Technical Mechanics (Council of Physical Sciences)
90 %
Ortelius classification: Civil engineering
Geology, Tectonics, Vulcanology (Council of Complex Environmental Sciences)
5 %
Ortelius classification: Petrology
Environmental biology, ecotoxicology (Council of Complex Environmental Sciences)
5 %
Ortelius classification: Animal ecology
Panel
Engineering, Metallurgy, Architecture and Transport Sciences
Department or equivalent
Department of Mechanics, Materials and Structures (Budapest University of Technology and Economics)
Participants
Lángi, Zsolt Novák-Szabó, Tímea Sipos, András Árpád Török, Ákos Várkonyi, Péter László
Starting date
2008-04-01
Closing date
2013-04-30
Funding (in million HUF)
19.239
FTE (full time equivalent)
5.27
state
closed project
Summary in Hungarian
Merev testek egyensúlyi osztályai, geometriai formái, az egyensúlyok toploógiája és a formák időbeli változása között keresünk összefüggéseket. Az egyensúlyi osztályokat korábban definiáltuk és bebizonyítottuk, hogy síkban egy üres osztály van térben pedig nincsen üres osztály. Az utóbbi eredmény alapja az {1,1} osztályba tartozó mono-monostatikus Gömböc létének bizonyítása volt. Előzetes megfigyeléseink alapján úgy tűnik, hogy ez az osztályozás hasznos lehet teknős páncélok és kavicsok geometriájának megértésében.
Előbbiek között találhatók olyanok, melyek a Gömböcre hasonlítanak. Célunk ennek a hipotézisnek az igazolása vagy cáfolata illetve annak megállapítása, hogy a monostatikus {1,j} osztályokban találhatóak-e teknős-páncélok. Utóbbiak léte érdekes fényt vetne az evolúció geometriai vonatkozásaira. Egy többparaméteres teknős-modell segítségével szeretnénk kvantitatív eredményekhez jutni és megállapítani, hogy a teknősök mennyire közelítik az optimális geometriát.
Elméletünk azt jósolja, hogy a kavicsok kopása során az egyensúlyi helyzetek száma tipikusan növekedik. Ennek látszólag ellentmond az a megfigyelés, hogy a kavicsok többségének hat egyensúlyi helyzete van. Egyik célunk ennek a paradoxonnak a feloldása. A kavicsok kopásának nagy irodalma van, többnyire parciális differenciálegyenleteken alapulú determinisztikus modelleket alkalmaznak. Célunk egy diszkrét, sztochasztikus modell felállítása és verifikálása.
A fenti, biológiai és geológiai indíttatású feladatok mellett foglalkozni szeretnénk elméleti kérdésekkel is, például a folyadékban úszó mono-monostatikus test létezésének kérdésével és az egyensúlyi osztályokon belüli toploógiai alosztályok meghatározásával.
Summary
We investigate the interaction between equilibrium classes and the evolution of geometric forms in case of rigid bodies. In earlier work we defined equilibrium classes and proved that in the 2D case there is one empty class whereas in the 3D case there is none. Latter result was acheived by proving the existence of the mono-monostatic Gömböc in class {1,1}. Preliminary obesrvations indicate that this classification might be useful to understand the geometry of turtle shells and pebbels.
Among turtles one can find species where the shell is strongly reminiscent of the Gömböc. One of our goals is to prove or disprove this hypothesis. More broadly, we are interested in whether shells in the monostatic classes {1,j} exist. An affirmative answer would shed interesting light on geometrical aspects of evolution. We propose to construct a geometric shell model to predict righting behaviour based on the geometry of the shell. One of our goals is to find out how far turtle shells are from the optmal geometry.
Our previous theory suggests that in a wear process pebbles will typically increase the number of their equilibria. In contrast, observation show that most pebbles have just six equilibrium points. One of our goals is to explain this paradox. There is substantial literature on the wear process of stones, applying deterministic PDE-based models. Here we propose to use a discrete random approach and we plan to verify this model both numeically and experimentally.
Beyond the above questions related to biology and geology, we would also like to address problems in mechanics, including the existence of mono-monostatic objects in hydrostatic equilibrium as well as the identification of topological sub-classes inside the perviously defined equilibrium classes.
