Nonsmooth analysis and its applications  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
62316
Type K
Principal investigator Páles, Zsolt
Title in Hungarian Nemsima analízis és alkalmazásai
Title in English Nonsmooth analysis and its applications
Keywords in Hungarian optimalizálás, modellezés, konvexitás, regularitás-elmélet, stabilitás
Keywords in English optimization, modelling, convexity, regularity theory, stability
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)75 %
Operational Research (Council of Physical Sciences)25 %
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Institute of Mathematics (University of Debrecen)
Participants Boros, Zoltán
Gilányi, Attila
Házy, Attila
Maksa, Gyula
Starting date 2006-03-01
Closing date 2010-02-28
Funding (in million HUF) 15.127
FTE (full time equivalent) 7.83
state closed project
Summary in Hungarian
A nemsima analízis a múlt század hetvenes éveiben alakult ki olyan elméleti és alkalmazott matematikai problémák vizsgálatára, amelyekben az előforduló objektumok (függvények, halmazok) simaságának (differenciálhatóságának, érintőtere létezésének) a feltételezése nem adekvát. Az ilyen vizsgálatok szükségszerűen elvezetnek a függvények első és a magasabbrendű deriváltjának különböző általánosításaihoz, valamint halmazokhoz rendelt első és magasabbrendű érintőkúpok, érintősokaságok értelmezéséhez. Az ezekkel az új fogalmakkal való kalkulus kiépítése, ezeknek a fogalmaknak a (sokszor meglepő) alkalmazása jelenti a nemsima analízis lényegét. A pályázat keretében olyan problémákkal kivánunk foglalkozni, amelyek valamilyen értelemben kapcsolódnak a nemsima, és konvex analízishez is, és amelyek vizsgálata elméleti és gyakorlati alkalmazásaik miatt egyaránt fontos. Kutatási elképzeléseinket négy témakör köré csoportítva adhatjuk meg.
-- A Lagrange-féle multiplikátor tétel magasabbrendű általánosításainak a kidolgozása, és ezek alkalmazása az irányításelméleti problémákra gyenge lokális és erős extrémumra vonatkozó feladatokban egyaránt.
-- A Beckenbach-féle, Csebisev-rendszerekre nézve vett másod- és magasabbrendben Jensen-, Wright-, t- és más értelemben konvex függvények vizsgálata, a konvexitás jellemzése alkalmasan értelmezett deriváltakkal.
-- Függvényiterációt tartalmazó egyenletek regularitási kérdéseinek a vizsgálata.
-- Egyenletek és egyenlőtlenségek stabilitási kérdéseinek a vizsgálata.
Summary
The nonsmooth analysis launched in the seventies of the last century in order to attack both theoretical and applied mathematical problems where the assumption of smoothness (differentiability, existence of tangent manifold, etc.) of the data (i.e., the functions and sets involved) is not adequate. The investigations then necessarily lead to various generalizations of the notions of the first and higher-order derivatives as well as to various notions about tangent manifolds. The calculus developed for these new concepts, its (sometimes surprising) applications mean the essence of nonsmooth analysis. In the framework of this proposal we intend do deal with problems that are related to nonsmooth and convex analysis in some sense and are of great importance from the point of theoretical and practical applications. The main aims can be grouped into four topics.
-- First- and higher-order generalizations of the Lagrange multiplier rule and their applications to the weak and strong local optimality problems of optimal control.
-- Investigation and various characterizations of second and higher-order (Jensen-, Wright-, t-) convexity in the sense of Beckenbach, Chebyshev. Construction of appropriate derivatives.
-- Regularity problems of equations involving iterations of the unknown functions.
-- Stability problems of equations and inequalities.




