Department of Algebra and Number Theory (University of Debrecen)
Starting date
2009-01-01
Closing date
2012-08-31
Funding (in million HUF)
16.523
FTE (full time equivalent)
2.41
state
closed project
Summary in Hungarian
A pályázatban algebrai görbék racionális és egész pontjainak meghatározásával kívánok foglalkozni. Négy témakörben végzek kutatásokat. Hiperelliptikus görbéknél a racionális pontok meghatározása bizonyos esetekben lehetséges Chabauty vagy elliptikus Chabauty módszerrel. Amikor a Mordell-Weil csoport rangja nagyobb egy új módszer kidolgozása az összes egész pont meghatározását lehetővé teheti. Ez egy közös téma a következő kutatókkal: Prof.dr. Yann Bugeaud, Prof.dr. Maurice Mignotte, Prof.dr. Samir Siksek és Prof.dr. Michael Stoll. Exponenciális diofantikus egyenlet esetében modern módszerek segítségével (multi-Frey módszer, Chabauty-módszer) a teljes megoldás a cél. Több Frey-görbe alkalmazásával nagyobb eséllyel kaphatunk éles korlátot az ismeretlen kitevőre, a kimaradó esetekben pedig vagy Thue-egyenletekre tudjuk vezetni a problémát, vagy magasabb génuszú görbék racionális pontjainak meghatározására. Génusz kettes görbék esetében a Demjanenko módszer implementálása a MAGMA programcsomagban lehetővé teszi az összes racionális pont meghatározását bizonyos görbe családoknál. A g-gonális és piramidális számok vizsgálata rekurzív sorozatokban az elliptikus görbék elméletével és génusz kettes görbék racionális pontjaival függ össze. A két eset hasonlóságot mutat, a fellépő csoportok meghatározására nem ismert algoritmus. A csoport generátorainak ismeretében az elliptikus esetben jól működő eljárások léteznek programcsomagokban. Génusz kettes esetben a Chabauty-módszer nem mindig ad pontos korlátot, ekkor a Mordell-Weil szita segítségével kaphatunk pontosabb információt.
Summary
The research project consists of four parts which are related to the study of algebraic curves. The first part provides a new method for explicitly computing the integral points on affine models of hyperelliptic curves. It is a joint project with Prof.dr. Yann Bugeaud, Prof.dr. Maurice Mignotte, Prof.dr. Samir Siksek and Prof.dr. Michael Stoll. The second part is about exponential Diophantine equations, a very popular subject in number theory. After Wiles' proof of Fermat's last theorem many mathematicians obtained results for Diophantine equations of the form ax^n+by^n=cz^m, where a,b,c are certain fixed integers and x,y,z,n>2, are integer unknowns and m=2,3 or n. These techniques can be applied to completely resolve families of exponential Diophantine equations. The third part is related to the so-called Demjanenko's method. Here the goal is to provide a MAGMA code to solve certain type of equations for which Demjanenko’s method can be applied. The fourth part is connected to recurrence sequences, the goal is to determine certain figurative numbers in classical sequences like Fibonacci sequence, Lucas sequence and Pell sequence. The study of this part requires deep results from the theory of elliptic curves and higher genus curves. It is expected that our new results will yield many applications in the theory of Diophantine equations and in the theory of recurrence sequences.
Final report
Results in Hungarian
Az alábbiakban a posztdoktori kutatásaim során elért eredmények közül emelek ki kettőt.
(1) Hajdu Lajossal közösen vizsgáltuk a csak négyzetszámokból és n-edik hatványokból álló számtani sorozatokat. Megmutattuk, hogy az ilyen sorozatok hossza nem nagyobb, mint 6, továbbá, ha n=5, akkor a sorozat hossza legfeljebb 4. Vizsgáltuk a köbökből és n-edik hatványokból álló sorozatokat, ebben az esetben a sorozat hossza legfeljebb 4. A bizonyításban moduláris módszerrel kapcsolatos eredményeket és elliptikus Chabauty-módszert alkalmazunk, utóbbit ötödfokú számtest feletti elliptikus görbe esetében is. A négyzetek és ötödik hatványok esetében az eredményünket Sikseknek és Stollnak sikerült élesíteni (Algorithmic Number Theory, Proceedings of the 9th International Symposium, 2010, LNCS 6197, Springer-Verlag, 316-330.)
(2) On the Diophantine equation L_n=\binom{x}{5}. A Lucas sorozatban található speciális binomiális együtthatók meghatározása található a cikkben. A probléma két génusz kettes görbe egész pontjainak meghatározására vezet. Amelyeknél a Jacobian rangja nagyobb, mint 1, így a klasszikus Chabauty módszer nem alkalmazható. A Baker-módszer segítségével alsó korlát nyerhető a megoldásokra, az úgynevezett Mordell-Weil szita segítségével pedig beláttuk, hogy ha a görbén létezik az ismert pontoktól eltérő egész pont, akkor annak a mérete nagyobb, mint a Baker korlát.
Results in English
I would like to emphasize two results obtained during the OTKA PD Fellowship.
(1) Together with Lajos Hajdu we studied arithmetic progressions consisting of squares and n-th powers. We proved that the length of such progressions is at most 6, and if n=5, then the length is at most 4. We also investigated progressions of cubes and n-th powers, the length is at most 4 in this case. To prove our results we applied results related to modular approach and the so-called elliptic Chabauty's method for curves defined over degree 5 number fields. Our result related to squares and n-th powers were sharpened by Siksek and Stoll (Algorithmic Number Theory, Proceedings of the 9th International Symposium, 2010, LNCS 6197, Springer-Verlag, 316-330.)
(2) On the Diophantine equation L_n=\binom{x}{5}. I have determined binomial coefficients in the form \binom{x}{5} in the Lucas sequence. The problem leads to two genus 2 algebraic curves and one has to find all integral points on these curves. The classical Chabauty's method cannot be applied if the rank of the Jacobian of the curve is greater than 1. By Baker's method one can obtain a large upper bound for the size of the solutions and by applying the so-called Mordell-Weil sieve one can get a lower bound for the size of unknown integral points.
Abu Muriefah F S, Luca F, Siksek S, Tengely Sz: On the Diophantine Equation x^2+C=2y^n, INTERNATIONAL JOURNAL OF NUMBER THEORY 5:(6) pp. 1117-1128, 2009
