Theoretical Physics Department (Wigner Research Centre for Physics)
Starting date
2007-07-01
Closing date
2010-12-31
Funding (in million HUF)
1.778
FTE (full time equivalent)
1.84
state
closed project
Summary in Hungarian
Nem kommutatív Galois kiterjesztések alatt a (régóta aktívan kutatott) Hopf algebrákkal vett Galois kiterjesztések általánosítása értendő, kvantum gruppoidok esetére, nem kommutatív geometriai, valamint tisztán algebrai motivácók alapján.
Mintegy tíz éves munkásságom folytatásaként a jelen pályázat keretében a következő kérdés csoportokat tervezem tanulmányozni. (1) Nem kommutatív torsorok vizsgálata (indukált funktorok a hozzárendelt bialgebroidok komodulus kategóriái között, pre-torsor fogalma) (2) Schneider típusú tételek (kategória elméleti megalapozás, kiterjesztés Hopf algebroidokra) (3) Galois leszármazás (hűen lapos eseten túl) (4) Galois megfeleltetések (hűen lapos bialgebroid-Galois kiterjesztésekre, és ezeken túl).
A várható eredmények a Hopf algebrákat és kogyűrűket kutatók közvetlen érdeklődésére tarthatnak számot. Közvetve, a nem-kommutatív differenciál- és algebrai geometriában aktív matemetikusok és matematikai fizikusok is profitálhatnak egy részükből. A pályázat témája népszerűbb néhány európai országban valamint Japánban és az USA-ban, ám kevésbé kutatott Magyarországon. A pályázat megvalósulása az RMKI-ban elősegítené a kapcsolat teremtést valamint erősítené a magyar pozíciót a témában.
Az eredmények nemzetközi szakfolyóiratokban kerülnek majd közlésre, illetve konferenciákon tervezem őket előadni. Gazdasági hasznosításuk nemigen elképzelhető.
Summary
Non-commutative Galois extensions are generalisations of (actively studied for long) Galois extensions by Hopf algebras, to quantum groupoids, by non-commutative geometrical and purely algebraic motivations.
Continuing my ca. ten years activity in the field, in the current project I plan to address the following groups of questions. (1) Study of non-commutative torsors (induced functors between comodule categories of the associated bialgebroids, notion of a pre-torsor) (2) Schneider type theorems (categorical grounding, extension to Hopf algebroids) (3) Galois descent (beyond the faithfully flat case) (4) Galois correspondence (for faithfully flat bialgebroid-Galois extensions and beyond).
The expected results will be of direct interest to researchers in Hopf algebra and coring theory. Indirectly, mathematicians and mathematical physicists active in non-commutative differential- and algebraic geometry, should also benefit from some of them. The subject of this project is more popular in some European countries, Japan and the USA, but not very actively studied in Hungary. Developing this project in the RMKI, would allow to establish relationships and strengthen the Hungarian position in this field.
The expected results will be published in international mathematical journals and presented in the form of conference talks. No commercial exploitation of them is expected.
Final report
Results in Hungarian
(0) Összefoglaló fejezetet írtam Hopf algebroidokról a "Handbook of Algebra" számára.
(1) C. Meninivel a nem kommutatív torsorok kategóriaelméleti tárgyalását adtuk. Igazoltuk a szimmetriát leíró két komonád Morita-Takeuchi ekvivalenciáját.
(2) J. Vercruyssevel a Morita elmélet alkalmazásával kogyűrűk komodulus kategóriáit és nem egységelemes gyűrűk szilárd (firm) modulusainak kategóriáit összehasonlító tételeket bizonyítottunk.
(3) T. Brzezinskivel és R. Wisbauerrel a kogyűrűk két szimmetrikus szerepet játszó ábrázolás fogalma közül az irodalodalomban eddig kevésbé vizsgált kontramodulusokat tanulmányoztuk, alkalmazva a Hopf algebrák elméletére is.
(4) A monádok formális elméletét általánosítottam, hogy bizonyos gyenge Hopf algebrákkal kapcsolatos konstrukciók leírására is alkalmas legyen.
(5) S. Lackkal és R. Streettel bevezettük és tanulmányoztuk a gyenge bialgebrákat nem feltétlenül fonott monoidális kategóriákra általánosító ún. gyenge bimonádokat.
(6) S. Lackkal és R. Streettel megmutattuk, hogy bármely K 2-kategóriában a vegyes gyenge disztributív szabályok 2-kategóriát alkotnak, amely beágyazható a K^2x2 hatvány 2-kategóriába.
(7) Megmutattam, hogy a Span bikategória gyenge disztributív szabályai kis kategóriák faktorizációs rendszereit indukálják. Ezeket a faktorizációs rendszereket egy bizonyos bilinearitási tulajdonsággal jellemeztem és igazoltam kapcsolatukat a (-)^2 2-monád szigorúan asszociatív pszeudo-algebráival.
Results in English
(0) I wrote a chapter about Hopf algebroids for the “Handbook of Algebra”.
(1) With C. Menini, we provided a category theoretical treatment of non-commutative torsors. We proved the Morita-Takeuchi equivalence of both comonads describing the symmmetry.
(2) With J. Vercruysse, we applied Morita theory to prove theorems comparing comodule categories of corings with categories of firm modules over non-unital rings.
(3) With T. Brzezinski and R. Wisbauer, we studied contramodules – the less investigated one of two symmetrical notions of representation of a coring – with applications to Hopf algebras.
(4) I generalized the formal theory of monads so that the resulting theory is capable to describe certain constructions related to weak Hopf algebras.
(5) With S. Lack and R. Street, we introduced and studied the so called weak bimonads, generalizing weak bialgebras to not necessarily braided monoidal categories.
(6) With S. Lack and R. Street, we proved that weak mixed distributive laws in any 2-category K constitute a 2-category which can be embedded into the power 2-category K^2x2.
(7) I showed that weak distribitive laws in the bicategory of spans induce factorization systems on small categories. I characterized these factorization systems via a certain bilinearity property and related them to strictly associative pseudoalgebras of the 2-monad (-)^2.
