Hiperbolikus dinamikai rendszerek sztochasztikus tulajdonságai
Title in English
Stochastic properties of hyperbolic dynamical systems
Keywords in Hungarian
biliárdok, ergodicitás, korrelációlecsengés
Keywords in English
billiards, ergodicity, correlation decay
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Chaos theory
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Stochastics (Budapest University of Technology and Economics)
Starting date
2008-09-01
Closing date
2009-09-30
Funding (in million HUF)
1.287
FTE (full time equivalent)
0.70
state
closed project
Summary in Hungarian
A tervezett kutatások kapcsolódnak a fizikailag releváns dinamikai rendszerek erős sztochasztikus tulajdonságaival kapcsolatos korábbi munkámhoz. A célkituzések három fő területen vannak.
1. Korreláció-lecsengés magas dimenziós biliárdokban
Itt az első cél egyes magas dimenziós, véges horizontú szóró biliárdok exponenciális korreláció-lecsengésének bizonyitása. Ez önmagában figyelemre méltó eredmény lenne, mivel ez lenne az első realisztikus magas dimenziós rendszer, ahol ezt bizonyítható. Ezután tervezem kiterjeszteni az eredményt bonyolultabb magas dimenziós rendszerekre is.
2. Funkcionál-analitikus módszerek a keverés elméletében
Tervezem, hogy találok egy megfelelő függvény-teret hiperbolikus dinamikai rendszerekben, amire a transzfer-operátornak belátható módon spektrális rése van. Egy ilyen konstrukcióval megnyílik az út az eddiginél sokkal általánosabb hiperbolikus rendszerek korreláció-lecsengésének vizsgálata felé.
Olyan numerikus kísérletek elvégzését tervezem, amik megbízható jóslást szolgáltatnak félig szóró biliárdokban a keverés sebességére. Másfelől olyan numerikus szimulációs algoritmus megalkotását tervezem, ami megbízhatóan megtalálja hiperbolikus dinamikai rendszerek invariáns mértékét, esetleg bonyolultabb statisztikai jellemzőit is. Ez rendkívül fontos, és nagyon sok alkalmazása lehet a tudományban a biológiától a fizikán át a közgazdaságtanig.
Summary
The investigations I am planning are related to my previous work on strong stochastic properties of physically relevant dynamical systems. Objectives are in three main fields.
1. Correlation decay in multi-dimensional billiards
The first objective here is to prove that the correlation decay rate in certain multi-dimensional dispersing billiards with finite horizon is exponential. This would be a remarkable result in itself, being the first realistic multi-dimensional system where this can be proven. Next, I plan to extend the result to more complicated multi-dimensional systems.
2. Functional analytic techniques in the theory of mixing
I plan to find a proper function space in hyperbolic dynamical systems with singularities, for which the transfer operator is seen to have a spectral gap. Such a construction would open the way to handling the correlation decay of hyperbolic systems far more general than before.
3. Numerical investigation of mixing in hyperbolic systems
I plan to perform numerical experiments which are able to reliably predict the rate of mixing in semi-dispersing billiards. On the other hand, I plan to find numerical simulation algorithms that can reliably find invariant measures and possibly more advanced statistical properties in hyperbolic dynamical systems. This is of utmost importance, and can have many applications in science from Biology through Physics to Economics.
Final report
Results in Hungarian
A projektet eredetileg 36 hónapra terveztük, de 12 hónap után egy külföldi post-doc pozíció miatt meg kellett szakítani. Emiatt az eredmények részlegesek.
Konstruáltunk egy konkrét 3-dimenziós véges horizontú szóró biliárdot amiben a szingularitási szerkezet exponenciális komplexitása szigorúan bebizonyítható. Két dimenzióban bebizonyítottam, hogy tipikus sima görbékkel határolt szórótestekr esetén a komplexitás korlátos.
Randomizált itarációs algoritmusok megbízhatóságát vizsgáltuk hiperbolikus rendszerek számítógépes szimulációjában, empirikusan. Azt találtuk, hogy nagyon kicsi perturbációk alkalmazása esetés a szimuláció jobban tükrözi a rendszer ergodikus tulajdonságait, miközben a számolt invariáns mérték pontossága alig romlik.
Olyan hővezetés-modellt vizsgáltam, amiben lokalizált biliárd korongok hatnak kölcsön konzervatív erők révén. A gyenge csatolás határesetben egy kölcsönható részecskeredszert sikerült leírni. Ennek a rendszernek a hidrodinamikai limeszét, vele a hővezetési együttható hőmérsékletfüggését sikerült meghatározni szigorú, heurisztikus és numerikus eszközök egy keverékével. A kapott eredmény meglepően realisztikus. Ez komoly eredmény egy nemzetközi érdeklődéssel kísért területen.
Vizsgáltuk a preferenciális kapcsolódás modell szerint növekedő véletlen fák szerkezetét hosszú idő után leíró véletlen mértéket. Bebizonyítottuk, hogy a mérték Hausdorff-dimenziója majdnem biztosan konstans. Erre explicit formulát is adtunk.
Results in English
This project was originally planned for 36 months, but it had to be terminated after 12 months due to a post-doc position abroad. As a consequence, results are partial.
We constructed a specific 3-dimensional finite horizon dispersing billiard where exponential complexity of the singularity structure can be rigorously proven. I have proven that in two dimensions the complexity is bounded for a typical smoouth scatterer curves.
The usability of randomized iteration algorithms in the computer simulation of hyperbolic systems was studied empirically. We found that using very small perturbations results in the ergodic properties of the system being better reflected, while causing little loss in the accuracy of the calculated invariant measures.
I studied a heat conduction model with localized billiard disks interacting via conservative forces. An interacting particle system was found in the weak coupling limit. The hydrodynamic limit of this system, including the temperature dependence of the heat conductivity was established through a mixture of rigorous, heuristic and numerical methods, giving surprisingly realistic results. This is a serious achievement in an area that is in the center of international attention.
We studied the random measure desribing the long-time structure of the growing tree in preferential attachment models. The Hausdorff dimension was proven to be constant almost surely. An explicit formula was also given.
