Asymptotic methods in stochastics  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
67961
Type K
Principal investigator Csáki, Endre
Title in Hungarian Aszimptotikus módszerek a sztochasztikában
Title in English Asymptotic methods in stochastics
Keywords in Hungarian véletlen bolyongás, sztochasztikus folyamatok, statisztikai idősorok, véletlen gráfok
Keywords in English random walk, stochastic processes, statistical time series, random graph
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Participants Berkes, István
Móri, Tamás
Révész, Pál
Starting date 2007-07-01
Closing date 2011-07-31
Funding (in million HUF) 7.200
FTE (full time equivalent) 4.00
state closed project
Summary in Hungarian
A sztochasztikában nagy jelentőséggel birnak az aszimptotikus eredmények, hiszen a véletlen jelenségek törvényszerűségei nagy számú megfigyelés eredményét irják le. Célunk a korábbi pályázatok keretében e területen végzett kutatásaink folytatása és továbbfejlesztése.
Vizsgálni kivánjuk a véletlen bolyongás lokális idejének aszimptotikus tulajdonságait. Ismert, hogy 3, ill. magasabb dimenzióban a bolyongás tranzitiv, azaz pozitiv valószinűséggel nem tér vissza a kezdőpontba. Ennek következtében bármely adott pontban a lokális idő véges marad a lépésszám végtelenhez tartása esetén. Erdős és Taylor egy eredménye szerint azonban vannak a lépésszámtól függő véletlen pontok, ahol a lokális idő logaritmikus nagyságrendű. Célunk ezen helyek, ill. környezetük lokális és tartózkodási idejének aszimptotikus vizsgálata. Tanulmányozni kivánjuk ezen és hasonló problemákat folytonos idejű sztochasztikus folyamatokra.
Vizsgálni kivánjuk pszeudovéletlen számok diszkrepanciáját és annak általanositásait; e mennyiségek pontos becslése az alkalmazott matematika (Monte-Carlo módszerek, szimuláció) mellett az analizis és számelmélet több kérdesében is fontos szerepet játszik.
Célunk továbbá a független valószinűségi változók részletösszegei es martingálok finom növekedési tulajdonságait leiró ún. alsó-felső osztály eredmények (például a Kolmogorov-Erdős-Feller-Petrovski teszt) vizsgálata.
További kutatási célunk a közgazdaságtanban fontos ARCH es GARCH tipusú nemlineáris idősorok, valamint a főleg fizikai alkalmazásokban előforduló ún. ''impulziv'' idősorok aszimptotikus és statisztikai tulajdonságainak leirása.
Foglalkozni kivánunk a pontonkénti centrális határeloszláselmélet néhány nyitott problémájával, nevezetesen a pontonkénti CHT nem korlátos funkcionálokra, valamint a logaritmikustól eltérő átlagolásokra való kiterjesztésével.
A Barabási-Albert véletlen fa modell kiterjesztéseként vizsgálni kivánjuk a fokszámeloszlás viselkedését, ha csak a fa egy részére korlátozzuk a figyelmet. Hasonló jelenség feltehetően más skálafüggetlen modelleknél is jelentkezik. Elsősorban a martingálelméleti módszerek használhatóságára kivánunk épiteni.
Summary
Asymptotic results are very important in stochastics since the laws of chance depend on a large number of observations. Our plan is to continue our research on asymptotic methods in stochastics.
It is well known that random walk in dimension 3 and higher is transient, i.e. with positive probability the particle does not return to the initial point. Erdős and Taylor, however, have shown that there are random points, depending on the number of steps, where the local times are of logarithmic order. We plan to investigate the asymptotic properties of local and occupation times of these points. Similar and related problems for continuous time stochastic processes will also be studied.
We wish to study the discrepancy of pseudorandom numbers and its generalizations. Estimation of the discrepancy plays an important role in applied mathematics (Monte-Carlo methods, simulation), but also in many problems of analysis and number theory.
We will also study critical phenomena connected with the classical Kolmogorov-Erdős-Feller-Petrovski test for partial sums of i.i.d. random variables.
A further objective is to study the asymptotic and statistical properties of ARCH and GARCH type nonlinear time series occurring in econometrics, as well as describing the basic statistical properties of ''impulsive'' time series occurring in some physical applications.
We plan to work on some open problems in pointwise central limit theory connected with unbounded functionals and nonstandard weight sequences.
We plan to study the so-called Barabási-Albert model of random trees and their extensions to scale-free random trees, concerning the degree distribution on a part of the tree. Our investigations will be based on martingale methods.




