Algebraic investigations with ring theoretical methods  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
61007
Type K
Principal investigator Pham Ngoc, Ánh
Title in Hungarian Algebrai vizsgálatok gyűrűelméleti módszerekkel
Title in English Algebraic investigations with ring theoretical methods
Keywords in Hungarian gyűrű, ideál, csoport, félcsoport
Keywords in English rings, ideals, groups, semigroups
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Participants Braun, Gábor
Márki, László
Nguyen, Van Loi
Szigeti, Jenő
Wiegandt, Richárd
Starting date 2006-02-01
Closing date 2010-06-30
Funding (in million HUF) 16.788
FTE (full time equivalent) 6.16
state closed project
Summary in Hungarian
A C*-algebrák elméletében fontos szerepet játszó Cuntz-algebra algebrai megfelelője a Leavitt-algebra. Így érdekes az analóg kérdések vizsgálata Leavitt-algebrákra, de még Cohn-algebrákra is. Különösen érdekes, hogy a C*-algebrai eszközöknek mennyire van tisztán algebrai megfelelőjük, például a topológiai K-elmélet módszerei mennyire alkalmazhatók az algebrai K-elméletben.

Ezen kutatások fő kérdése a Leavitt- és a Cohn-algebrák mátrixtípusának a meghatározása és olyan, előírt mátrix- és modulustípusú algebrákat konstruálni, amelyek lehetőség szerint csak kevéssé térnek el a Leavitt- és Cohn-algebráktól.

Az E Grassmann-algebra és néhány szupermátrixokból álló algebra vizsgálata a központi eleme Kemer polinomazonosságokról szóló elméletének. Ezek polinomazonosságairól csak keveset tudunk, például az Mn(E) azonosságainak legkisebb foka nem ismert, ha n=3. Az ismert alsó és felső becsléseken szeretnénk javítani. Lie-nilpotens és Z2-fokszámozott algebrák feletti mátrixgyűrűkre ez várhatóan sikerül Lie-nilpotens determinánsok és társmátrixok segítségével. Mindkét fogalmat Szigeti vezette be. Ezenkívül gráfelméletet
szeretnénk alkalmazni PI-algebrák kodimenzióelméletében.

Nemrégen Janelidze és Márki új megközelítést talált a Kuros--Amitsur radikál fogalmához: az ezek kapcsán fellépő rövid egzakt sorozatokban kifejezhető összefüggéseket kombinatorikus szemszögből írták le. Az ott megkezdett vizsgálat folytatását tervezzük rövid egzakt sorozatok szimpliciális halmazainak a segítségével, ezzel a radikálelméletnek új, geometriai-topológiai hátteret is adva. Ezeket a vizsgálatokat félig-Abel-kategóriákkal is kapcsolatba kívánjuk hozni. Ezt a fogalmat - MacLane egy 50 éves kérdését megválaszolva - Janelidze, Márki és Tholen vezette be.
Summary
The Cuntz algebra On corresponds algebraically to the earlier defined Leavitt algebra L(1,n-1). By the main results of the famous Elliott program, On is isomorphic to the dxd matrix rings over it iff d and n are coprime. Moreover, the Cuntz algebra On is isomorphic to all of its tensor powers. It is very interesting to investigate the corresponding questions for Leavitt algebras or even for the so-called Cohn algebras. It would be particularly important to carry over results and methods of topological K-theory for C* algebras, namely Cuntz algebras, to algebraic K-theory for both Leavitt algebras and Cohn algebras. We want to determine the matrix type of the latter algebras as well as to construct algebras with prescribed matrix and basis types as close to Leavitt and Cohn algebras as possible.

The Grassmann algebra and certain subalgebras consisting of supermatrices play a central role in Kemer's theory of polynomial identity rings. Our understanding of their polynomial identities is very limited, even in the case of ordinary matrices. Thus any result about the algebraic properties of matrices over a Grassmann algebra E is of great importance. For instance, the minimal degree of an identity satisfied by Mn(E) is unknown for n=$. We plan to improve the known upper and lower bounds of this degree. Using Lie nilpotent determinants and companion matrices (both introduced by J. Szigeti), there is a hope to derive some properties of matrices over Lie nilpotent and Z2-graded algebras. Further efforts are planned towards applying graph theory in the codimension theory of PI algebras.




 

