideon Amir, Omer Angel, Benedek Valkó: The TASEP speed process, The Annals of Probability, vol. 39(4) pp. 1205-1242 (2011), 2011
Benedek Valkó, Bálint Virág: Large gaps between random eigenvalues, The Annals of Probability, vol. 38, no. 3, 1263-1279 (2010), 2010
Márton Balázs, Júlia Komjáthy, Timo Seppäläinen: Microscopic concavity and fluctuation bounds in a class of deposition processes, Annales de l'Institut Henri Poincare - Probabilites et Statistiques, vol. 48: (1) pp. 151-187. (2012), 2012
Márton Balázs, Júlia Komjáthy, Timo Seppalainen: Superdiffusivity and fluctuation bounds for the exponential bricklayers process, Journal of Statistical Physics (accepted for publication: 2012), 2012
József Fritz: Microscopic theory of isothermal elastodynamics, Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 201, pp. 209-249 (2011), 2011
Bálint Tóth, Bálint Vető: Continuous time "true self-avoiding" random walk on Z, ALEA, Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 8 (2011), 59-75, 2011
Pierre Tarres, Bálint Tóth, Benedek Valkó: Diffusivity bounds for 1d Brownian polymers, The Annals of Probability (accepted for publication: 2011), 2012
Márton Balázs, György Farkas, Péter Kovács, Attila Rákos: Random walk of second class particles in product shock measures, Journal of Statistical Physics, vol. 139 (2010) pp. 252-279., 2010
József Fritz: Hyperbolic scaling limits: The method of compensated compactness, Markov Processes Related Fields vol. 16 (2010) 117--138, 2010
Márton Balázs, Jeremy Quastel, Timo Seppäläinen: Scaling exponent for the Hopf-Cole solution of KPZ/Stochastic Burgers, Journal of the American Mathematical Society, vol. 24: pp. 683-708. (2011), 2011
József Fritz: Application of relaxation schemes in the microscopic theory of hydrodynamics, Moscow Mat. Journal vol. 10 (2010) 729--745, 2010
István Kolossváry, Balázs Ráth: Multigraph limits and exchangeability, Acta Mathematica Hungarica vol. 130, no. 1-2, pp. 1-34, 2011, 2011
Balázs Ráth, László Szakács: Multigraph limit of the dense configuration model and the preferential attachment graph, Acta Mathematica Hungarica (accepted for publication: 2011), 2012
Illés Horváth, Bálint Tóth, Bálint Vető: Diffusive limits for ``true'' (or myopic) self-avoiding random walks and self-repellent Brownian polymers in d>=3, Probability Theory and Related Fields (accepted for publication: 2011) DOI 10.1007/s00440-011-0358-3, 2012
Anna Rudas, Imre P. Tóth: Entropy and Hausdorff dimension in random growing trees, Stochastics and Dynamics (accepted for publication: 2011), 2012
Benedek Valkó, Bálint Virág: Random Schrodinger operators on long boxes, noise explosion and the GOE, (submitted for publication: in 2011), 2011
Balázs Ráth: Asymptotic Behavior of Random Graphs Evolving in Time (PhD Thesis), http://www.doktori.hu/index.php?menuid=193&vid=4477, 2010
Balint Veto: Asymptotic Behaviour of Random Walks with Long Memory (PhD thesis), http://www.doktori.hu/index.php?menuid=193&vid=7419, 2011



Back »