Summation and Gábor analysis  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
67642
Type K
Principal investigator Weisz, Ferenc
Title in Hungarian Összegzések és Gábor analízis
Title in English Summation and Gábor analysis
Keywords in Hungarian Fourier sorok, összegzések, Gábor analízis, frame, Hardy terek.
Keywords in English Fourier series, summations, Gábor analysis, frame, Hardy spaces.
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Numerical Analysis (Eötvös Loránd University)
Starting date 2007-07-01
Closing date 2011-07-31
Funding (in million HUF) 3.680
FTE (full time equivalent) 1.36
state closed project
Summary in Hungarian
Az összegzési eljárások a Fourier analízis egy fontos ágát alkotják. Ismeretes, hogy ha egy Fourier sor részletösszegei divergensek, egy alkalmas összegzési eljárással kaphatunk konvergenciát. Hasonlóan az inverz Fourier transzformáltra vonatkozó egyenlőséget (amely csak “szép függvényekre” működik) is ki lehet terjeszteni egy tágabb függvényosztályra egy alkalmas összegzéssel.

A Gábor analízis (vagy idő-frekvencia analízis) az elmúlt 20 évben került az érdeklődés középpontjába. A magyar Gábor Dénes ötletén alapulva Janssen, Daubechies, Feichtinger, Benedetto és Gröchenig munkássága nyomán vált az idő-frekvencia analízis a harmonikus analízis önálló, gyorsan fejlődő ágává. Ezt a területet Magyarországon még kevésbé intenzíven vizsgálják. A Gábor analízisnek számos gyakorlati alkalmazása van, pl. a kép- és jelfeldolgozásban, illetve a kommunikációelméletben (mobil telefonok).

Ezen pályázat keretén belül a Fourier sorok összegzéseit és a Gábor analízist szeretném vizsgálni illetve összekapcsolni. Egyrészről a Gábor analízis eszközeivel vizsgálnám a Fourier sorok és transzformáltak összegzéseit. Másrészről az összegzési eljárásokat alkalmaznám a Gábor analízisben és a Gábor sorok illetve Gábor transzformált összegzéseivel foglalkoznék. Ez a téma igen újnak mondható, a szakirodalomban alig-alig fordulnak elő erre vonatkozó eredmények.
Több dolgozat publikálását tervezem referált nemzetközi szakfolyóiratokban.
Summary
Summability methods constitute a central part of classical Fourier analysis. They have arisen from the observation that the partial sums of the Fourier series of a function may show a bad behavior, which may be very much ameliorated by the use of summability methods. Similarly, the difficulties with the direct form of the inversion formula (which works fine for “nice functions”) can be avoided by a suitable summability method.

Gábor analysis (or time-frequency analysis) has got into the focuse of interest in the last 20 years. Based on the idea of the Hungarian Dénes Gábor, in the wake of the works of Janssen, Daubechies, Feichtinger, Benedetto and Gröchenig, time-frequency analysis has been established itself as a separate, fertile branch of harmonic analysis. This topic is not really investigated in Hungary yet. Gábor analysis has a lot of links to real world applications, e.g. in image- and signal processing, in communication theory (mobile phones).

I would like to investigate (respectively to build a bridge between) the summations of Fourier series and the Gábor analysis. On the one hand, with the tools of Gábor analysis I would investigate the summations of Fourier series and Fourier transforms. On the other hand, I would apply the summability theory in Gábor analysis and consider the summations of Gábor series and transforms. This topic is new, only a few results can be found in the literature.
I plan to publish some paper in international journals.




 

Final report

  
Results in Hungarian
Az összegzési eljárások a Fourier analízis egy fontos ágát alkotják. Ismeretes, hogy ha egy Fourier sor részletösszegei divergensek, egy alkalmas összegzési eljárással kaphatunk konvergenciát. Hasonlóan az inverz Fourier transzformáltra vonatkozó egyenlőséget (amely csak “szép függvényekre” működik) is ki lehet terjeszteni egy tágabb függvényosztályra egy alkalmas összegzéssel. A Gábor analízis (vagy idő-frekvencia analízis) az elmúlt 20 évben került az érdeklődés középpontjába. A magyar Gábor Dénes ötletén alapulva Janssen, Daubechies, Feichtinger, Benedetto és Gröchenig munkássága nyomán vált az idő-frekvencia analízis a harmonikus analízis önálló, gyorsan fejlődő ágává. A Gábor analízisnek számos gyakorlati alkalmazása van, pl. a kép- és jelfeldolgozásban, illetve a kommunikációelméletben (mobil telefonok). Ezen pályázat keretén belül a Fourier sorok összegzéseit és a Gábor analízist vizsgáltam illetve kapcsoltam össze. Egyrészről a Gábor analízis eszközeivel vizsgáltam a Fourier sorok és transzformáltak összegzéseit. Másrészről az összegzési eljárásokat alkalmaztam a Gábor analízisben és a Gábor sorok illetve Gábor transzformált összegzéseivel foglalkoztam. Ez a téma igen újnak mondható, a szakirodalomban alig-alig fordultak elő erre vonatkozó eredmények. Számos új eredményt értem el, 29 dolgozatom jelent meg referált nemzetközi szakfolyóiratokban, továbbá nemzetközi konferenciákon 10 előadást tartottam.
Results in English
Summability methods constitute a central part of classical Fourier analysis. They have arisen from the observation that the partial sums of the Fourier series of a function may show a bad behavior, which may be very much ameliorated by the use of summability methods. Similarly, the difficulties with the direct form of the inversion formula can be avoided by a suitable summability method. Gábor analysis has got into the focuse of interest in the last 20 years. Based on the idea of the Hungarian Dénes Gábor, in the wake of the works of Janssen, Daubechies, Feichtinger, Benedetto and Gröchenig, time-frequency analysis has been established itself as a separate, fertile branch of harmonic analysis. Gábor analysis has a lot of links to real world applications, e.g. in image- and signal processing, in communication theory (mobile phones). With the support of the foundation I have investigated and built a bridge between the summations of Fourier series and the Gábor analysis. With the tools of Gábor analysis I have investigated the summations of Fourier series and Fourier transforms. Moreover, I have applied the summability theory in Gábor analysis and have considered the summations of Gábor series and transforms. This topic is new, only a few results can be found in the literature. I have reached several new results, I have written 29 papers, that are already published in international journals. Moreover, I have given 10 lectures on international conferences.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=67642
Decision
Yes





