A mértékelmélet dinamikai és geometriai vonatkozásai
Title in English
Dynamical and Geometric Aspects of Measure theory
Keywords in Hungarian
Fraktál, ergodelmélet, valós függvény
Keywords in English
Fractal, Ergodic theory, real functions
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Mathematical analysis
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Analysis (Eötvös Loránd University)
Starting date
2009-01-01
Closing date
2014-12-31
Funding (in million HUF)
4.640
FTE (full time equivalent)
1.68
state
closed project
Summary in Hungarian
A pályázatban szeretném folytatni azokat a kutatásokat, melyeket jelenleg az OTKA T049727 támogat.
A http://www.cs.elte.hu/~buczo honlapomra pillantva azonnali áttekintés kapható a jelenlegi kutatói tevékenységemről. Mint a 10 kiemelt publikációra kapott hivatkozásokból látható eredményeim jelentős nemzetközi érdeklődést váltottak ki.
Az OTKA támogatásával a következő két fő irányban szeretnék dolgozni:
1. Dinamikus rendszerek és Ergodelmélet: Jelenleg még mindig dolgozom D. Mauldinnal Bourgain egy nem konvencionális ergodikus közepekhez kapcsolódó kérdésén és szeretnénk e munkát folytatni az OTKA támogatásával. E terület a megfelelő operátorokra vonatkozó gyenge maximális egyenlőtlenségek vizsgálatát is igényli. Az ergodikus bilineáris Hardy-Littlewood függvénnyel kapcsoltaban jelenleg is dolgozom I Assanival közösen és szeretném folytatni ebben az irányban is a kutatómunkát.
2. Geometriai mértékelmélet és valós függvények: Szertném folytatni valós függvények (jelek, ha ''alkalmazott'' terminológiát akarunk használni) lokális és geometriai mértékelméleti tulajdonságaira vontkozó vizsgálataimat. Ide tartozik mikrotangens tulajdonságok, tartózkodási mértékek, szinthalmazok, generikus-tipikus és multifraktál tulajdonságok vizsgálata.
Summary
In this project I would like to continue my research which is currently supported by grant OTKA T049727.
Looking at the preprints and papers on my home page http://www.cs.elte.hu/~buczo one can obtain an immediate view of my research activity. As it can be seen from the citation list of my 10 selected publications my results have drawn siginificant international interest.
With the support of OTKA I would like to work in the following two main directions:
1. Dynamical systems and ergodic theory: Currently I am still working with D. Mauldin on a problem of Bourgain related to non-conventional ergodic averages and would like to continue this work with the support of OTKA. The work on this area requires the study of weak maximal inequalities of the corresponding operators. Related to the ergodic bilinear Hardy-Littlewood function I am working with I. Assani and plan to conduct further research in this direction as well.
2. Geometric Measure theory and real functions: I would like to continue my research concerning local and geometric measure theoretical properties of real functions (signals, if you want to use a bit more ``applied" terminology). This includes the study of Micro Tangent properties, occupation measures, level sets, generic/typical properties and multifractal properties.
Final report
Results in Hungarian
Dinamikus rendszerekkel és ergodelméttel kapcsolatban a következő területeken értünk el előrehaladást:
1. Ergodikus közepek majdnem mindenütt való konvergenciája, különös tekintettel J. Bourgain négyzetek mentén történő konveregenciára vonatkozó kérdése (az ezzel kapcsolatos eredmény az egyik legnagyobb presztízsű matematikai folyóiratban került közlesre),
2. ergodikus optimalizáláshoz kapcsolódóan megvalaszoltuk J. P. Conze egy maximalizáló pontok létezésére vonatkozó kérdését,
3. foglalkoztunk avval a kérdéssel, hogy melyek azok az elegendően nagy forgatási halmazok, melyek garantálják, hogy a vizsgált függvény integrálható a Lebesgue/Haar mértékre vonatkozólag.
Geometriai mértékelmélet és valós függvények:
1. a Weierstrass-Cellerier függvény tartózkodási mértékének szingularitása,
2. valós függvények ``idő átskálázásainak" multifraktál tulajdonságai,
3. Tipikus/generikus mértékek és többváltozós monoton függvények multifraktál tulajdonságai,
4. homogén multifraktál mértékek előírt multifraktál spektrummal,
5. egy új fogalom, a topologikus Hausdorff dimenzió került bevezetésre, aminek tulajdonságait ket cikkben is vizsgáltuk,
A fenti témakörökben publikáltuk eredményeinket több különböző
folyóiratban, köztük a szakmában legjobb hírűek is szerepeltek.
Results in English
In dynamical systems and ergodic theory we made progress in the
following areas:
1. almost everywhere convergence of nonconventional ergodic averages, especially J. Bourgain's question related to convergence along the squares, (this result gut published in one of the
highest prestige mathematical journals),
2. related to ergodic optimization answered a question of J. P. Conze about existence of maximizing points,
3. size of rotation sets sufficiently large to guarantee the the
function considered should be integrable with respect to the Lebesgue/Haar measure,
In geometric measure theory and real functions:
1. singularity of the occupation measure of the Weierstrass-Cellerier function,
2. multifractal properties of time subordinations of real functions,
3. multifractal properties of generic/typical measures and of
functions monotone in several variables,
4. homogeneous multifractal measures with prescribed multifractal spectrum,
5. introduced a new concept, the topological Hausdorff dimension and in two papers investigated its properties.
In the above mentioned areas we published our results in various journals,
some of them are among the top or are of very high reputation.
Buczolich Zoltán: Averages along the squares on the torus, Ergodic Theory and Dynamical Systems Proceedings of the Ergodic Theory Workshops at University of North Carolina at Chapel Hill, 2011-2012, 67-80, 2014