 

Final report

  
Results in Hungarian
A Clarke-féle általánosított derivált fogalmat (amely a lokálisan Lipschitz véges dimenziós normált terek között ható függvényekhez társít egy mátrix-halmazértékű deriváltat), általánosítottuk végtelen dimenziós normált tereken értelmezett és duális térként előálló Banach-terekbe képező lokálisan Lipschitz függvényekre, továbbá kidolgoztuk erre az új fogalomra vonatkozó kalkulus szabályok egy teljes spektrumát: összeg-szabály és lánc-szabály, részenként sima függvények differenciálása. Bebizonyítottuk, hogy az így nyert operátor-halmazértékű deriválta legszűkebb szekvenciálisan felülről folytonos halmazértékű szigorú Hadamard-féle prederivált. Vizsgáltuk a konvexitás különböző általánosításait, ezen belül a Jensen-konvex és a t-konvexitás perturbációs tulajdonságait és stabilitását. Ilyen tulajdonságú függvényekre Bernstein-Doetsch-típusú regularitási tételeket igazoltunk. Bevezettük a Q-szubdifferenciál fogalmát, és segítségével a Jensen-konvexitást a Q-szubdifferenciál monotonitásával jellemeztük. A magasabb-rendben Wright-konvex függvényekről megmutattuk, hogy előállnak egy ugyanolyan rendben konvex és egy polinomiális függvény összegeként. Különböző kétváltozós középérték-osztályokban vizsgáltuk az egyenlőségi, homogenitási és összehasonlítási problémákat, valamint az invariancia-egyenlet teljesülésének feltételeit.
Results in English
Clarke's generalized Jacobian (which assigns a matrix-set-valued derivative to locally Lipschitzian functions acting between finite dimensional normed spaces) was extended to the setting when the domain space is an arbitrary normed space and the range space is a conjugate space of a normed space. The collection of calculus rules (sum and chain rule, derivative for piecewise smooth functions) was also elaborated. It was also shown that this new derivative is the smallest sequentially upper semicontinuous set-valued function which is a Hadamard-type prederivative. Various generalizations of convexity, perturbation and stability properties of convex and monotone functions were investigated. The perturbations of convex, Jensen-convex, and t-convex functions in terms of sums of bounded and Lipschitz functions were described. Regularity theorems of Bernstein-Doetsch type were also obtained. The theory of Q-subdifferential was developed and Jensen-convexity was characterized as a monotonicity property of this subdifferential. The higher-order Wright-convex functions were characterized as the sum of a higher-order convex and a polynomial function. The equality, homogeneity and comparison problem as well as the invariance equation was considered and solved in various classes of two-variable means.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=62316
Decision
Yes





 