 

Final report

  
Results in Hungarian
1 és 2 dimenziós véletlen bolyongásra erős approximációt adtunk és lokális idő tulajdonságait viysgáltuk különböző feltételek mellett. Megmutattuk, hogy a Komlós-Major-Tusnády approximáció függő folyamatok egy tág osztályára kiterjeszthető, ha az approximációban egy második, az elsőnél kisebb skálázású Wiener folyamatot is megengedünk. A hézagos sorok elméletének 60 éve nyitott problémája megoldásaként pontos számelméleti feltételt adtunk meg az f(n_kx) sorozatra vonatkozó centrális határeloszlástétel érvényességére. Részletesen vizsgáltuk egy véletlen gráf modell tulajdonságait, többek között a fokszámeloszlás karakterisztikus kitevőjét a kiindulási pont közelében. Vizsgáltuk a súlyozott véletlen gráf modellt és a súlyok maximum likelihood becslésének konzisztenciáját. Vizsgáltunk konvex függvényekre, hatvány összegekre és integrálokra vonatkozó egyenlőtlenségeket. Csebisev tipusú egyenlőtlenségeket bizonyitottunk többdimenziós eloszláscsaládokra. Centrális momentumokra vonatkozó egyenlőtlenségeket adtunk és diszkrét eloszlások eltérését becsültük generátor függvények közötti szupremum távolságok segitségével.
Results in English
For 1 and 2 dimensional random walks we gave certain strong approximations and investigated the properties of local times under various conditions. We showed that the Komlós-Major-Tusnády approximation theorem can be extended for a large class of dependent processes if in the approximation we allow a second Wiener process with smaller scaling factor. We solved a 60 year old problem of the theory of lacunary sequences by giving an exact number-theoretic condition for the central limit theorem for f(n_kx). We gave a detailed study of a random graph model, among others the chararacteristic exponent of the degree distribution of the vertices if we observe vertices not in the whole graph, but only near an initial vertex. We investigated weighted random graph models and the consistency of the maximum likelihood estimate of the weights. We have dealt with analytic inequalities concerning convex functions, power sums and integrals. We also proved Chebyshev-type inequalities for certain families of multidimensional probability measures. We presented inequalities for central moments, and we gave estimates for the deviation of discrete probability distributions in terms of the sup-distance between their generating functions.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=67961
Decision
Yes





 

