Jelen OTKA pályázat egyenes folytatása a most lezáruló hasonló című T43242 számú OTKA-nak. Az ott megkezdett kutatásokat kívánjuk folytatni új kutatási irányokkal bővítve. Tarski iskolájának szellemében, illetve azt továbbvíve, az algebra, logika és a téridő-geometria kérdéseit tervezzük továbbvizsgálni. Ehhez a vizsgálathoz az eszköztárat, előfeltételeket Tarskival és munkatársaival együttműködve közösen hoztuk létre. Megoldottuk például Tarski egy klasszikus problémáját a metamatematika véges axiomatizálása és a cilindrikus algebrák kapcsolatáról, mely által felvetett további kérdéseket a jelen kutatásban szeretnénk megválaszolni és az eredményeket a relativisztikus téridőkre épülő kiszámíthatóság elméletében felvetett problémákra alkalmazni. A speciális relativitáselméletet felépítettük/axiomatizáltuk az elsőrendű logikán belül és fogalmi analízisében lényeges eredményeket értünk el. Megtettük az első lépéseket az általános relativitáselmélet hasonló szellemű vizsgálatának irányában. Ennek folytatása és elmélyítése fontos célja a jelen kutatásnak. Ki szeretnénk térni néhány egzotikus áltrel téridő, például nagy lassan forgó fekete lyuk exotikumainak vizsgálatára is. Az eredmények egyben a logikus Kurt Gödel és Einstein együttműködéséből származó téridők működésére is fényt vetnének. A Henkin-Monk-Tarski monográfiákban felvetett nyitott problémák számottevő részét sikerült megoldanunk, tervezzük a többit is vizsgálni.
Summary
The present OTKA project is a direct continuation of its predecessor T43242 which expires now. We intend to continue the research directions pursued in T43242 enriched with new directions. In the spirit of the Tarskian approach, we plan to pursue questions of algebra, logic, and spacetime geometry. The foundations for this approach or for such a combined pursuit were elaborated in joint research with Tarski and his colleagues by the senior members of the present team. Among others, we obtained a positive solution for a classical problem of Tarski concerning finite axiomatizability of set theory over 3-dimensional cylindric algebras, which solution in turn might be applied to the notion of relativistic computing. We plan to pursue such applications. We have obtained a first-order logic based axiomatization of special relativity (SR) on the basis of which we conducted a fairly broad conceptual analysis of SR. We made first steps in the direction of extending this approach to general relativistic spacetimes. We would like to continue these directions. In addition, we would like to make an in-depth study into the subleties of some of the more exotic GR-spacetimes e.g. huge, slowly rotating Kerr black holes and Kerr-Newmann spacetimes. This might in turn connect up to spacetimes originating from the cooperation of logician Kurth Gödel and Einstein. We managed to solve quite a few of the open problems raised/published in the Henkin-Monk-Tarski monographs and we hope to solve as many of the rest as possible.
Final report
Results in Hungarian
A logika és a matematika modern megalapozása Gödel és Tarski úttörő munkásságára vezethető vissza. Gödel 1948-tól majdnem élete végéig Einsteinnel szorosan együttműködve relativitáselméleten dolgozott, ahol ugyanolyan meghökkentő új horizontokat tárt fel mint logikában. Ezen előzményekhez szeretnénk kapcsolódni a jelen projektummal, mely Tarskival és munkatársaival való személyes együttműködés (pl. közös könyv) keretében kezdődött. Az alapgondolat a logika, algebra, geometria, téridőelmélet és relativitáselmélet egységben való művelése. Eredményeinkből pár példa: 1) Az általános relativitáselmélet tisztán elsőrendű logikában való felépítésére adtunk egy új áramvonalas axiómarendszert. Elkezdtük az új elmélet logikai analízisét kiépíteni a matematika alapozásában jól bevált „reverse mathematics” módszereivel. 2) A számítástudományban használatos reláció és Kleene algebrák reduktumairól bizonyítottunk pozitív és negatív axiomatizálhatósági tételeket. 3) A Leon Henkin által bevezetett un. neat-reduktumok segítségével megoldottunk nyitott problémákat az algebrai logika területén.
Results in English
Modern logic and meta-mathematics was created (basically) by Gödel and Tarski. Beginning with 1948, Gödel spent much time with Einstein and worked on relativity theory. Of course, he remained a logician in spirit. Gödel obtained fundamental breakthroughs in relativity like his ones in logic and foundations. The reported project intends to work in the spirit of these traditions. The present project was originally started in personal cooperation with Tarski and his collaborators. The idea is to study logic, algebra, geometry, spacetime theory and relarivity theoy in a strong unity. A sample of our results: 1) We gave a new streamlined axiomatization purely in first-order logic for general relativity theory. We began logical analysis for the new theory in the spirit of the well established reverse mathematics used in the foundation of mathematics (FOM). 2) We studied reducts of relation algebras and Kleene algebras used in computer science. We proved positive as well as negative axiomatizability theorems for various reducts of these algebras. 3) Using the method of neat-reducts originated with Leon Henkin we solved several open problems from algebraic logic.
Andai A; Andréka H; Madarász JX; Németi I: Visualizing ideas about Gödel-type rotating universes, in: Scherfner M; Plaue M. Gödel-type Spacetimes: history and new developments. Collegium Logicum, Kurt Goedel Society, Vienna (közlésre elfogadva), 2010
Andréka H; Madarász JX.; Németi I; Székely G: Vienna Circle and Logical Analysis of Relativity Theory, in: Stadler F. Wiener Kreis und Ungarn, Veröffentlishungen des Instituts Wiener Kreis, Springer Verlag (közlésre elfogadva), 2010
Madarász JX; Sayed-Ahmed, T: Neat reducts and amalgamation in retrospect, a survey of results and some methods. Part I: Results on neat reducts., Logic Journal of the IGPL 17,4: 429-483, 2009
Madarász JX; Sayed-Ahmed, T: Neat reducts and amalgamation in retrospect, a survey of results and some methods. Part II: Results on amalgamation., Logic Journal of the IGPL 17,6: 755-802, 2009
Székely G: On why-questions in physics, in: Stadler F. Wiener Kreis und Ungarn, Veröffentlishungen des Instituts Wiener Kreis, Springer Verlag (közlésre elfogadva), 2010
