Department of Algebra and Number Theory (Eötvös Loránd University)
Participants
Lukács, Erzsébet
Starting date
2007-07-01
Closing date
2012-04-30
Funding (in million HUF)
4.672
FTE (full time equivalent)
1.94
state
closed project
Summary in Hungarian
Kutatásainkat a kváiöröklődő és a rétegezett algebrák témakörében kívánjuk folytatni. Vizsgálataink első fontosabb témaköre az ún. standardizálás fogalmához kapcsolódik. Korábbi munkánkban definiáltunk két operátort, melyek tetszőleges algebrához egy olyan algebrát rendelnek hozzá, mely standardul van rétegezve valamelyik oldalon. Szeretnénk megvizsgálni, milyen invariánsokat találhatunk az operátorok segítségével megadható különböző algebraekvivalenciáknál, hogy ezek segítségével általános eredményeket kaphassunk általános algebrák reprezentációiról. Vizsgálódásunk másik témaköre a véges dimenziós algebrák finitisztikus dimenzió sejtéséhez kapcsolódik. Standardul rétegezett algebrák esetén explicit korlát mutatja a finitisztikus dimenzió végességét. Azt sejtjük, hogy általános rétegezett algebrák esetén ugyanez a korlát érvényes. Szeretnénk emellett még azt is megvizsgálni, hogy miképpen lehetne az ún. tilting elmélet segítségével jó teszt modulusokat kapni a finitisztikus dimenzió kiszámolására.
Summary
We plan to conduct research in the area of quasi-hereditary and stratified algebras. The first major topic of our investigations is related to the concept of standardization. In our earlier work we defined two operators on the class of all algebras, which associates to an arbitrary algebra an algebra which is standardly stratified either on the right or on the left side. We would like to explore the invariants of various equivalences defined by these operators and to use them to derive results about the representation theory of the general algebra. The other main question we would like to deal with is related to the finitistic dimension conjecture of finite dimensional algebras. For standardly stratified algebras an explicit bound shows the finiteness of the finitistic dimension. We conjecture that the same bound should hold for general stratified algberas. Furthermore we would like to eplore the possibilities of getting good test modules for the finitistic dimension using tilting theory.
Final report
Results in Hungarian
1. Minden véges dimenziós A algebrához egyértelműen létezik egy-egy Σ(A)-val, illetve Ω(A)-val jelölt algebra, melyek delta-, ill. deltavonásfiltráltak, s melyeknek a standard, ill. valódi standard modulusokkal filtrált modulusainak részkategóriái az A hasonló részkategóriáival ekvivalensek. A Σ és az Ω operációt fölváltva alkalmazva véges sok lépés után stabilizálódik az így kapott sorozat. (A kutatás nagy része még az előző pályázatban folyt.)
2. Az algebrák Peirce-fölbontását vizsgálva szükséges és elégséges feltételeket találtunk, melyeket teljesítve, kisebb algebrákból és alkalmas filtrált bimodulusokból kiindulva bármely standardul rézegezett algebra előállítható. Ez Dlab és Ringel egy korábi eredményének általánosítása.
3. Sikerült kidolgoznunk az ún. rétegező részkategóriák fogalmát, mely alkalmasnak látszik arra, hogy a további vizsgálatokban átvegye a standardul filtrált modulusok szerepét, s ezáltal a CPS-rétegezett algebrák struktúraelméletét lehet megalapozni.
4. A rétegező részkategóriák segítségével a CPS-rétegezett algebrákra is meg tudtuk csinálni a 2.-ben említett rekurzív konstrukciót: megmutattuk, hogyan tudjuk – legalábbis elvben – az összes CPS-rétegezett algebrát megkapni lokális algebrákból és fölöttük vett bimodulusokból kiindulva.
Results in English
1. To any finite dimensional algebra A there is unique pair of algebras, denoted by Σ(A), and Ω(A), such that they are filtered by standard (proper standard) modules, morover the corresponding subcategories of filtered modules over A and Σ(A) (resp. Ω(A)) are equivalent. Repeating alternatively the operations Σ and Ω the sequence obtained this way stabilizes in a finite number of steps. (Much of the research was done during the previous granting period.)
2. By investigating the Peirce decomposition of an algebra, we found necessary and sufficient conditions for the construction of all standardly stratified algebras. This is the generalizatin of previous results by Dlab an Ringel.
3. We defined the notion of a stratifying pair of subcategories which seems to be the correct tool to replace the category of modules with standard filtration over a standardly stratified algebra. This may be used to build a structure theory for CPS-stratified algebras.
4. Using the notion of stratifying subcategories, we managed to adjust the recursive construction, mentioned in 2, to obtain all CPS-stratified algebras from local algebras and suitable bimodules.
