Analytic convex geometry  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
75016
Type K
Principal investigator Makai, Endre
Title in Hungarian Analitikus konvex geometria
Title in English Analytic convex geometry
Keywords in Hungarian véletlen poliéderek, affin invariáns egyenlőtlenségek, úszó test
Keywords in English random polytopes, affin invariant inequalities, floating body
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Geometry
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Participants Ambrus, Gergely
Böröczky, Károly
Böröczky, Károly
Fodor, Ferenc
Kincses, János
Makai, Endre
Vígh, Viktor
Starting date 2009-01-01
Closing date 2013-06-30
Funding (in million HUF) 10.000
FTE (full time equivalent) 5.52
state closed project
Summary in Hungarian
Ebben a projektben a konvex geometria analitikus természetű problémáinak
vizsgálatát tervezzük. Bár maguk a problémák egymástól függetleneknek tűnnek,
a megoldásukhoz tervezett módszerek sok hasonló megközelítést tartalmaznak.
A leghasznasobbnak tűnő ezköz a konvex testek határának vizsgálata, például
a hipersikok által lemetszett sapkák segítségével.
Minden kérdés a d dimenziós euklidészi térben vetődik fel.

Öt témakört tekintünk. Az első klasszikus geometriai egyenlőtlenségek
stabilitása, mint a Blaschke Santaló vagy az affin izoperimetrikus egyenlőtlenség.
A második témakör véletlen poliéderek átlagvetületei.
A véletlen poliéderek térfogatáról ismert, többek között Rényi, Bárány által elért
klasszikus eredmények analógjait reméljük bizonyítani, bizonyos esetekben akár konvex testek általánosabb családjára is.
A harmadik témakört Arnold indította útjára. Ebben a projektben a fő kérdés aszimptotikus formula
bizonyítása az adott (nagy) térfogatú rácspolitópok ekvivalenciaosztályainak
számára. Továbbá szférikus harmonikusokat és azok néhány
alkalmazását tekintjük. Végül adott az konvex testeket egyszerre metsző hipersíkok
terének topológiáját kívánjuk jobban megérteni az ismert eredmények
általánosítása révén.
Summary
In this proposal we plan to consider problems in convex geometry,
which are analytic in nature. The problems itself may seem to be
far from each other but the possible approaches to solve them
share many common ideas. Probably the main tool is the in depth
investigation of the boundary of convex bodies, for example the
caps cut off by hyperplanes. Each problem is in a Euclidean space of
dimension d.

We set out five tasks. The first is the stability of some
well known geometric inequalities, like the Blaschke Santaló
or the affine isoperimetric inequalities.
The second is the mean projections of random polytopes.
Here we plan to prove the analogues of the classical results by Rényi,
later Bárány, et al. known about the
volume of random polytopes, and even hope that certain results can be proved
in more general context than in the case of volume.
The third task was initiated by Arnold. Our main problem is to get an
asymptotic formula for the number of inequivalent lattice polytopes
of given (large) volume. Moreover we consider spherical
harmonics and some application of them to geometry. Finally in an attempt to generalize some well-known
results, we plan to investigate the topology of the space of hyperplanes
transversal to a given family of convex bodies.




 

Final report

  
Results in Hungarian
A gömbfelületi kúptérfogatmérték fogalma az Abel-díjas Gromovtól származik. Sikerült a gömbfelületen a páros kúptérfogatmértékeket (cone volume measure) karakterizálni. Az eredmény a Monge-Ampere differenciálegyenletek egy fontos osztályának megoldását is jelenti. A cikket azóta el is fogadták a Journal of AMS-ben, amely az egyik vezető matematikai folyóirat. A fenti probláma megoldásának egyértelműségének vizsgálata vezetett el ahhoz, hogy a klasszikus Brunn-Minkowski egyenlőtlenség logaritmikus változatát sejtésként állítsuk. A sejtés síkbeli vátozatát már sikerült is igazolnunk. Sikerült az úgynevezett "polarization problem" egy változatát igazolni. A probléma a fizikával is, és a polinomokkal való approximációval is összefügg. Több eredményt elértünk konvex testek poliéderekkel való approximációjával kapcsolatban, ami valamely folytonos adathalmaz diszkréttel történő közelítését jelenti. Az eredmények azért is jelentősek, mert konvex testek egy speciális családjáról (kétszer differenciálható pozitív görbületű határ) alapvető eredményeket általánosít.
Results in English
The study of the so called cone volume measure on the sphere was initiated by Abel prize laureate Gromov about two decades ago. We managed to characterize even cone volume measures, which result amounts to solve a Minkowski type Monge-Ampere partial differential equation. The corresponding paper has appeared in the Journal of AMS, which is one of the top journals in mathematics. To describe uniqueness of the solution in the problem above, we conjectured a logarithmic Brunn-Minkowski inequality, and verified the planar case. We verified a version of the classical polarization problem, which is deeply connected to physics and the theory of approximation by polynomials. Many results are proved about approximation of convex bodies by random polytopes, in other words, about how certain continuous data can be approximated by a discrete one. The importance of these results is that they extend fundamental results known for a rather restricted class of convex bodies (having twice differentiable boundary with positive curvature) to a much larger family.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=75016
Decision
Yes





 

