Partial differential systems, fromal integrability, variational calculus, geodesics, Lie groups
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Geometry (University of Debrecen)
Participants
Nagy, Péter Tibor
Starting date
2007-07-01
Closing date
2011-07-31
Funding (in million HUF)
6.400
FTE (full time equivalent)
3.34
state
closed project
Summary in Hungarian
A pályázattal elnyert támogatás segítségével a variációszámítás inverz problémájának témakörében (másodrendű differenciálegyenletek, konnexiók, metrizálhatósági problémák), transzformációcsoportokkal szemben invariáns metrikák vizsgálatában (Lie csoportokon értelmezett balinvariáns metrikák, természetesen reduktív Riemann tér általánosításai, geodetikusok vizsgálata), illetve szövetgeometriai kutatásokban (szövetek linearizálhatóságával kapcsolatos vizsgálatok illetve balinvariáns 1-integrálható szövetek és algebrai struktúrák kapcsolata) kívánunk eredményeket elérni. A feladattervben megfogalmazott problémák differenciál-egyenletrendszerek (túldeterminált parciális-differenciálegyenletrendszerek, Euler-Lagrange egyenletek, inverze probléma) megoldhatóságával kapcsolatosak.
Egyes témák, mint például a Finsler típusú geodetikus pályaterek vizsgálata, illetve a pályaterek metrizálhatóságával kapcsolatos vizsgálatok alapvetően új, eredeti kutatási területet képviselnek. A további kutatási témák, mint például a variációszámítás inverz problémája, illetve az általános metrizálhatósági vizsgálatok már klasszikus területnek számítanak, de az új eredmények ezeken a területeken is nemzetközi érdeklődésre tarthatnak számot. A tervezett kutatási témák jól körülhatároltak, és mindkét közreműködő eddigi kutatási profiljába illeszkednek.
Több nemzetközi kutatóműhely (pl. USA-ban, Belgiumban, Nagy Britanniában, Franciaországban, Ausztráliában, Spanyolországban) végez kutatásokat a tervezett témákhoz szorosan kapcsolódó területeken. Ezekkel a kutatócsoportokkal rendszeres munkakapcsolatot tartunk fenn, és sikeres pályázatunk lehetővé tenné a további szoros kapcsolattartást, együttműködést.
Summary
The goal of this project is to establish new results on the inverse problem of the calculus of variations, on the metrizability problem where the metric is invariant with respect to the action of a transformation group and to investigate the geometry of webs . The most important challenge posed by inverse problems is to obtain new results when the dimension of the base-manifold is greater than two. We plan to investigate the n-dimensional case and the variationality of the canonical connection of Lie groups. We plan to investigate metrizability problems and the existence of special differential geometric structures and spaces. We want to introduce and describe the generalization of the notion of Riemannian geodesic orbit space, develop the corresponding theory to the Finsler case. This generalization and the investigation of the metrizability of geodesic orbit structures represent a new direction in the research of Finslerian geometry. In the framework of this project we plan to investigate the linearizability problems of 3-webs and the correspondence between left-invariant 1-integrable webs and algebraic structures. Using techniques from the Spencer theory of over-determined partial differential systems allows us to present new results in an intrinsic and natural way.
Several research teams (in USA, France, Belgium, Spain, Australia and Great-Britain) are working actually in fields related to the proposed problems. We have regular contact with them, and this project would offer us the possibility to work with them. We are confident that the combination of our fields of expertise and our joint efforts will produce significant results in this field of mathematics.
Final report
Results in Hungarian
Az OTKA pályázatunkban megjelölt mindhárom területen sikerült érdekes eredményeket elérnünk.
1. A variációszámítás inverz problémája témakörében egyrészt olyan struktúrákat (konnexió, görbületi mennyiségek, holonómia struktúra) vizsgáltunk, melyek tulajdonságaiból információ származtatható a metrizálhatóságukra, másrészt tanulmányoztuk a másodrendű differenciálegyenletek projektív metrizálhatóságát. Egy klasszikus Finsler tér végtelen dimenziós holonómia csoportjára adtunk explicit leírást, továbbá karakterizáltunk véges, illetve végtelen dimenziós holonómia csoporttal rendelkező Finsler tereket. Konstruáltunk projektív metrizálható görbeseregeket, és megmutattuk a Finsler metrizálhatósági tulajdonság bizonyos merevségét.
2. Transzformációcsoportokkal szemben invariáns struktúrák vizsgálata során a Heisenberg csoporton olyan Finsler struktúrát adtunk meg, melynek a görbületi algebrája minden pontban végtelen dimenziós. Lie csoportok esetén vizsgáltuk a kanonikus bal-invariáns torzió mentes konnexió metrizálhatóságát.
3. Szövetgeometriai eredményeink egyrészt a 3-szövetek linearizálhatóságára, másrészt a szövetek és azok koordináta loopjainak és kvázicsoportjainak Schreier-típusú bővítéselméletének a kidolgozására vonatkoznak. Eredményünkkel sikerült egy polémiát lezárni, mely a sík 3-szöveteinek linearizálhatóságára vonatkozó kritérium körül alakult ki.
Results in English
In all three areas proposed in our OTKA project, we obtained new and interesting results.
1. In the area of the inverse problem of calculus of variations, we have made progress, particularly in two directions: We studied structures (connection, curvature, holonomy) that provide direct information on the metrizability, and investigated the projective Finsler metrizability of second order differential equations. We gave an explicit description of the infinite dimensional holonomy group of a classical Finsler metric and characterized classes of Finsler spaces with finite or infinite dimensional holonomy groups. We constructed projective metrizable systems and proved certain rigidity of their Finsler metrizability
property.
2. By studying invariant structures with respect to a group of transformations, we constructed an invariant metric on the Heisenberg
group, with an infinite dimensional curvature algebra. We also examined the metrizability of the canonical left-invariant torsion-free
homogeneous connection on Lie groups.
3. Our results in web geometry concern their linearizability property and the development of the Schreier-type extension theory of webs and their coordinate loops and quasigroups. We have succeeded to close a polemic about a question of linearizability theory of planar three-webs, by confirming our previous results on the linearizability criteria.
Nagy P.T.; Homolya Sz: Totally geodesic subalgebras in nilpotent metric Lie algebras, submitted, 2011
Nagy P T; Strambach K: Schreier loops, Czechoslovak Mathematical Journal, 58 (133), 759–786, 2008
Nagy P.T.; Stuhl I: Right nuclei of quasigroup extensions, accepted by Communications in Algebra, 2010
Events of the project
2016-09-02 12:06:05
Kutatóhely váltás
A kutatás helye megváltozott. Korábbi kutatóhely: TTK Matematikai Intézet (Debreceni Egyetem), Új kutatóhely: TTK Geometria Tanszék (Debreceni Egyetem).
