Department of Stochastics (Budapest University of Technology and Economics)
Participants
Balázs, Márton Fritz, József Nagy, Katalin Rudas, Anna Valkó, Benedek
Starting date
2006-03-01
Closing date
2012-02-29
Funding (in million HUF)
16.000
FTE (full time equivalent)
12.41
state
closed project
Summary in Hungarian
Kölcsönható részecskerendszerek hidrodinamikai leírása: a nemegyensúlyi stat. fiz. matematikailag szigorú elméletének egyik centrális problémája a hidrodinamika parciális diffegyenleteinek levezetése mikroszkópikus elvekből. Hiperbolikus skálázású rendszerek esetén a hidrodinamikai limesz (hdl) elvben hiperbolikus megmaradási törvényekhez vezet. Ezek hírhedten nehéz pde problémák, mivel a megoldások tipikusan szingularitásokat, lökéshullámokat produkálnak. E pde-k levezetése hdl útján lényegében nyitott kérdés. Fritz, ill. Fritz és Tóth, továbbá egy kapcsolódó kérdéskörben Tóth és Valkó kut. tervben idézett frissebb eredményei jelentős előrelépések. E kutatások folytatását tervezzük: (1) Lax-Smoller maximum elvének mezoszkópikus verzióját tervezzük bizonyítani sztochasztikus hiperbolikus részecskerendszerekre, (2) Oleinik entrópia feltételének hasonló kiterjesztését tervezzük, (3) a lokális egyensúlyi eloszlástól való eltérés relatív entrópia becslését tervezzük a lökéshullámok tartományában. Szintén kölcsönható részecskerendszerek egyensúlyi és nemegyensúlyi fluktuációit vizsgáljuk. Balázs kut. tervben idézett cikkei a problémakör jelentős eredményei. E kutatásokat tervezzük folytatni. Főbb kérdések: (1) határeloszlástétel a részecskeáram fluktuációira a véletlen átlagolási folyamatban, (2) lökéshullámok mikroszkópikus struktúrájának vizsgálata a másodosztályú részecske módszerével, (3) a hidrodinamikai pde-ben megjelenő makroszkópikus fluxus konvexitásának vizsgálata.
Summary
Hydrodynamic description of interacting particle systems: derivation of the partial differential equations of hydrodynamics from microscopic principles is a central problem of mathematically rigorous fromulation of nonequilibrium statistical physics. Hydrodynamic limits (hdl) of interacting particle systems wich obey hyperbolic scaling lead to hyperbolic systems of conservation laws. These are notoriously difficult pde problems, since they typically produce singularities called shock waves. Derivation of these pde-s via hdl is essentially open. Recent results of Fritz, Fritz-Tóth, resp., Tóth-Valkó cited in the datailed research plan are important achievments. We plan continuation of this research: (1) we plan to prove a mezoscopic version of the Lax-Smoller maximum principle for hyperbolic interacting particle syetms; (2) we plan similar extension of the Oleinik entropy condition; (3) we plan to investigate the distance from the local equilibrium measure in the range of shock waves. Equilibrium and non-equilibrium fluctuations of interacting particle systems: Recent papers of Balázs cited in the detailed research plan contain important results in this respect. We plan to continue this research. Main questions: (1) limit theorem for the particle flux in the random averaging process; (2) investigation of the microscopic structure of shock waves with help of second-class particles; (3) investigation of convexity of the macroscopic flux appearing in the hydrodynamic pde-s.
Final report
Results in Hungarian
Nem-reverzibilis kölcsönható részecske rendszerek dinamikájának létezését bizonyítottuk, ergodikus tulajdonságait vizsgáltuk, egyensúlyi fluktuációit írtuk le. A Kardar-Paris-Zhang fluktuációelmélet érvényességének bizonyításához járultunk hozzá. Statisztikus fizikából származó felcserélhető mértékekeket írtunk le. Hiperbolikus rendszerek hidrodinamikai limeszét írtuk le a kompenzált kompaktság módszerével és relaxációs sémával.
Ön-taszító bolyongások és diffúziók aszimptotikus viselkedését vizsgáltuk. Egy és két dimenzióban szuperdiffúzív, három és magasabb dimenzióban diffúzív viselkedést bizonyítottunk. Kipnis-Varadhan típusú tétel feltételeit kiterjesztettük. Ön-kölcsönható bolyongások új osztályát vezettük be és vizsgáltuk.
Véletlen hálózatok növekedésének hosszú idejű aszimptotikus viselkedését jellemeztük elágazó folyamatok általánosított elméletével. Önszervező kritikus viselkedést bizonyítottunk egy mean field erdőtűz-modellben (Erdős-Rényi véletlen gráf modell kiterjesztése) és az ún. fagyott perkoláció modellben. Sűrű gráfok gyenge limesz elméletét terjesztettük ki és alkalmaztuk dinamikusan fejlődő graf-modellre.
A GUE (Gaussian Unitary Ensemble) és kapcsolódó véletlen mátrixok sajátértékeinek pont-folyamatára bizonyítottunk határeloszlás-tételeket a Brownian carousel folyamat bevezetésével. Véletlen Schrödinger operátorok spektrumának aszimptotikus viselkedését írtuk le.
CDO matematikai modelljét írtuk le analitikusan és elemeztük numerikusan.
Results in English
We proved existence of dynamics for non-reversible interacting particle systems, investigated their ergodic properties, described their equilibrium fluctuations. We contributed to the proof of validity of Kardar-Parisi-Zhang fluctuation theory. We described the asymptotics of exchangeable measures from models of statistical physics. We established hydrodynamic limits for hyperbolic systems, by use of the method of compensated compactness and relaxation schemes.
We investigated asymptotics of self-interacting random walks and diffusions with long memory. We proved superdiffusive, resp., diffusive behavior in one and two, resp., three and more dimensions. We extended the conditions of validity of a Kipnis-Varadhan type theorem. We introduced and investigated a new class of self-interacting random walks.
We characterized long time asymptotics of randomly growing networks, using generalized branching processes. We proved self-organized criticality in a mean field forest fire model (extension of Erdős-Rényi random graph model) and in a frozen percolation model. We extended and applied the limit theory of dense graphs to dynamically evolving graph models.
We proved limit theorems for the point process of eigenvalues of GUE and related random matrix models, by introducing and applying the Brownian Carousel process. We described the asymptotics of the spectrum of random Schrödinger operators.
We provided a mathematical model of CDO and analyzed it numerically.
Anna Erschler, Balint Toth, Wendelin Werner: Stuck walks, Probability Theory and Related Fields (accepted for publication: 2011), DOI 10.1007/s00440-011-0365-4, 2012
Jeremy Quastel, Benedek Valkó: KdV preserves white noise, Communicatoins in Mathematical Physics, vol. 277 (2008), no. 2, 707-714., 2008
Bence Tóth, Bálint Tóth, János Kertész: Modeling the Epps effect of cross-correlations in asset prices, Fluctuations and Noise in Finance and Complex Systems, Florence 2007, Proceedings of SPIE Vol. 6601. Eds.: J. Kertész, R. Mantegna and S. Bornholdt, 2007
Péter Bálint, Bálint Tóth, Péter Tóth: Tagged particle diffusion in deterministic dynamics – old and new results, Oberwolfach Reports No. 42/2007, 2007
Anna Rudas, Bálint Tóth: Random tree growth with branching processes -- a survey, In: B. Bollobas, R. Kozma, D. Miklos (eds): Handbook of Large-Scale Random Networks; Bolyai Society Math. Studies vol.18; Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 2009, 2009