List of publications

  
A. Házy: On the stability of t-convex functions, Aequationes Math. 74, No. 3, 210–218, 2007
A. Házy: On regularity properties of approximately t-convex functions, Proc. MicroCAD 2006 Int. Sci. Conf., volume G, pages 43–49, 2006
A. Házy: On stability of t-convexity, Proc. MicroCAD 2007 Int. Sci. Conf., volume G, pages 23–28, 2007
A. Házy: On a certain stability of the Hermite–Hadamard inequality, Proc. MicroCAD 2008 Int. Sci. Conf., volume G, pages 9–14, 2008
A. Házy: Bernstein–Doetsch type results for Breckner s-convex functions, Proc. MicroCAD 2009 Int. Sci. Conf., volume G, pages 17–22, 2009
A. Házy: Inequalities for s-convex functions, Proc. MicroCAD 2009 Int. Sci. Conf., volume G, pages 23–28, 2009
A. Házy: Bernstein–Doetsch type results for generalized approximately convex functions, Proc. MicroCAD 2010 Int. Sci. Conf., volume H, pages 27–32, 2010
A. Házy: Bernstein–Doetsch type results for h-convex functions, Math. Inequal. Appl., accepted, 2010
A. Házy, P. Burai: Bernstein–Doetsch type results for generalized convex function, Proc. 12th Symp. Math. Appl. "Politehnica" (November 5-7, 2009), 2010
N. K. Agbeko, A. Házy: An algorithmic determination of optimal measure from data and an application, Proc. MicroCAD 2010 Int. Sci. Conf., volume H, pages 17–22, 2010
N. K. Agbeko, A. Házy: An algorithmic determination of optimal measure from data and some applications, Acta Math. Acad. Paedagog. Nyíregyháziensis, accepted, 2010
M. Adamek, A. Gilányi, K. Nikodem, Zs. Páles: A note on three-parameter families and generalized convex functions, J. Math. Anal. Appl. 330, no. 2, 829-835, 2007
M. Bessenyei, Zs. Páles: Characterizations of convexity via Hadamard's inequality, Math. Inequal. Appl. 9, no. 3, 53-62, 2006
Z. Boros, Z. Daróczy: A composite functional equation with additive solutions, Publ. Math. Debrecen 69, no. 1-2, 245-253, 2006
Z. Boros, Zs. Páles: Q-subdifferential of Jensen-convex functions, J. Math. Anal. Appl. 321, 99-113, 2006
P. Czinder, Zs. Páles: Some comparison inequalities for Gini and Stolarsky means, Math. Inequal. Appl. 9, no. 4, 607-616, 2006
Z. Daróczy, K. Lajkó, R. L. Lovas, Gy. Maksa, Zs. Páles: Functional equations involving means, Acta Math. Hungar. 116, no. 1-2,79-87, 2007
Z. Daróczy, Gy. Maksa, Zs. Páles: Functional equations involving means and their Gauss composition, Proc. Amer. Math. Soc. 134, no. 2, 521-530, 2006
Z. Makó, Zs. Páles: On Lipschitz perturbation of monotonic functions, Acta Math. Hungar. 113, no. 1-2, 1-18, 2006
Gy. Maksa, E. Nizsalóczki: Quasi-sums in several variables, Acta Math. Acad. Paedagog. Nyházi. (N.S.) 22, no. 2, 193-207, 2006
K. Nikodem, Zs. Páles: Generalized convexity and separation theorems, J. Conv. Anal. 14, no. 2, 239-248, 2007
Zs. Páles: Abstract control problems with nonsmooth data, Recent Advances in Optimization. (A. Seeger, ed.), Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems, vol. 563, Springer, pp. 205-216, 2006
Zs. Páles: Regularity problems and results concerning composite functional equations in several variables, Tatra Mt. Math. Publ. 34, no. 2, 289-307, 2006
Zs. Páles, V. Zeidan: First and second-order optimality conditions for strong local minimum in control problems with pure state constraints, Nonlinear Anal. 67, no. 8, 2506-2526, 2007
Zs. Páles, V. Zeidan: Infinite dimensional Clarke generalized Jacobian, J. Convex Anal. 14, no. 2, 433-454, 2007
Zs. Ádám, K. Lajkó, Gy. Maksa, F. Mészáros: Sequenced problems for functional equations, Teaching Math. Comp. Sci. 4, no. 1, 179-192, 2006
M. Bakula Klaricic, Zs. Páles, J. E. Pecaric: On weighted L-conjugate means, Commun. Appl. Anal. 11, no. 1, 95-110, 2007
A. Gilányi, Z. Kaiser, Zs. Páles: Estimates to the stability of the Cauchy equation, Aequationes Math. 73, 125-143, 2007
A. M. Fink, Zs. Páles: What is Hadamard's inequality?, Appl. Anal. Discr. Math. 1, 29-35, 2007
Zs. Páles, V. Zeidan: Generalized Jacobian for functions with infinite dimensional range and domain, Set-Valued Anal. 15, no. 4, 331-375, 2007
A. Gilányi, Zs. Páles: On convex and Wright-convex functions of higher order, Math. Inequal. Appl. 11, no. 2, 271-282, 2008
Z. Makó, Zs. Páles: On the equality of generalized quasiarithmetic means, Publ. Math. Debrecen 72, no. 3-4, 407-440, 2008