 

List of publications

  
Weisz, F.: Some convergence theorems for Gabor series, Pure Mathematics and Applications 17, 539-553, 2007
Weisz, F.: Inversion of the short-time Fourier transform using Riemannian sums, J. Fourier Anal. Appl. 13, 357-368, 2007
Weisz, F.: Multiplier theorems for the short-time Fourier transform, Integr. Equ. Oper. Theory. 60, 133-149, 2008
Weisz, F.: Strong $\theta$-summability of multi-dimensional Fourier transforms, Acta Sci. Math. (Szeged) 74, 207-228, 2008
Weisz, F.: Strong Marcinkiewicz summability of multi-dimensional Fourier series, Annales. Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 29, 297-317, 2008
Weisz, F.: Herz spaces and restricted summability of Fourier transforms and Fourier series, J. Math. Anal. Appl. 344, 42-54, 2008
Weisz, F.: Wiener amalgams, Hardy spaces and summability of Fourier series, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 145, 419-442, 2008
Weisz, F.: Walsh-Lebesgue points of multi-dimensional functions, Anal. Math. 34, 307-324, 2008
Weisz, F.: Summability of Walsh-Fourier series and the dyadic derivative, Chapter 9, in Walsh and Dyadic Analysis, 2007
Weisz, F.: Lebesgue points of multi-dimensional functions, Facta Universitatis (Nis) Ser.: Elec. Energ. 21, 255-265, 2008
Schipp, F., Weisz, F.: Multi-dimensional discrete summability, Acta Sci. Math. (Szeged) 75, 197-217, 2009
Weisz, F.: Restricted summability of Fourier series and Hardy spaces, Acta Sci. Math. (Szeged) 75, 219-231, 2009
Weisz, F.: Gabor analysis and Hardy spaces, East J. Appr. 15, 1-24, 2009
Weisz, F.: Pointwise summability of Gabor expansions, J. Fourier Anal. Appl. 15, 463-487, 2009
Weisz, F.: Multi-dimensional Fej{\'e}r summability and local Hardy spaces, Studia Math. 194, 181-195, 2009
Weisz, F.: Fej{\'e}r summability and local Hardy spaces, Acta Sci. Math. (Szeged) 75, 605-615, 2009
Weisz, F.: Inequalities in summability theory of Fourier series, J. Math. Inequal. 3, 357-368, 2009
Weisz, F.: Local Hardy spaces and summability of Fourier transforms, J. Math. Anal. Appl. 362, 275-285, 2010
Szili, L., Weisz, F.: On weighted uniform Ces\`aro summability of Jacobi--Fourier series, Acta Math. Hungar. 127, 112-138, 2010
Weisz, F.: Restricted summability of Fourier transforms and local Hardy spaces, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 26, 1627-1640, 2010
Weisz, F.: Summation of Fourier series with respect to Walsh-like systems and the dyadic derivative, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput. 33, 377-404, 2010
Weisz, F.: $\ell_1$-summability of higher-dimensional Fourier series, J. Approx. Theory 163, 99-116, 2011
Weisz, F.: Summability of Gabor expansions and Hardy spaces, Appl. Comput. Harmon. Anal. 30, 288-306, 2011
Weisz, F.: Triangular Ces{\`a}ro summability of two-dimensional Fourier series, Acta Math. Hungar. 132, 27-41, 2011
Weisz, F.: Applications of multi-parameter martingales in Fourier analysis, Stochastics and Dynamics. 11, 551-568, 2011
Weisz, F.: $\ell_1$-summability of $d$-dimensional Fourier transforms, Constr. Approx. (to appear), 2011
U. Goginava and F. Weisz: Pointwise convergence of Marcinkiewicz-Fej\'{e}r means of two-dimensional Walsh-Fourier series, Studia Sci. Math. Hungar. (to appear), 2011
F. Weisz: Some footprints of Marcinkiewicz in summability theory, Banach Center Publications, J\'{o}zef Marcinkiewicz Centenary Volume (to appear), 2011
F. Weisz: Triangular summability of two-dimensional Fourier transforms, Anal. Math. (to appear), 2011



Back »