Az automorf formák és L-függvények a számelméletben nagy hagyománnyal rendelkeznek, amely Jacobi, Dirichlet és Riemann klasszikus művéig visszavezethető. Láthatóvá teszik az egészek rejtett szimmetriáit és mély kapcsolatot teremtenek a matematika más területeivel mint az algebrai geometria, kombinatorika, reprezentációelmélet, ergodelmélet, dinamikai rendszerek és matematikai fizika. A vezető kutató spektrálemléleti és reprezentációelméleti módszerek alkalmazásával tervez új egyenlőtlenségeket bizonyítani automorf formákra és L-függvényekre. Ilyen egyenlőtlenségek kulcsszerepet játszanak egyenletes eloszlási jelenségekről szóló nehéz diofantikus problémák megoldásában.
Summary
Automorphic forms and L-functions have a long tradition in number theory which can be traced back to the classical work of Jacobi, Dirichlet, and Riemann. They make hidden symmetries of integers visible and provide deep links to other branches of mathematics such as algebraic geometry, combinatorics, representation theory, ergodic theory, dynamical systems, and mathematical physics. The principal investigator intends to apply methods from spectral theory and representation theory to establish new bounds for automorphic forms and L-functions. Such bounds play a key role in the solution of difficult Diophantine problems addressing equidistribution phenomena.
Final report
Results in Hungarian
Valentin Blomerrel Burgess-típusú szubkonvex becslést igazoltunk csavart Hilbert moduláris L-függvényekre, megjavítva Cogdell-PiatetskiShapiro-Sarnak és Venkatesh idevágó eredményeit. Közvetlen alkalmazásként az eddigeknél hatékonyabban tudjuk becsülni pozitív definit ternér kvadratikus formák előállításszámait egy teljesen valós számtest egészei felett.
Valentin Blomerrel aszimptotikus formulát adtunk Rankin-Selberg L-függvények bizonyos archimédeszi családjaira. Az eredmény érdekessége, hogy amikor a Rankin-Selberg konvolúcióban a rögzített formát Eisenstein-sornak választjuk, az aszimptotikában a szokásos logaritmikus tagok mellett két forgó tag is megjelenik. Egy speciális esetben a holomorf csúcsformákhoz társított L-függvények negyedik momentumáról szól az eredmény.
Nicolas Templier-val új becslést adtunk Hecke-Maass csúcsformák szuprémumára a szint aspektusban. Az eredmény analóg a Riemann zeta-függvényre vonatkozó szubkonvex Weyl-korláttal. A közelmúltban - más módszerrel - hasonló erejű tételt igazolt Blomer-Michel kompakt aritmetikus felületekre. Mi a kompaktság hiányát az Atkin-Lehner operátorok egy újszerű alkalmazásával kezeljük hatékonyan.
Results in English
In joint work with Valentin Blomer we proved a Burgess-like subconvex bound for twisted Hilbert modular L-functions, improving on the relevant results of Cogdell-PiatetskiShapiro-Sarnak and Venkatesh. As a direct application, we can estimate more efficiently the number of representations by a positive definite ternary quadratic form over the integers of a totally real number field.
In joint work with Valentin Blomer we established an asymptotic formula for certain archimedean families of Rankin-Selberg L-functions. As an interesting feature of the result, when the fixed form in the Rankin-Selberg convolution is chosen to be an Eisenstein series, two winding terms appear in addition to the usual logarithmic terms. A special case treats the fourth moment of L-functions associated with holomorphic cusp forms.
In joint work with Nicolas Templier we established a new bound for the sup-norm of Hecke-Maass cusp forms in the level aspect. The result is analogous to the subconvex Weyl bound for the Riemann zeta function. Very recently, Blomer-Michel proved, with a different method, a theorem of similar strength for compact arithmetic surfaces. We handle the lack of compactness efficiently by a novel application of Atkin-Lehner operators.