List of publications

  
Móri T.F.: A random model of publication activity, Asymptotic Results in Probability and Statistics, 2009 Nov 5-7, 2009
Berkes, I., Hörmann, S., Schauer, J.: Split invariance principles for stationary processes, Annals of Probability, közlésre elfogadva, 2011
Berkes, I.: On permutations of the Hardy-Littlewood-Pólya sequences, Trans. Amer. Math. Soc., közlésre elfogadva, 2011
Berkes, I., Müller, W., Weber, M.: On the strong law of large numbers and additive functions, Periodica Math. Hungar. 62: 1-12, 2011
Csiszár V., Hussami P., Komlós J., Móri T.F., Rejtő L., Tusnády G.: When the degree sequence is a sufficient statistic, Acta Math. Hungar. (közlésre elfogadva), 2011
Garay J., Móri T.F.: Is envy one of the possible evolutionary roots of charity?, BioSystems (közlésre elfogadva), 2011
Backhausz Á., Móri T.F.: Local degree distribution in scale free random graph, Electron J. Probab. (közlésre elfogadva), 2011
Csáki E., Csörgő M., Földes A., Révész P.: On the local time of random walk on the 2-dimensional comb, Stochastic Process. Appl. 121: 1290-1314, 2011
Csáki E.: Simple random walk on the two-dimensional half-plane half-comb structure, Conference on Stochastic Models and their Applications, Debrecen, Hungary, 2011
Csiszár V., Móri T.F.: Sharp integral inequalities for products of convex functions, J. Inequal. Pure Appl. Math. 8/4, Article 94, 2007
Csáki E., Csörgő M., Földes A., Révész P.: Strong limit theorems for anisotropic random walk on Z^2, Periodica Math. Hungar. (közlésre elfogadva), 2011
Aistleitner C., Berkes I., Tichy R.: On permutations of lacunary series, RIMS Kokyuroku Bessatsu (közlésre elfogadva), 2011
Csáki E., Csörgő M. Földes A., Révész P.,: On the supremum of iterated local time, Publ. Math. Debrecen 76: 255-270, 2010
Aistleitner C., Berkes I., Tichy R.: On the asymptotic behavior of weakly lacunary series, Proc. Amer. Math. Soc. 139: 2505-2517, 2011
Berkes I., Horváth J., Schauer J.: Asymptotics of trimmed CUSUM statistics, Bernoulli (közlésre elfogadva), 2010
Aistleitner C., Berkes I., Tichy R.: Lacunary sequences and permutations, Dependence in Probability, Analysis and Number Theory, Kendrick Press, pp. 35-49, 2010
Móri T.F.: A general inequality of Ngo-Thang-Dat-Tuan type, J. Inequal. Pure Appl. Math. 10/1 Article 10, pp. 1-10, 2009
Garay, J., Móri T.F.: When is predator´s opportunism remunerative?, Community Ecology 11: 160-170, 2010
Antal, L., Móri T.F.: How large can the coefficients of a power series be?, Annales Univ. Sci. Budapest Sect. Comput. 34: 25-32, 2011
Aue A., Berkes I., Horváth L.: A note on the existence of solutions of stochastic recurrence equations, Acta Sci. Math. (Szeged) 73: 767-779, 2007
Móri T.F.: Exact integral inequalities for convex functions, J. Math. Inequalities 1: 105-116, 2007
Móri T.F.: Degree distribution nearby the origin of a preferential attachment graph, Electron. Comm. Probab. 12: 276-282, 2007
Berkes I., Philipp W., Tichy R.: Entropy conditions for subsequences of random variables with applications to empirical processes, Monatshefte Math. 153: 183-204, 2008
Berkes I., Hörmann S., Horváth L.: The functional central limit theorem for a family of GARCH observations with applications, Statist. Probab. Letters 78: 2725-2730, 2008
Berkes I., Philipp W., Tichy R.: Metric discrepancy results for sequences {n_kx} and diophantine equations, In: Diophantine Approximations, 95-105. Springer, 2008
Csáki E., Földes A., Révész P.: On the local time of the asymmetric Bernoulli walk, Acta Sci. Math. (Szeged) 74: 349-379, 2008
Móri T.F.: On an inequality of Feng Qi, J. Inequal. Pure Appl. Math. 9/3 Article 87 (electronic), 2008
Aistleitner C., Berkes I.: On the law of the iterated logarithm for the discrepancy of {n_kx}, Monatshefte Math. 156: 103-121, 2009
Berkes I., Gombay E., Horváth L.: Testing for the changes in the covariance structure of linear processes, J. Statist. Plann. Inference 139: 2044-2063, 2009
Berkes I., Horváth L., Hörmann S.: On functional versions of the arcsine laws, J. Theoret. Probab. 23: 109-126, 2010
Aistleitner C., Berkes I.,: On the central limit theorem for f(n_kx), Probab. Theory Rel. Fields 146: 267-289, 2010
Csáki E., Földes A., Révész P.: Transient nearest neighbor random walk on the line, J. Theoret. Probab. 22: 100-122, 2009
Csáki E., Földes A., Révész P.: Transient nearest neighbor random walk and Bessel process, J. Theoret. Probab. 22: 992-1009, 2009
Csáki E., Csörgő M., Földes A., Révész P.: Random walk local time approximated by a Brownian sheet combined with an independent Brownian motion, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 45: 515-544, 2009
Móri T.F.: Random multitrees, Studia Sci. Math. Hungar. 47: 59-80, 2010
Móri T.F.: Deviations of discrete distributions - positive and negative results, Statist. Probab. Letters 79: 1089-1096, 2009
Móri T.F.: Sharp inequalities between centered moments, J. Inequal. Pure Appl. Math. 10/4 Article 99, pp. 1-15, 2009
Csiszár V., Móri T.F.: A Binaymé-Chebyshev inequality for scale mixtures of the multivariate normal distribution, Math. Inequal. Appl. 12: 839-844, 2009
Móri T.F.: Local properties in scale free random graphs, International Conference, Debrecen, Probability and Statistics Abstracts, 2009
Csáki E., Csörgő M. Földes A., Révész P.,: Strong limit theorems for a simple random walk on the 2-dimensional comb, International Conference, Debrecen, Probability and Statistics Abstracts, 2009
Révész P.: How short might be the longest run in a dynamical coin tossing sequence, Publ. Math. Debrecen 76: 347-358, 2010
Khoshnevisan D., Révész P.: Zeros of a two-parameter random walk, Dependence in Probability, Analysis and Number Theory, Kendrick Press, pp. 265-278, 2010
Csáki E., Csörgő M., Kulik R.: On Vervaat process for sums and renewals in the dependent case, Dependence in Probability, Analysis and Number Theory, Conference in Memory of W. Philipp, Graz, Austria, Abstracts, 2009
Berkes I., Horváth L., Ling S.: Estimation in random coefficient autoregressive models, Journal of Time Series Analysis 30: 395-416, 2009
Berkes I., Hörmann S., Schauer J.: Asymptotic results for the empirical process of stationary sequences, Stochastic Proc. Appl. 119: 1298-1324, 2009
Berkes I., Hörmann S., Weber M.: Upper-lower class tests for weighted i.i.d. sequences and martingales, J. Theoret. Probab. 23: 428-446, 2010
Csáki E., Földes A., Révész P.: On the number of cutpoints of the transient nearest neighbor random walk on the line, J. Theoret. Probab. 23: 624-638, 2010



Back »