Final report

  
Results in Hungarian
A Leavitt-algebrák, sőt bizonyos egyszerű Leavitt- útalgebrák elméletében a K-elméletük egyértelműen jellemzi őket, amiből új, konstruktív teljesen algebrai, illv. gráfelméleti bizonyítást adtunk arra, hogy a Cuntz-algebrákat teljesen meghatározza a (topológiai) K-elméletük. Bebizonyítottuk Leavitt útalgebrákra a C*-algebrák elméletében fontos és nagyon hasznos ún. Gauge-invariant Uniqueness Theorem algebrai változatát, amely adja a fent említett gráfelméleti biyonyítást. Szép eredménzeket értünk el mind PI-gyűrűk mind féligegyszerű modulus nilpotens endomorfizmusainak illv. Jordan normal alakjainak struktuális vizsgálatában. Új Cayley-Hamilton azonosságot találtunk és leírjuk bizonyos ún. erősen felbonthatatlan gyűrűk feletti általánosított felső háromszög 2x2 mátrixgyűrűk automorfizmuscsoportját. A kommutatív aritmetikai gyűrűk oszthatósági elméletét Bezout monoidként vizsgálva, szűrők és m-prím szűrők felhasználásával, leírjuk a homomorfizmusaikat és minden féligöröklődő Bezout S monoidra konstruálunk egy féligöröklődő Bezout gyűrűt, amelynek S az oszthatósági elmélete. Fontos lépéseket tettünk a félig-Abel kategóriák elméletében, valamint a faktorizációs rendszerek, Kuros-Amitsur radikálok és szimpliciális halmazok kapcsolatában. Igazoltuk a Kimmerle sejtését az egyszerű Mathieu M_12 és a Higman-Sims egyszerű csoportokra. Reguláris lambdára a kotorziócsoport lamdba-tiszta projktív dimenzió > 1 szükséges és elégséges feltételét adtuk.
Results in English
Leavitt algebras, even certain simple Leavitt pathalgebras are determined uniquely by their K-theory. This provides 2 new constructive completely algebraic and graph theoretic proof , respectively, to the result that their K-theory determines uniquely the Cuntz algebras. We used the algebraic version of the Gauge-invariant Uniqueness Theorem which is very important and useful for C*-algebras for the graph theoretic proof of the above mentioned result. We have nice results on the structure of both PI-rings and nilpotent endomorphisms of semisimple modules , their Jormal normal forms. We obtain new Cayley-Hamilton identity, the as well as a desciption of the automorphism group of 2 by 2 generalized upper triangular matrix rings over so-called strongly indecomposable rings. Considering divisibility theory of commutative arithmetical rings as Bezout monoids, by using filters and m-prime filters one can describe their homomorphisms and construct a Bezout semihereditary ring with the predescribed semihereditary Bezout monoid as its divisibility theory. There are important progress in the theory of semi-abelian categories, the relation between factorization systems, Kurosh-Amitsur radicals and simplicial sets. Kimmerle conjecture is verified for both the simple Mathieu group M_12 and the simple Higman-Sims group. We give a necessary and sufficient condition for a lambda-pure projective dimension > 1 in the case of cotorsion groups and regular lambda.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=61007
Decision
Yes





 

List of publications

  
Anh P. N., Márki L., Vámos P.: Divisibility theory in commutative rings: Bezout monoids, Proc. Internat. Conf. "Modern Algebra and its Applications" (Batumi, 2010), 2010
Bovdi V.; Konovalov A.; Siciliano S.: Integral group ring of the Mathieu simple group M12, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 56, 125 -- 136, 2007
Bovdi V.; Srivastava J.B.: Lie nilpotency indices of modular group algebras, Algebra Colloq. 17(1), 17 -- 26, 2010
Szigeti J.: Cayley-Hamilton theorem for matrices over an arbitrary ring, Serdica 32, 269-276, 2006
Szigeti J.; van Wyk, L.: Subrings which are closed with respect to taking the inverse, J. Algebra 318, 1068 -- 1076, 2007
Foldes S., Szigeti J.: A half-space approach to order dimension, Order 24, 59 -- 73, 2007
G. Abrams, P. N. Ánh, E. Pardo: Isomorphisms between Leavitt algebras and their matrices, J. Reine Angew. Math. 624, 103 --132, 2008
G. Abrams, P. N. Ánh, A. Louly and E. Pardo: The classification question for Leavitt path algebras, J. Algebra 320(5), 1983 -- 2026, 2008
Meyer J., Szigeti J., L. van Wyk: On ideals of triangular matrix rings, Periodica Math. Hung. 59(1), 109 -- 115, 2009
Janelidge G., Márki L. és Ursini A.: Ideals and clots in pointed regular categories, Appl. Categ. Struct. 17, 345 -- 350, 2009
Foldes S., Szigeti J.: maximal compatible extensions of partial orders, J. Australian Math. Soc., vol. 26, 245 -- 253, 2006
Szigeti J.: Linear algebra in lattices and nilpotent endomorphisms of semisimple modules, J. Algebra 319, 296 -- 308, 2008
Foldes S., Szigeti J., L. van Wyk: Invertibility and dedekind finiteness in structural matrix rings, Linear and multilinear Algebra (to appear), 2010
Drensky V., Szigeti J., van Wyk, L.: Algebras generated by two quadratic elements, Comm. Algebra (to appear), 2010
Drensky V., Szigeti J., van Wyk, L.: Centralizers in endomorphism rings, J. Algebra (to appear), 2010
Janelidge G., Márki L. és Ursini A.: Ideals and clots in universal algebra and in semi-abelian categories, J. Algebra 307, 191 --208, 2007
Janelidge G., Márki L.: A simplicial approach to factorization systems and Kurosh -- Amitsur radicals, J. Pure Appl. Algebra 213, 2229 --2237, 2009
Janelidge G., Márki L., Tholen W., A. Ursini: Ideal determined categories, Cahiers Top. Géom. Diff. Cat. 51, 115 -- 125, 2010
Anh P. N., Márki L., Vámos P.: Divisibility theory in commutative rings: Bezout monoids, Trans. Amer. Math. Soc . (to appear), 2010
Janelidge G., Laan V., Márki L.: Limit preservation properties of the greatest semilattice image functor, Internat. J. Alg. Comput. 18, 853 -- 867, 2008
Bovdi V., Konovalov A. B.: Torsion units in Integral group ring of Hogman--Sims simple group, Studia Scientiarum Math. Hungar. 47(1), 1 -- 11, 2010
Anh P. N., Siddoway M.: Divisibility theory of semi-hereditary rings, Proc. AMS 138, 4231 -- 4242, 2010
Anh P. N., L. van Wyk: Automorphism groups of generalized triangular matrix rings, Lin. Algebra Appl. (to appear), 2010
Braun G., Göbel R.: Splitting kernels into small summands, Israel J. Math., 2010



Back »