diophantine equations, appell sequences, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, power sums
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Algebra and Number Theory (University of Debrecen)
Starting date
2007-07-01
Closing date
2010-12-31
Funding (in million HUF)
1.450
FTE (full time equivalent)
0.98
state
closed project
Summary in Hungarian
A pályázatunk kutatási ideje alatt ineffektív, effektív és numerikus eredményeket szeretnénk elérni olyan diofantikus egyenletekkel kapcsolatosan, amelyek Appell sorozatokat tartalmanak. Az Appell sorozatok közül a legnevezetsebbek a Bernoulli, az Euler és a Hermite polinomok. Ezen polinomokat tartalmazó diofantikus egyenletekkel korábban számos matematkus foglalkozott. Eredményeink részben általánosításai és kiterjesztései lennének az ő munkájuknak. Kutatásunk során vizsgálnánk többek között az Appell sorozatok felbonthatóságát és extrémumainak P-típusát, amely ismeretek birtokában választ kapnánk számos diofantikus problémára az Appell sorozatokkal kapcsolatban. Emellett felső korlátot határoznánk meg a kutatási tervben ismertetett $F(A_{n})(x)=y^{m}$ típusú szuperelliptikus egyenletcsalád egész megoldásaira.
Summary
In our project we would like to study several diophantine problems connected with Appell sequences. The most important and clasical Appell sequences are the Bernoulli polynomials, the Euler polynomials and the Hermite polynomials. There are several diophantine results concerning the Bernoulli polynomials. In our investigations we try to generalize and extend these results for Appell sequences. Among other things we will deal with the decompositions of certain Appell sequences and the P-type of the extrema of Appell sequences. In view of P-type and decompositions we will determine all integer solutions of the following superelliptic equation $F(A_{n}(x))=y^{m}$, where $A_{n}(x)$ is an Appell sequence, F(x) is an arbitrary but fixed polynomial with rational coefficients and m>=2 is an integer.
Final report
Results in Hungarian
Rakaczki számos, jelentős effektív eredményt ért el Appell sorozatokat tartalmazó hiperelliptikus, illetve szuperelliptikus F(A_n(x))=y^m típusú egyenletek x, y, m egész megoldásaira vonatkozóan, ahol F(x) egy tetszőleges racionális együtthatójú polinom, amelyik nem m-edik hatvány. Különböző számelméleti eszközök és elemi módszerek kombinálásával megmutatta, hogy a három legismertebb Appell sorozta (Hermite polinomok H_n(x), Euler polinomok E_n(x), Bernoulli polinomok B_n(x)) extrémumainak P-típusa mindíg tartalmaz legalább három 1-est, feltéve, hogy az adott polinom fokszáma legalább 7. Az s(1^k+2^k+…+x^k)+r=y^n diofantikus egyenlettel kapcsolatban lényegesen általánosítja, illetve kiterjeszti számos szerző, köztük Győry, Tijdeman, Voorhoeve, Kano, Brindza, Pintér, korábbi eredményeit. Teljesen jellemzi az összes olyan s, r, k egészeket, amelyek mellett az egyenletnek lehet végtelen sok x, y>=2, n>=2 egész megoldása.
Results in English
Rakaczki has obtained several significant effective results for the number of integer solutions of the hiperelliptic and superelliptic equations of the form F(A_n(x))=y^m, where F(x) is a non m-th power polynomial with rational coefficients and A_n(x) is an Appell sequence. Combining different number theory tools and elementary methods he showed that the P-types of extrema of the three most famous Appell sequences (Hermite polynomials H_n(x), Euler polynomials E_n(x), Bernoulli polynomials B_n(x)) always contain at least three 1, provided that the degree of the given polynomial is at least 7. His results related to the diophantine equation s(1^k+2^k+…+x^k)+r=y^n are considerable generalizations and extensions of some earlier relevant works of Győry, Tijdeman, Voorhoeve, Kano, Brindza and Pintér. He characterized those integers s, r, k for which the the above equation may have infinitely many integer solutions x, y>=2, n>=2.
