group ring, group of units, chrystallographic group
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Algebra and Number Theory (University of Debrecen)
Participants
Bódi, Viktor
Starting date
2007-07-01
Closing date
2011-09-30
Funding (in million HUF)
5.000
FTE (full time equivalent)
4.79
state
closed project
Summary in Hungarian
Kutatásaink az algebra egy intenzíven fejlődő területére, a csoportgyűrűk elméletére valamint reprezentációelméleti kérdésekre terjednek ki. Célunk a moduláris csoportalgebra vizsgálata, ezen belül egyes Lie tulajdonságainak, multiplikatív filtrációs bázis létezésének, és az egységcsoportjának a tanulmányozása. A Lie tulajdonságok lehetőséget adnak az egységcsoport bizonyos csoportelméleti tulajdonságainak a vizsgálatára. Tervezzük az egységcsoport izomorfia problémájának illetve hatványstruktúrájának a vizsgálatát; az egységcsoport exponensének, nilpotencia osztályának és p-rangjának a tanulmányozását és számítógépes vizsgálatát, továbbá egyes esetekben ezeknek az invariánsoknak a meghatározását. Reprezentációelméleti módszerek alkalmazásával folytatjuk az általános kristálycsoportok tulajdonságainak a leírását melynek segítségével megpróbálunk a klasszikus kristálycsoportok elméletében is új eredményeket elérni. Zassenhaus első sejtését, számítógép segítségével tovább vizsgáljuk.
Summary
In the focus of our research there are the group ring theory, which is an intensively developing area of the algebra, and certain questions of the representation theory. Our goal is to investigate the modular group algebras, namely, some Lie properties of them, the existence of their filtered multiplicative bases and the study of their group of units. The Lie properties enable us to investigate some group theoretical properties of the group of units. We plan to study the power structure, the exponent, the nilpotency class, the p-rank and the isomorphism problem of the group of units, and to determine them in some cases. Using some methods of representation theory, we continue the description of the properties of the generalized crystallographic groups, and with the aid of them, we try to get new results about classical crystallographic groups. Zassenhaus’ first conjecture will be studied further using computer algebraic methods.
Final report
Results in Hungarian
A következő témakörökben értünk el eredményeket:
- algebrák reprezentációelmélete (vizsgáltuk Lie-algebrák burkoló algebrájának filteres multiplikatív bázisát)
- véges csoportok reprezentációelmélete és az egész számok feletti csoportgyűrűk egységcsoportja (vizsgáltuk Zassenhaus sejtését, azaz hogy az egész számok csoportgyűrűjének minden torzió egysége racionálisan konjugált az alapcsoport valamely elemével. Leírtuk a GL(n,K) lineáris csoportnak a felbonthatatlan nem ciklikus negyedrendű részcsoportjait, ahol K vagy az egész számok gyűrűje, vagy lokalizációja 2 prím szerint, vagy a 2-adikus egész számok gyűrűje)
- csoportalgebrák és keresztszorzatok (vizsgáltuk a csoportalgebrák és keresztszorzatok Lie nilpotenciáját, és ezeknek a Lie nilpotencia indexét, továbbá a KG csoportalgebra V(KG) egységcsoportjának a struktúráját, ahol G egy p-csoport és K egy p karakterisztikájú test)
- csoportalgebrák és csoportgyűrűk egységcsoportja (leírtuk, hogy mikor lesz az egységcsoport hiperbolikus Gromov értelemben, és mikor lesz az egységcsoport teljes hatványú p-csoport)
- komputer algebra (továbbfejlesztettük és elkészítettük egy újabb verzióját a GAP komputer algebra rendszer LAGUNA program csomagjának (verziószáma: 3.5.0))
Results in English
We obtained new results in the following topics:
1. Representation theory of algebras. We studied filtered multiplicative bases of enveloping algebras of Lie algebras.
2. Representation theory of finite groups and unit groups of integral group rings. We studied the Zassenhaus conjecture, which states that every torsion element of ZG is rationally conjugate to an element of G. We described the indecomposable non cyclic subgroups of order four of the linear group GL(n,K), where K is either the ring of integers, or its localization at the prime 2, or the ring of 2-adic integers.
3. Group rings and crossed products. We studied their Lie nilpotency and their Lie nilpotency indices, and also the structure of the unit group V(KG) of KG, where G is a p-group and the field K has characteristic p.
4. Unit groups of group rings and algebras. We determined those cases when the unit group is hyperbolic in Gromov's notation, and we described the cases when the unit group is a powerful p-group.
5. Computer algebra. We developed a new and more powerful version (numbered as 3.5.0) of the LAGUNA computer algebra package of the GAP system.