Final report
Results in Hungarian
A kutatás keretében konvex, merev testek mechanikai egyensúlyi helyzetei és a morfológiája közötti kapcsolatot vizsgáltuk. Ennek keretében bebizonyítottuk, hogy léteznek gömbtől eltérő, úgynevezett neutrálisan úszó testek melyek tetszőleges pozícióban egyensúlyban vannak. Megmutattuk, hogy szoros kapcsolat van a teknősök élőhelye, talpra-állási stratégiája és páncéljuk geometriája között. Példát mutattunk olyan teknősfajokra, melyek közelítőleg monostatikus páncéllal rendelkeznek és ezért pusztán gravitáció segítségével talpra tudnak állni. A páncél geometriája alapján azonosítottuk egy 200 millió éves ősteknős élőhelyét. Egyensúlyi helyzeteik száma és típusa alapján új osztályozási rendszert javasoltunk kavicsokra. Megmutattuk, hogy az új osztályozás a hagyományos, geológiában elterjedt osztályozásnál több információt hordoz a kavics alakjáról. Igazoltuk, hogy sima felületek egyenletes, kellően finom diszkretizálásával létrehozott poliéderek esetén az egyensúlyok két, jól elkülönült skálán jelentkeznek és megadtuk a mikro skála pontos szerkezetét. Folytonos és diszkrét, sztochasztikus kopásmodellt állítottunk fel és ezek segítségével modelleztük aszteroidák alakfejlődését illeteve folyami mederfenék kopását. Eredményeink jó egyezést mutatnak a csillagászati és geológiai megfigyelésekkel illetve a labor kísérletekkel.
Results in English
We investigated the relationship between mechanical equilibrium points and global morphology of convex, rigid bodies. We proved the existence of non-spherical, neutrally swinning objects which are at rest in any position. We demonstrated the close relationship between the habitat, self-righting strategy and shell geometry of turtles. We showed that some turtle species have developed monostatic shells enabling them to self-right under gravity. Based ont he geometry of the well-preserved shell we identified the habitat of a 200 million year old turtle fossil. We proposed a new classification scheme for pebbles, based ont he number and type of their static equilibrium points and demonstrated that this new system carries more information than the traditional geological Zingg classification. We proved that sufficiently fine, uniform polyhedral discretizations of smooth, convex surfaces give rise to equilibria on two, well-seperated scales and we described the detailed geometry of the micro-scale. We developed continuous and discrete, random models for abrasion and found good match between predictions of our model and the shape evolution of asteroids and river bedrock abrasion.
Decision
Yes
List of publications
Domokos G., Varkonyi, P. L.: Geometry and self-righting of turtles, Proc. Roy. Soc. B, Volume 275, Number 1630 / January 07, 2008 pp 11-17, 2008
Domokos G. Lángi Z., Szabó T.: On the equilibria of finely discretized curves and surfaces, MONATSHEFTE FÜR MATHEMATIK, Volume 168, Issue 3, 2012
A.A. Sipos, G. Domokos, N. Hovius, A. Wilson: A discrete random model describing bedrock profile abrasion, Mathematical Geosciences Vol 43, pp 583-591 DOI 10.1007/s11004-011-9343-8. (2011)., 2011
Varkonyi, P. L.: Floating body problems in two dimensions, Studies in Applied Mathematics 122, pp. 195-218 (2009)., 2008
G. Domokos, A.A. Sipos, T. Szabó: The mechanics of rocking stones: equilibria on separated scales, MATHEMATICAL GEOSCIENCES 44:(1) pp. 71-89, 2011
R. Benson, G. Domokos, P.L. Várkonyi, R. Reisz: Shell geometry and habitat determination in extinct and extant turtles (Reptilia: Testudinata), Paleobiology, Vol 37, pp 547-562 (2011), 2011
Várkonyi, P., Domokos G.: A general model for collision-based abrasion processes, IMA J Appl Math (2011) 76 (1): 47-56. doi:10.1093/imamat/hxq066, 2011
Szabó T., Domokos G.: A new classification system for pebble and crystal shapes based on static equilibrium points., Central European Geology (2010) Vol 53 pp 1-19, 2010