List of publications

  
K.J. Böröczky, F. Fodor, M. Reitzner, V. Vig: Mean width of random polytopes in a reasonably smooth convex body, Journal of Multivariate Analysis, 100 (2009), 2287-2295., 2009
K.J. Böröczky, R. Schneider: Mean width of circumscribed random polytopes, CMB, 53 (2010) 614-628., 2010
J. Kincses: The Helly dimension of the L_1-sum of convex sets, Acta Sci. Math. (Szeged), 76 (2010), 643-657., 2010
E. Makai, Jr.: An addendum to our paper ``Further remarks on delta- and theta -modifications'', Acta Math. Hungar., 126 (2010), 198-., 2010
K.J. Böröczky, B. Csikós: Approximation of smooth convex bodies by circumscribed polytopes with respect to the surface area, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg, 79, 229-264., 2009
A. Császár, E. Makai, Jr.: Further remarks on delta- and theta-modifications, Acta Math. Hungar. 123 (2009), 223-228, 2009
G. Ambrus, I. Bárány: Longest convex chains, Random Structures and Algorithms, 35( 2009), 137--162, 2009
I. Bárány, F. Fodor, V. Vígh: Intrinsic volumes of inscribed random polytopes in smooth convex bodies, Adv. Appl. Probab. 42 (2010), no. 3, 605-619., 2010
K.J. Böröczky, B. Csikós: A new version of L. Fejes Tóth's Moment Theorem, Studia Sci. Hung., 47 (2010), 230-256., 2010
K.J. Böröczky, F. Fodor, D. Hug: The mean width of random polytopes circumscribed around a convex body, J. London Math. Soc. 81 (2010), no. 2, 499—523., 2010
K.J. Böröczky, D. Hug: Stability of the inverse Blaschke-Santaló inequality for zonoids, Adv. Appl. Math., 44 (2010), 309-328., 2010
K.J. Böröczky: Stability of the Blaschke-Santaló and the affine isoperimetric inequalities, Advances in Mathematics, 225 (2010), 1914-1928., 2010
K.J. Böröczky: Stability of some interrelated geometric and functional inequalities, In: Keith Ball, Martin Henk, Monika Ludwig (eds): Convex Geometry and its applications, Oberwolfach Report No. 53/2009, 12-14, 2010
András Bezdek, Ferenc Fodor: Extremal triangulations of convex polygons, Symmetry Cult. Sci., 22 (2011), No. 3-4, 427-434., 2011
K. Ball, K.J. Böröczky: Stability of some versions of the Pr\'ekopa-Leindler inequality., Monatshefte Math., 163 (2011), 1-14., 2011
K.J. Böröczky, E. Lutwak, D. Yang, G. Zhang: The logarithmic Minkowski problem., Journal of AMS, 26, 831-852., 2013
C. Bavard, K.J. Böröczky, B. Ormos, I. Prok, L. Vena, G. Wintsche: Regularly triangulated hyperbolic surfaces., Acta Sci. Math. (Szeged), 77 (2011), 669-679., 2011
Ambrus, Gergely; Kevei, Péter; Vígh, Viktor: The diminishing segment process, Statist. Probab. Lett., 82, no. 1, 191–195., 2012
Gergely Ambrus, Keith Ball, Tamas Erdelyi: Chebyshev constants for the unit circle, BULLETIN OF THE LONDON MATHEMATICAL SOCIETY, accepted, 2013
K.J. Böröczky, E. Lutwak, D. Yang, G. Zhang: The log-Brunn-Minkowski-inequality, Advances in Mathematics, 231, 1974-1997, 2012
K.J. Böröczky, Oriol Serra: Remarks on the equality case of the Bonnesen inequality, Archiv der Math., 99, 189-199, 2012
K.J. Böröczky, F. Fodor, D. Hug: Intrinsic volumes of random polytopes with vertices on the boundary of a convex body, Transactions of AMS, 365, 785-809, 2013
K.J. Böröczky, E. Makai, M. Meyer, S. Reisner: Volume product in the plane - lower estimates with stability, Studia Sci. Math. Hung., 50, 159-198., 2013
K.J. Böröczky: Stronger versions of the Orlicz-Petty projection inequality, J. Diff. Geom., accepted, 2013
F. Barthe, K.J. Böröczky, M. Fradelizi: Stability of the functional forms of the Blaschke-Santaló inequality, Monatshefte Math., accepted, 2013
T Bisztriczky, F Fodor, D Oliveros: Separation in totally-sewn 4-polytopes with the decreasing universal edge property, BEITRÄGE ZUR ALGEBRA UND GEOMETRIE 53:(1) pp. 123-138., 2012
F Fodor, V Vígh: Disc-polygonal approximations of planar spindle convex sets, ACTA SCIENTIARUM MATHEMATICARUM - SZEGED 78:(1-2) pp. 331-350., 2012
Endre Makai: The hereditary monocoreflective subcategories of Abelian groups and R-modules, Period. Math. Hungar. 65, 107–123., 2012




 

Events of the project

  
2009-11-09 14:05:53
Vezető kutató váltás
Régi vezető kutató: Böröczky Károly
Új vezető kutató: Makai Endre

A vezető kutató váltás indoka: hosszabb külföldi távollét



Back »