noncommutative Galois theory, quantum symmetry, representation theory
Discipline
Physics (Council of Physical Sciences)
100 %
Panel
Physics 1
Department or equivalent
Theoretical Physics Department (Wigner Research Centre for Physics)
Participants
Bálint, Imre Böhm, Gabriella Eszter Vecsernyés, Péter
Starting date
2007-07-01
Closing date
2012-07-31
Funding (in million HUF)
6.124
FTE (full time equivalent)
13.71
state
closed project
Summary in Hungarian
Ket korabbi OTKA palyazat folytatasakent a kvantum grupoid szimmetriakat kivanjuk tanulmanyozni kettos cellal:
-- azert, hogy elmelyitsuk ismereteinket a kvantum grupoidok szerkezeterol, kulonos tekintettel a nemkommutativ Galois elmelet szempontjabol fontos aspektusokra,
-- es azert, hogy peldakat dolgozzunk ki a kvantum grupoid szimmetriara 2 dimenzios kvantumterelmeletben, operator algebraban es esetleg dinamikai rendszerekben.
A kovetkezo konkret celokat szeretnenk megvalositani:
kidolgozni a disztributiv dupla algebrak C* verziojat es tanulmanyozni ezek hatasat grafalgebrakon azzal a cellal, hogy feltarjuk a kvantum grupoid szimmetria lehetoseget dinamikai rendszerekben.
kiterjeszteni az integralelmeletet kommutativ gyuru feletti gyenge Hopf algebrakra (Larson-Sweedler es Pareigis-fele tetelek). A Drinfeld-deformaciot altalanositani bialgebroidokra.
tanulmanyozni a bialgebroidok es dupla algebrak nemkommutativ skalar bovitesei mogott rejlo monadokat/komonadokat, valamint az inverz problemat, amely egyfajta "monoidalis descent".
Lokalis algebrak Galois-elmelete: Tiszta algebrai jellemzese a Doplicher-Haag-Roberts elmeletben elofordulo teralgebra/megfigyelheto algebra boviteseknek.
Kvantum grupoid szimmetria es szimmetriasertesi mintak vizsgalata kvantum spin lancokban.
Summary
Continuing our research on quantum groupoids made in the framework of two previous OTKA grants the main purposes of the present application are
-- deepen our understanding of the structure of quantum groupoids, in particular those aspects that play important roles in noncommutative Galois theory.
-- find examples of quantum groupoid symmetries in 2-dimensional quantum field theory, in operator algebra or, possibly, in dynamical systems.
We plan to achieve the following concrete goals:
work out the C* version of distributive double algebras and study their actions on graph algebras in order to explore the possibility of quantum groupoid symmetry in dynamical systems.
Extending the integral theory to weak Hopf algebras over commutative rings (Larson-Sweedler and Pareigis type of theorems). Generalizing Drinfeld twists to bialgebroids.
Study the monoidal monads and comonads underlying a noncommutative scalar extension of bialgebroids or double algebras. The inverse problem is a kind of monoidal descent.
Galois theory for local algebras: Pure algebraic characterization of field algebra/observable algebra extensions that occur in the Doplicher-Haag-Roberts theory.
Find quantum groupoid symmetries and symmetry breaking patterns in quantum chains.
Final report
Results in Hungarian
Kutatásaink a kvantumtérelmélet, a kvantumgruppoidok és a kategóriaelmélet határterületén új fogalmak bevezetésével és új összefüggések feltárásával gazdagította a terület szakidodalmát. Főbb eredményeink:
Bevezetve a nemkommutatív közös ok fogalmát megmutattuk, hogy a Bell-egyenlőtlenséget sértő korrelációhalmaz is föloldható egyetlen lokális, nemkommutatív közös okkal.
A Hopf-ciklikus (ko)homológia elmélet a nem kommutatív geometriai szimmetriák leírására alkalmas. A korábbi megközelítésekkel szemben egy alapvetően új kategóriaelméleti tárgyalást vezettünk be, amely magában foglalja azokat
a realisztikusabb modelleket is, melyek szimmetriáját Hopf algebroid írja le.
Olyan monádokat vizsgáltunk, melyek Eilenberg-Moore kategóriája rendelkezik a gyenge bialgebrák modulus kategóriáinak jellemző vonásaival: monoidális és a felejtő funktor szeparábilis Frobenius. Számos gyenge Hopf algebrákra vonatkozó eredmény kiterjesztése rájuk azt mutatja, hogy ez a megfelelő általánosítás a monádok körében.
Bevezettük a ferde monoidális kategória fogalmát és bebizonyítottuk, hogy egy R gyűrű feletti bialgebroidok ekvivalensek az (egyoldali!) R-modulusok kategóriáján definiált zárt, ferde monoidális struktúrákkal.
Results in English
Our research activity in the areas of quantum field theory, quantum groupoids and category theory has resulted in new concepts and revealed new relationships which we presented in 16 scientific publications. The main results are the following.
By introducing the notion of non-commutative common cause we have shown that a joint local non-commutative common cause can explain a set of correlations even if it violates the Bell inequalities.
Hopf-cyclic (co)homology theory is capable to describe the symmetries in non-commutative geometry. We invented a novel categorical treatment which, in contrast to earlier approaches, incorporates more realistic models possessing Hopf algebroid symmetries.
We studied monads whose Eilenberg-Moore category bears the characteristic properties of module categories over a weak bialgebra: it is monoidal and its forgetful functor is separable Frobenius. Extending to them a number of results on weak bialgebras justifies that they provide the proper generalization to the monadic setting.
We have introduced the notion of skew monoidal categories and proved that the closed skew monoidal structures on the category of (one-sided!) R-modules are precisely the bialgebroids over the ring R.
