Investigation of solutions of nonlinear boundary-value problems
Keywords in Hungarian
Közönséges differenciálegyenlet renszerek, lineáris és nemlineáris többpontos peremfeltételek, sajátérték-feladatok
Keywords in English
Systems of ordinary differential equations, linear and nonlinear multipoint boundary conditions, eigenvalue problems
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Matematikai Intézet (University of Miskolc)
Starting date
2007-07-01
Closing date
2011-07-31
Funding (in million HUF)
4.425
FTE (full time equivalent)
1.20
state
closed project
Summary in Hungarian
A tervezett pályázat általános alakú nemlineáris közönséges differenciálegyenlet-renszerekhez tartozó peremérték-feladatok megoldásainak vizsgálatával foglalkozik. Az ilyen jellegű kutatásoknak Magyarországon nincsenek még olyan szép hagyományai, mint a matematika más területein. Azonbam a széleskörü alkalmazhatóság és a még sok megoldatlan elméleti probléma miatt a peremérték-feladatok megoldásainak egzisztencia vizsgálata és közelitő meghatározása iránt igen aktív érdeklődést mutatnak a jelenlegi nemzetközi kutatási irányzatok. A kutatómunka numerikus, analitikus , funkcionál-analitikus és egy pár évtizede a pályázó közvetlen részvételével kialakult ún. sorozatos közelítésen alapuló numerikus-analitikus módszerek területén történik . Minden csoport módszerének megvan az előnye, hátránya , alkalmazhatóságának elégséges feltétele és a módszereket célszerű csak osztályon belül versenyeztetni. Eddigi kutatásaink kimutatták, hogy a sorozatos közelítésen alapuló módszerek egzisztencia vizsgálatban illeve a megoldás meghatározása során felhasználhatók akkor is, amikor más csoportokhoz tartozó módszerek alkalmazhatóságát biztosító feltételek nem teljesülnek. Ebben a témakörben történő kutatások folytatása és hazai meghonosítása egyik célkitűzésünk. Folytatni szeretnénk a paraméteres nemlineáris peremérték-feladatok megoldásainak tanulmányozását, abban az esetben, amikor mind a differenciálegyenletben, mind a peremfeltételekben paraméterek szerepelnek illetve a peremfeltételek is nemlineárisak. Jelenleg ezen kérdések vizsgálatával foglalkozó cikkek többségében csak a differenciálegyenletben feltételezik a paramétereket. A pályázatban ez a megszorítás nem szerepel. Bizonyos szimmetrikus tulajdonságokkal rendelkező nem-autonóm differenciálegyenlet- rendszerek esetén tanulmányozni kívánjuk a periodikus megoldások egyes általunk bevezetett általános szimmetriai tulajdonságait.
Summary
Summary
The Project deals with the investigation of solutions of non-linear boundary- value problems for systems of ordinary differential equations. In Hungary there is no such great traditions in this field as in the other parts of mathematical analysis. But, the recent international trends show that due to wide applicability and the huge number of unsolved problems a great attention in the theory of boundary-value problems is paid to studying an existence problems and to finding the approximate solutions. The numerical, analytic, functional-analytic and so called numerical- analytic methods based upon successive approximations , which appeared in the last decades with the active participation of the present applicant, are most often used in this field. Obviously, each group of these methods has advantages , disadvantages and sufficient conditions of its applicability and therefore, it is an expedience to compare the methods in the framework of each group separately. However, our investigations show, that the numerical-analytic methods based upon successive approximations can be used in the study and approximate construction of the solutions, even in those cases when the sufficient conditions of the applicability of the methods from other groups are not fulfilled. The aim of the Project is to continue and make useful these investigations in our country. We would like to continue our earlier investigations in the topic of parametrized boundary-value problems in the case when the given system of differential equations as well as the boundary conditions contains unknown parameters . We intend to study such types of problems with non-linear boundary conditions as well. For non-autonomous non-linear systems of differential equations some new generalized symmetric properties of periodic solutions will be studied. The odd and even properties are obtained as special cases.
Final report
Results in Hungarian
A pályázat általános alakú nemlineáris közönséges differenciálegyenlet-rendszerekhez illetve lineáris funkcionál- differenciálegyenlet rendszerekhez rendelt peremérték-feladatok megoldásainak vizsgálatával foglalkozik. A fő hangsúlyt lokálisan Lipschitz-rendszerekre helyezzük.
