Stochastic interacting systems, shock waves, second class particles, t^(1/3)-scaling fluctuations
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Panel
Natural Sciences Committee Chairs
Department or equivalent
Department of Stochastics (Budapest University of Technology and Economics)
Starting date
2007-07-01
Closing date
2011-06-30
Funding (in million HUF)
1.800
FTE (full time equivalent)
1.20
state
closed project
Summary in Hungarian
Az egyik legegyszerűbb sztochasztikus kölcsönható rendszer, az egyszerű kizárásos folyamat (SE) vizsgálatában az utóbbi időben több ponton áttörést értek el, melyet a modell egyszerű kombinatorikája tett lehetővé. Ezek az eredmények minden jel szerint teljes modellcsaládokra érvényesek, ennek vizsgálatát tervezem a következő három évben:
(1) A SE t^(1/3) skálázású fluktuációit bizonyították véletlen mátrixok segítségével. Cator és Groeneboom valószínűségelméleti módszerei nyomán társszerzőimmel a kombinatorikát megkerülve sikerült ezirányú eredményeket kapni e modellre. A módszer alkalmasnak látszik teljes modellcsaládok tárgyalására, melyeknél hasonló skálázás sejthető.
(2) Schütz és társszerzői kvantum-algebra formalizmus segítségével a SE lökéshullámaiban találtak bizonyos eloszlásokat, melyek a másodosztályú részecske környezetét írják le. Az eloszlások jelenlétét más modellekben már bizonyítottam, most a formalizmus kiterjeszthetőségét tervezem megvizsgálni.
(3) Ferrari és Kipnis SE-re kapott eredményeit is szeretném általánosítani, mely szerint a ritkulási hullámba helyezett másodosztályú részecske egy véletlen sebességet választ. E sebesség létezése és eloszlása más modellekben nem ismeretes.
E kérdések kutatása meglévő módszerek és eredmények általánosabb képbe helyezéséhez, potenciálisan új módszerek kifejlesztéséhez, valamint a tudományterületek (véletlen mátrixok, PDE-elméletek, kvantum algebra formalizmus) közötti átjárás erősítéséhez vezethet.
Summary
Breakthroughs have recently been achieved at several points in the investigation of the simple exclusion (SE), one of the simplest stochastic interacting system. This was possible due to the simple combinatorics of this process. However, these results seem to hold for whole families of models. In the next three years I plan to investigate possible extensions in the following directions:
(1) t^(1/3)-order fluctuations were proved in SE, using random matrices. Based on a purely probabilistic method of Cator and Groeneboom we managed to obtain results in similar directions for this process. The method seems to be applicable to a whole family of processes, where similar scaling is conjectured.
(2) Schütz and co-authors found, with the use of a quantum algebra formalism, special distributions which describe the environment of a second class particle in SE. I have found similar distributions in other models, now I am planning to extend the formalism to these.
(3) I would like to generalize results of Ferrari and Kipnis, which state that the second class particle in a rarefaction wave of SE picks a random speed. The existence and distribution of such a speed is not known in other models.
Investigation of these questions leads to a more general view of existing results, potentially to developing new methods, and strengthening inter-area connections (random matrices, PDE-theories, quantum algebra formalisms).
Final report
Results in Hungarian
A kutatás során társszerzõimmel négy különbözõ témával foglalkoztam:
1. A 2006-ban a last passage perkolációra majd a kizárásos folyamatra kifejlesztett módszerünket jelentõsen kiterjesztettük, így több kölcsönható részecskerendszerre is bizonyítottuk az áramfluktuációk anomális skálázását. Szintén általánosítottunk a kizárásos folyamat gyengén aszimmetrikus esetére is, ennek segítségével a fizikában alapvetõ jelentõségû KPZ egyenlet megfelelõ módon értelmezett megoldásának hasonló skálázási tulajdonságát vizsgáltuk.
2. A korábban részecskerendszerekben ismert speciális bolyongó lökéshullám-megoldásoknak új interpretációt adtunk, és megmutattuk, hogy a lökéshullámba ültetett másodosztályú részecske is egyszerû aszimmetrikus bolyongást végez ezekben a speciális esetekben.
3. Egy térbeli struktúrával kevéssé rendelkezõ, csak tömegközéppontjukon keresztül kölcsönható részecskerendszert vizsgáltunk, a sokrészecskés, fluid limesz létezését bizonyítottuk.
4. Általánosítottuk a jól ismert ellenálláshálózat - reverzibilis Markov lánc kapcsolatot az irreverzibilis esetre. Találtunk egy áramköri elemet, amivel ez lehetséges; az észrevétel felhasználhatóságát még vizsgáljuk.
Results in English
Within this research project, with co-authors, I investigated four different topics:
1. We significantly extended our method that was originally applied on last passage percolation and later on the asymmetric simple exclusion process. This way we proved the anomalous scaling of current-fluctuations for various interacting systems. We also generalized towards the weakly asymmetric case of the exclusion process, thus proving the analogous scaling of the appropriate solution of the KPZ equation, the one of fundamental importance in Physics.
2. We gave a new interpretation to the well-known random walking shock solutions in interacting systems, and showed that the second class particle, inserted in the middle of such a shock, also performs the simple random walk in these special cases.
3. We investigated a spatially less structured interacting system in which particles interact via their center of mass. We proved the existence of the fluid limit in which the number of particles tends to infinity.
4. We generalized the well-known correspondence between reversible Markov chains and electric networks to the irreversible case. To be more precise, we found an electric component that makes the generalization possible; we currently investigate possible uses of our findings.
Balázs Márton, Komjáthy Júlia: Order of current variance and diffusivity in the rate one totally asymmetric zero range process, Journal of Statistical Physics, pp. 59-78, Volume 133, Number 1, 2008 október, 2008
Balázs Márton, Timo Seppäläinen: Exact connections between current fluctuations and the second class particle in a class of deposition models, Journal of Statistical Physics, pp. 431-455, Volume 127, Number 2, 2007 április, 2007
Balázs Márton, Firas Rassoul-Agha, Timo Seppäläinen, Sunder Sethuraman: Existence of the zero range process and a deposition model with superlinear growth rates, The Annals of Probability, Vol. 35, No. 4 - 2007 július, 2007