C. Bandle, A. Gilányi L. Losonczi, M. Plum, Zs. Páles: Inequalities and Applications, Birkhauser Verlag, Basel, Internat. Ser. Numer. Math. Vol. 157, 2008
K. Nikodem, Zs. Páles: Note on t-quasiaffine functions, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput. 29, 127-139, 2008
L. Losonczi, Zs. Páles: Comparison of means generated by two functions and a measure, J. Math. Anal. Appl. 345, no. 1, 135-146, 2008
Z. Daróczy, Zs. Páles: A characterization of nonconvexity and its applications in the theory of quasi-arithmetic means, Inequalities and Applications (eds: C. Bandle, A. Gilányi L. Losonczi, M. Plum, Zs. Páles) Birkhauser Verlag, Basel, Internat. Ser. Numer. Math. Vol. 157, pp. 251-260., 2008
Zs. Páles, V. Zeidan: Infinite dimensional generalized Jacobian: properties and calculus rules, J. Math. Anal. Appl. 344, 55-75, 2008
A. Házy, Zs. Páles: On the stability of the Hermite-Hadamard inequality, Proc. Royal Soc. A 465, 571-583, 2009
Z. Makó, Zs. Páles: The invariance of the arithmetic mean with respect to generalized quasi-arithmetic means, J. Math. Anal. Appl. 353, 8-23, 2009
Z. Boros: An inequality for the Takagi function, Math. Inequal. Appl. 11, no. 4, 757--765, 2008
Gy. Maksa, F. Mészáros: A characterization of the exponential distribution through functional equations, Inequalities and Applications (eds: C. Bandle, A. Gilányi L. Losonczi, M. Plum, Zs. Páles) Birkhauser Verlag, Basel, Internat. Ser. Numer. Math. Vol. 157, pp. 291-298, 2008
K. Lajkó, Gy. Maksa, F. Mészáros: On a generalized Hosszú functional equation, Publ. Math. Debrecen 74, no. 1-2, 101-106, 2009
E. Gselmann, Gy. Maksa: The Shannon field of non-negative information functions, Sci. Math. Japon. e-2008, 663-670, 2008
Zs. Páles: On functional equations characterizing polynomials, Acta Sci. Math. (Szeged) 74, 581-592, 2008
Sz. Baják, Zs. Páles: Computer aided solution of the invariance equation for two-variable Gini means, Comput. Math. Appl. 58, 334–340, 2009
Sz. Baják, Zs. Páles: Invariance equation for generalized quasi-arithmetic means, Aequationes Math. 77 No. 1- 2, 133–145, 2009
Sz. Baják, Zs. Páles: Separation theorem for non-linear inverse images of convex sets, Acta Math. Hungar. 124, No. 1-2, 125–144, 2009
Sz. Baják, Zs. Páles: Computer aided solution of the invariance equation for two-variable Stolarsky means., Appl. Math. Comput., accepted, 2010
A. E. Abbas, E. Gselmann, Gy. Maksa, Z. Sun: General and continuous solutions of the entropy equation, Proceedings of the 28th International Workshop on Bayesian Inference and Maximum Entropy Methods in Science and Engineering, vol. 1073, pages 3–7, 2008
M. Bessenyei, Zs. Páles: Characterization of higher-order monotonicity via integral inequalities, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. accepted, 2010
Z. Boros, Á. Száz: Infimum and supremum completeness properties of ordered sets without axioms, An. Stiint. Univ. Ovidius Constanta Ser. Mat. 16, No. 2, 31–37, 2008
Z. Boros, Á. Száz: Reflexivity, transitivity, symmetry and anti-symmetry of the intersection convolution of relations, Rostock. Math. Kolloq. 63, 55–62, 2008
P. Burai, A. Házy, T. Juhász: Bernstein–Doetsch type results for s-convex functions, Publ. Math. Debrecen 75, No. 1-2, 23–31, 2009
Gy. Maksa: The stability of the entropy of degree alpha, J. Math. Anal. Appl. 346, No. 1, 17–21, 2008
Gy. Maksa, Zs. Páles: Decomposition of higher-order Wright-convex functions, J. Math. Anal. Appl. 359, 439–443, 2009
Gy. Maksa, Zs. Páles: Remarks on the comparison of weighted quasi-arithmetic means, Colloq. Math., accepted, 2010
J. Makó, Zs. Páles: Approximate convexity of Takagi type functions, J. Math. Anal. Appl., accepted, 2010
K. Nikodem, Zs. Páles: Minkowski sums of Cantor-type sets, Colloq. Math. 119, No. 1, 95–108, 2010
Zs. Páles, V. Zeidan: The core of the infinite dimensional generalized Jacobian, J. Convex Anal. 16, 321–349, 2009
Zs. Páles, V. Zeidan: Co-Jacobian for Lipschitzian maps, Set-Valued and Variational Anal. 18, 57–78, 2010
Zs. Páles, V. Zeidan: V-Jacobian and V-co-Jacobian for Lipschitzian maps, Discrete Contin. Dyn. Syst., accepted, 2010
Zs. Ádám, K. Lajkó, Gy. Maksa, F. Mészáros: Two functional equations on group, Ann. Math. Sil. 21, 7–13, 2007



Back »