Kutatásaink kimutatták, hogy a sorozatos közelítésen alapuló saját fejlesztésű numerikus –analitikus módszereink az egzisztencia vizsgálatban illetve a megoldás közelítő meghatározása során felhasználhatók akkor is, amikor más csoportokhoz tartozó módszerek alkalmazhatóságát biztosító feltételek nem teljesülnek.
Kidolgoztunk egy paraméterezési technikát, amely segítségével egyszerűbben tudjuk kezelni a szinguláris mátrixokat tartalmazó két és három pontos lineáris peremfeltételeket. A szóban forgó paraméterezési eljárás igen hasznosnak bizonyult erősen nemlineáris feladatoknál is, amikor az adott peremfeltételek szintén nemlineárisak. A módszerünk segítségével a nemlineáris kétpontos vagy hárompontos peremfeltételek visszavezethetőek egy egyszerűbb feladatra, ahol a transzformált nemlineáris differenciálegyenlet-rendszert már kétpontos lineáris peremfeltételekkel kell tanulmányozni. Ezen kívül a módosított feladathoz egy algebrai (vagy transzcendens) egyenletrendszer egyszeri megoldása tartozik, melynek dimenziója megegyezik a bevezetett paraméterek számával.
Periodikus peremfeltételek mellett nem-autonóm differenciálegyenlet- rendszerek esetén kimutattuk a megoldások bizonyos általánosított szimmetrikus tulajdonságait Ez a szimmetria speciális esetként magába foglalja a páros, páratlan és más ismert tulajdonságokat.
Results in English
The Project deals with the investigation of solutions of non-linear boundary- value problems for systems of ordinary differential and linear functional-differential equations. We pay the main attention to the local Lipschitz systems.
Our investigations show, that the numerical-analytic methods based upon successive approximations developed in the framefork of the project, can be used in the existence analysis and approximate construction of the solutions, even in those cases when the sufficient conditions of the applicability of the methods from other areas are not satisfied.
We introduce a suitable parametrization technique and show how it can help when dealing with non-separated three-point boundary conditions determined by singular matrices. This parametrization approach is very usefull in the case of strongly nonlinear problems even if the given boundary conditions are nonlinear. We show that in the investigation such problem, it is often useful to reduce it to a parametrized family of two-point boundary value problems with linear boundary conditions for a suitably perturbed differential systems.
Our technique leads to a certain system of algebraic equations for the introduced parameters whose solutions provide those numerical values of the parameters that correspond to the solutions of the given boundary value problem.
For non-autonomous non-linear systems of differential equations some new generalized symmetric properties of periodic solutions were determined. The odd, even and some other properties appear as special cases.
Rontó A. and Rontó M.: Successive Approximation Techniques in Non- Linear Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations ,, Handbook of Differential Equations, Ordinary Differential Equations, vol. IV, 441- 592, Edited by F. Batelli and M. Feckan, (2008), Elsevier B.V., 2008
Rontó M.: .On two numerical-analytic methods for the investigation of periodic solutions, , Periodica Mathematica Hungarica, Vol. 56 (1), (2008), 121-135, 2008
Ronto M. and Shchobak N.: On parametrized for a non-linear boundary valuen problem with separated conditions,, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No. 18, (2008), pp.1-16., 2008
Ronto A. and Ronto M.: Successive approximation method for some linear boundary value problems for differential equations with a special type of argument deviations, Miskolc Mathematical Notes, vol. 10 , No.1(2009), 69-95., 2009
Ronto A. and Ronto M.: . On a Cauchy –Nicolett type three-point boundary value problem for linear differential equations with with argument deviations, Miskolc Mathematical Notes, vol. 10 , No.2 (2009), 173-205, 2009
Rontó M., Shchobak N. and Marinets. K.: On parametrization of Cauchy-Nicoletti type boundary- value problems,, Scientific Transactions of the Uzhgorod National University, Mathematical Series, Vol.16, (2008), 163-173 (in Ukrainian), 2008
Ronto M. and Shchobak N: Parametrization for some boundary value problems of interpolation type,, Tatra Mt. Math. Publ. 43, (2009),229-242, 2009
Ronto A. and Rontó M: Successive approximation technique for investigation of solutions of some boundary value problems for functional-differential equations with special deviation of argument, Special Issue of International Journal of Qualitative Theory of Differential Equations and Applications, vol.3, No.1, (2009), 127-139, 2009
Ronto M.,: ., On parametrization for some linear three-point boundary value problems with argument deviation, Annales Univ. Sci. Budapest , Sec. Mathematica ,53, (2010), 97-122, 2010
